第三章学情评估
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
2．小华读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地利用电脑画出了如图所示鱼的图案，则图中所示的图案通过平移后得到的图案是( )
3．如图，△OCD绕点O顺时针旋转80°到△OAB的位置，已知∠AOB＝40°，则∠AOD等于( )
A．40° B．35° C．55° D．45°
(第3题)
(第4题)
(第5题)
(第6题)
4．如图，A，B两点的坐标分别为(－2，1)，(0，－1)，若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为(a，3)，(3，b)，则a＋b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为( )
A．(3，3) B．(5，3) C．(4，3) D．(4，4)
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是( )
A．(1.5，1.5) B．(1，0) C．(1，－1) D．(1.5，－0.5)
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( )
A．△ABC≌△DEC B．AE＝AB＋CD
C．AD＝AC D．AB⊥AE
(第7题)
(第8题)
(第9题)
(第10题)
8．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4，则AB的长可能是( )
A．3 B．4 C．7 D．11
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＞6，将△ABC沿着点B到C的方向平移6个单位长度得到△DEF，DE交AC于点O，DO＝3，则阴影部分的面积为( )
A．90 B．72 C．45 D．36
10. 已知两直角重合的两块直角三角尺，其中∠DCE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∠DEC＝45°，AC＝DC＝2.若将直角三角尺DEC绕着点C顺时针旋转60°后，点D恰好落在AB边上，DE与BC交于点F，如图所示，则△CEF的面积为( )
A．3－ B. C．2 D．3－
二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)
11．点(6，1)关于原点的对称点是________．
12．如图，在△ABC中，∠C＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC上．若AC＝5，则CE＝________．
(第12题) 
(第13题)
13．数学课上，老师要求在正方形纸上设计一个图案并写出设计步骤，小明的设计图案如图③所示，请你补全设计步骤：①将正方形均分八等份后画出一个四边形(如图①)；②画出与第一个四边形关于正方形对角线的交点______的图形(如图②)；③将图②中的图形绕正方形对角线的交点顺时针旋转________(不超过180°)得到完整图形．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D在AC上，DC＝4 cm.将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为__________．
(第14题) 
(第15题)
(第16题)
15. 如图，OA⊥OB，△CDE的边CD在OB上，∠ECD＝45°，CE＝4.若将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OC＝________．
16．如图，直线y＝－x＋4分别与x轴，y轴交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是________．
三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，点A的坐标为(－2，1)．
(1)点C的坐标是________；
(2)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(3)一般地，将一个图形依次沿两坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过原来的图形作一次平移得到，则(2)中线段BC在一次平移过程中扫过的面积为________．
18．(8分)如图，△AGB与△CGD关于点G成中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AE＝CF，求证：BF＝DE.
19．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝20°，BC＝7.线段AD是由线段AC绕点A逆时针旋转110°得到的，△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到的，且直线EF过点D.
(1)求∠DAE的大小；
(2)求线段DE的长．
20．(8分)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且点A，B，E在同一条直线上．
(1)求证：DA平分∠BDE；
(2)若AC⊥DE，求旋转角α的度数．
21．(10分)(1)如图，已知P是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交BC于Q，求证：AP＝DP＋BQ；
(2)若(1)中点P的位置在DC的延长线上，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
22．(10分)综合与实践——探索图形平移中的数学问题
问题情境：如图①，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D是AC的中点，以AD为边，在△ABC外部作等边三角形ADE.
操作探究：将△ADE从图①的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A′，D′，E′.
(1)如图②，善思小组的同学画出了BA′＝BD′时的情形，求此时△ADE平移的距离；
(2)如图③，点F是BC的中点，在△ADE平移的过程中，连接E′F交射线AC于点O，敏学小组的同学发现OE′＝OF始终成立，请你证明这一结论．
拓展延伸：(3)请从A，B两题中任选一题作答．
A．在△ADE平移的过程中，直接写出以 F，A′，D′为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离；
B．在△ADE平移的过程中，直接写出以 F，D′，E′为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离．
答案
一、1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7.B
8．C 点拨：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，∴OB＝OD＝4，OA＝OC.又∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△COB，∴AD＝BC＝3.在△ABD中，∵BD－AD＜AB＜BD＋AD，∴5＜AB＜11.
9．C 思路点睛：根据平移的性质可得BE＝6，DE＝AB＝9，∠DEF＝∠B＝90°，S△ABC＝S△DEF，∴可得S四边形ODFC＝S梯形ABEO，再根据梯形面积公式计算即可．
10. A
二、11.(－6，－1) 12.5 13.中心对称；90°
14．13 cm 15. 2 16.(7，3)
三、17.解：(1)(1，－2)
(2)如图所示，△A1B1C1即为所求作．
(3)16
18. 证明：∵△AGB与△CGD关于点G成中心对称，
∴DG＝BG，AG＝CG.
∵AE＝CF，∴AG－AE＝CG－CF，∴EG＝FG.
又∵∠DGE＝∠BGF，∴△DGE≌△BGF，∴BF＝DE.
19. 解：(1)∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到的，
∴AE∥CF，∴∠C＋∠EAC＝180°.
∵∠C＝90°，∴∠EAC＝90°.
∵线段AD是由线段AC绕点A逆时针旋转110°得到的，∴∠DAC＝110°，∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝20°.
(2)由题意得AD＝AC，EF∥AB，∴∠EAB＝∠DEA，
∵AE∥CF，∴∠EAB＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ABC.
又∵∠DAE＝∠CAB＝20°，AD＝AC，
∴△DAE≌△CAB，∴DE＝BC＝7.
20. (1)证明：如图，由旋转得∠1＝∠B，AD＝AB，
∴∠2＝∠B，∴∠1＝∠2，∴DA平分∠BDE.
(2)解：如图，设AC与DE交于点O，
由旋转得∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，
∵AC⊥DE，∴∠AOE＝90°，
∴∠C＝∠E＝90°－∠4＝90°－α.
∴∠B＝∠4－∠C＝α－(90°－α)＝2α－90°.
又∵∠B＝∠2＝＝＝90°－α，
∴2α－90°＝90°－α，解得α＝72°.
21. (1)证明：把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，如图①，则∠EAD＝∠QAB，∠EDA＝∠QBA＝90°，∠E＝∠AQB，DE＝BQ.
∵∠ADC＝90°，∴∠ADC＋∠EDA＝180°，∴点E，D，P共线．
易知AD∥BC，∴∠AQB＝∠DAQ.
∵∠BAP的平分线交BC于Q，
∴∠PAQ＝∠QAB，∴∠EAP＝∠EAD＋∠DAP＝∠QAB＋∠DAP＝∠PAQ＋∠DAP＝∠DAQ，
∴∠AQB＝∠EAP，∴∠E＝∠EAP，
∴PE＝PA，∴PA＝DP＋DE＝DP＋BQ.
(2)解：PA＝DP＋BQ仍然成立．理由如下：把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，如图②，
则∠3＝∠1，∠EDA＝∠QBA＝90°，∠E＝∠4，DE＝BQ.∵∠ADC＝90°，∴∠ADC＋∠EDA＝180°，∴点E，D，P共线．
易知AD∥BC，∴∠4＝∠DAQ.
∵∠BAP的平分线交BC于Q，∴∠1＝∠2，
∴∠EAP＝∠3＋∠5＝∠1＋∠5＝∠2＋∠5，
∴∠EAP＝∠DAQ＝∠4＝∠E，
∴EP＝AP，∴AP＝DP＋DE＝DP＋BQ.
22. (1)解：∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴∠BAC＝∠BCA，AC＝AB＝BC＝6.
∵BA′＝BD′，∴∠BA′D′＝∠BD′A′，
∵∠BA′D′＋∠BA′A＝∠BD′A′＋∠BD′C＝180°，
∴∠BA′A＝∠BD′C，∴△BA′A≌△BD′C，∴AA′＝CD′.
∵点D是AC的中点，∴AD＝AC＝3.
∵△ADE沿射线AC方向平移得到△A′D′E′，
∴A′D′＝AD＝3.∴AA′＝CD′＝(AC－A′D′)＝1.5.
∴△ADE平移的距离为1.5.
(2)证明：∵△ABC与△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BCA＝60°，AE＝AD.
由(1)得，AD＝AC，AC＝BC.
∵点F是BC边的中点，∴CF＝BC＝AD＝AE.
∵△ADE沿射线AC方向平移得到△A′D′E′，
∴A′E′＝AE＝CF，∠D′A′E′＝∠DAE＝∠BCA，
∵∠E′OA′＝∠FOC，∴△E′OA′≌△FOC，∴OE′＝OF.
(3)解：(答案不唯一)选A.平移的距离为1.5或4.5.