第13章　轴对称

13.4 课题学习 最短路径问题

1．[2023商丘期中]如图，已知直线l垂直平分AB，点C在直线l的左侧，且AB＝9，AC＝7，BC＝5，P是直线l上的任意一点，则PB＋PC的最小值是(　　)

A．5 B．6 C．7 D．9

(第1题)　　　　 (第2题)

2．[2024石家庄期末]如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC.若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

3．问题提出：某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得PA＋PB的值最小．

解法：如图①，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为点P，且PA＋PB的最小值为A′B.

(1)如图②，在等边三角形ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的点，若AD＝6，则PE＋PB的最小值为________；

问题解决：

(2)如图③，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝5 km，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行走的路程．

第13章　轴对称

13.4 课题学习 最短路径问题

1．C 　2.B

3．解：(1)6

(2)如图，分别作出点A关于OM，ON的对称点B，C，连接BC分别交OM，ON于点D，E，连接AD，AE，

则线段AD，DE，EA之和即为所求的最短路径．

连接OB，OC，由题意，得OB＝OA＝OC＝5 km，∠BOD＝∠AOD，∠COE＝∠AOE，BD＝AD，AE＝CE.

∵∠MON＝∠AOD＋∠AOE＝30°，

∴∠BOC＝∠BOD＋∠AOD＋∠COE＋∠AOE＝60°，

∴△OBC为等边三角形，

∴BC＝OB＝5 km，∴AD＋DE＋EA＝BD＋DE＋EC＝BC＝5 km，

∴整个过程所行走的路程为5 km.