【325199】河北省2024八年级数学上册 第13章 轴对称 13.4课题学习 最短路径问题堂堂清(
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
1.[2023商丘期中]如图,已知直线l垂直平分AB,点C在直线l的左侧,且AB=9,AC=7,BC=5,P是直线l上的任意一点,则PB+PC的最小值是( )
A.5 B.6 C.7 D.9
(第1题)
(第2题)
2.[2024石家庄期末]如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为8,BD平分∠ABC.若M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.问题提出:某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型:直线l同侧有两个定点A,B,在直线l上存在点P,使得PA+PB的值最小.
解法:如图①,作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线l的交点即为点P,且PA+PB的最小值为A′B.
(1)如图②,在等边三角形ABC中,E是AB上的点,AD是∠BAC的平分线,P是AD上的点,若AD=6,则PE+PB的最小值为________;
问题解决:
(2)如图③,草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角,牧马人从A地出发,先让马到草地边缘吃草,然后再去河边饮水,最后回到A地.已知OA=5 km,请在图中设计一条路线,使所走的路径最短,并求出整个过程所行走的路程.
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
1.C 2.B
3.解:(1)6
(2)如图,分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC分别交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,
则线段AD,DE,EA之和即为所求的最短路径.
连接OB,OC,由题意,得OB=OA=OC=5 km,∠BOD=∠AOD,∠COE=∠AOE,BD=AD,AE=CE.
∵∠MON=∠AOD+∠AOE=30°,
∴∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°,
∴△OBC为等边三角形,
∴BC=OB=5 km,∴AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=5 km,
∴整个过程所行走的路程为5 km.
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