第13章学情评估
一、选择题(每题3分，共24分)
题序 |
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答案 |
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1.对于命题“若x2＝4，则x＝2”，下列能说明它是假命题的反例是( )
A．x＝－2 B．x＝－4 C．x＝4 D．x＝－16
2．如图，将△OAB绕点O顺时针旋转65°后，得到△OCD，下列说法正确的是( )
A．点B的对应点是点C B．∠AOB＝65°
C．OB＝CD D．∠B＝∠D
(第2题) 
(第3题)
(第4题)
3．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，连结AE，AF，若AB＝3，AC＝5，BC＝7，则△AEF的周长为( )
A．5 B．7 C．10 D．3
4．如图，下列四个条件：①AB＝AD；②∠B＝∠D；③∠BAC＝∠DAC；④BC＝DC.以其中的两个条件作为依据，不能判定△ABC≌△ADC的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
5．下列命题为假命题的是( )
A．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
6．如图，用尺规作角平分线，根据作图步骤，在说明射线AN是∠BAC的平分线的过程中(连结PF，PE)，以下说法错误的是( )
A．由作弧可知AE＝AF B．由作弧可知FP＝EP
C．由S.A.S.证明△AFP≌△AEP D．由S.S.S.证明△AFP≌△AEP
(第6题) 
(第7题)
7．如图，△ABC是等边三角形，AD是边BC上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝( )
A．100° B．105° C．110° D．115°
8．如图，在△ABC中，D为BC上一点，AD＝BD，∠ADB＝90°，BE平分∠ABC，分别交AC，AD于点E，F，且BE⊥AC，则下列结论：①AC＝BF；②DF＝CD；③BD＋DF＝AB；④AC＝2CE，其中正确的个数是( )
(第8题)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分，共18分)
9．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是________________________________________________________．
10．如图，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是______________________________．
(第10题)
(第11题)
(第13题)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6，BD＝4，则点D到AB的距离是________．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数是____________．
13．如图，△ABC中，CD，BE是边AB和AC上的高，点M在BE的延长线上，且BM＝AC，点N在CD上，且AB＝CN，连结AN，则∠MAN的度数是________．
14．如图，在四边形ABCD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，AB＝2，BC＝4，则BD的最大值为________．
(第14题)
三、解答题(15～16题每题8分，17～21题每题10分，22题12分，共78分)
15．A、B、C、D四点的位置如图所示，按下列要求作图(不写作法，保留作图痕迹)
(1)画线段AB、AC和射线AD；
(2)在射线AD上作线段EF，使EF＝AB－AC.
(第15题)
16．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．
(1)求∠BPC的度数；
(2)若AD＝8，求点P到BC的距离．
(第16题)
17．如图，在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为网格的格点．
(1)图①为9×7的网格，点A，点B在格点上，在网格中画出以AB为一边，点C在格点上，面积为9的等腰三角形ABC，此时∠ABC＝________．
(2)图②为5×3的网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使△ABC为等腰三角形，点C在格点上．
(第17题)
18．如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.连结CD，交DP于点E.
(1)求证：OC＝OD；
(2)求证：OP是CD的垂直平分线．
(第18题)
19．如图，△ABC为等边三角形，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，分别连结AP、BP、AQ、CQ，∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ.
(1)求证：△ABP≌△ACQ；
(2)连结PQ，求证：△APQ是等边三角形．
(第19题)
20．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于点D，求证：CD＝AB＋BD.
(第20题)
21．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河的南岸的点B处测得河的北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如下表：
课题 |
测量河流宽度 |
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工具 |
测量角度的仪器，标杆，皮尺等 |
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小组 |
第一小组 |
第二小组 |
第三小组 |
测量方案 |
观测者从点B向东走到点C，此时恰好测得 ∠ACB＝45° |
观测者从点B向东走到点O，在点O插上一个标杆，继续向东走相同的路程到达点C后，再向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上 |
观测者从点B出发，沿着南偏西80°的方向走到点C，此时恰好测得∠ACB＝40° |
测量示意图 |
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(1)第一小组认为要想知道河宽AB，只需要知道线段________的长度；
(2)第二小组认为只要测得CD的长度就能得到河宽AB，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由；
(3)第三小组测得BC＝35 m，请你帮他们求出河宽AB.
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D为AB上一点且BD＝8 cm，点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，设运动时间为t s，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动，当P，Q其中一点停止时，另一点也随之停止．
(1)用含t的式子表示PC的长为________．
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出当点Q的运动速度是多少时，能够使△BPD与△CQP全等．
(第22题)
答案
一、1.A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B
8．D 点拨：①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°.
∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC.
又∵∠C＝∠C，∴易得∠DBF＝∠DAC，
又∵AD＝BD，
∴△BDF≌△ADC，∴AC＝BF，∴①正确．
②∵△BDF≌△ADC，∴DF＝CD，∴②正确．
③∵DF＝CD，∴BD＋DF＝BD＋CD＝BC.
∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°.
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，
∴AB＝BC，∴BD＋DF＝AB，∴③正确．
④∵△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，
∴AC＝2CE，∴④正确．∴①②③④正确．∴选D.
二、9.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
10．AB＝AC(答案不唯一) 11.2 12.30°或150° 13.90°
14．6
三、15.解：(1)如图．
(2)如图．
(第15题) 
(第16题)
16．解：(1)∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.
又∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠DCB，
∴∠CBP＋∠BCP＝∠ABC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝×180°＝90°，
∴∠BPC＝180°－(∠CBP＋∠BCP)＝180°－90°＝90°.
(2)如图，过点P作PE⊥BC于点E，
∵PA⊥AB，∴∠BAD＝90°.
∵AB∥CD，∴∠CDA＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∴PD⊥CD.∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD.
∵PA＋PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离为4.
17．解：(1)等腰三角形ABC如图①所示． 45°
(2)如图②所示，点C1、C2、C3、C4、C5、C6即为所求．
(第17题)
18．证明：(1)∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD.
在Rt△POC与Rt△POD中，
∴Rt△POC≌Rt△POD，∴OC＝OD.
(2)∵PC＝PD，OC＝OD，∴P，O都在CD的垂直平分线上，∴OP是CD的垂直平分线．
19．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ.
(2)如图．∵△ABP≌△ACQ，∴AP＝AQ，∠1＝∠2.
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠1＋∠3＝60°，
∴∠2＋∠3＝60°，即∠PAQ＝60°.∴△APQ是等边三角形．
(第19题) 
(第20题)
20．证明：如图，在DC上截取DE＝BD，连结AE.
∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.
在△ACE中，∠AEB＝∠C＋∠CAE.
又∵∠B＝2∠C，∴2∠C＝∠C＋∠CAE，
∴∠C＝∠CAE，∴AE＝CE，∴AB＝CE，
∴CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
21．解：(1)BC
(2)可行．证明：由题意得∠ABO＝∠DCO＝90°，BO＝CO，又∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC，
∴CD＝AB，∴只要测得CD的长度就能得到河宽AB.
(3)由题意易得∠DBC＝80°，∵ ∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝80°－40°＝40°，∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC＝35 m.
22．解：(1)(12－2t)cm
(2)全等．理由：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，∴当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4(cm)．
∵PC＝BC－BP，BC＝12 cm，∴PC＝12－4＝8(cm)．
又∵BD＝8 cm，∴PC＝BD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP.
(3)∵点P与点Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ.
又∵∠B＝∠C，∴当BP＝PC＝BC＝6 cm，
CQ＝BD＝8 cm时，△BPD与△CPQ全等，
此时点P、点Q的运动时间为＝＝3(s)，
∴点Q的运动速度为＝(cm/s)．∴当点Q的运动速度是cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．