第十八章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．▱ABCD中，∠C＝108°，则∠A等于(　　)

A．54° B．108° C．72° D．144°

2．如图，小康想测量池塘两端A，B之间的距离，他采用了如下方法：在AB的一侧选择一点C，连接AC，BC，再分别找出AC，BC的中点D，E，连接DE，现测得DE＝46 m，则A，B之间的距离为(　　)

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A．46 m B．58 m C．72 m D．92 m

3．如图是小明不完整的推理过程．为保证小明的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是(　　)

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A．∠B＋∠C＝180° B．AD＝BC

C．∠A＝∠B D．AD∥BC

4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)

A．四条边都相等

B．对角线互相垂直且平分

C．对角线相等

D．对角线平分一组对角

5．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-18.tif" * MERGEFORMATINET (第5题)　　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-19.tif" * MERGEFORMATINET (第6题)

6．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO，则AB的长为(　　)

A．3 B．4 C．2 D．3

7．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(　　)

A．(，1) B．(2，1) C．(1，) D．(2，)

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-20.tif" * MERGEFORMATINET (第7题)　　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-21.tif" * MERGEFORMATINET (第8题)

8．如图，菱形ABCD的面积为24 cm²，对角线BD长6 cm，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是(　　)

A．3 cm B．4 cm C．4.8 cm D．5 cm

9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值为(　　)

A. B. C. D.

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-22.tif" * MERGEFORMATINET (第9题)　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-23.tif" * MERGEFORMATINET (第10题)

10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2 ，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10；②∠COD＝45°；③△COF的面积为6；④CF＝BD＝2 ，其中正确的是(　　)

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)

11．如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为________．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-24.tif" * MERGEFORMATINET (第11题)　　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\TT1.tif" * MERGEFORMATINET (第12题)

12．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，AB＝BC，请你添加一个适当的条件：____________，使四边形ABCD为正方形(只需添加一个即可)．

13．若以A(－0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第________象限．

14．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为________．

INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-25.tif" * MERGEFORMATINET (第14题)　　 INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-26.tif" * MERGEFORMATINET (第16题)

15．矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值为________．

16．如图，正方形ABCD中，以BC为边在正方形内部作等边三角形BCE，CE与BD交于点H，连接AE.则下列说法正确的是____________(填序号)．

①EB平分∠AEC；②BH＝2DH；

③S_△ABE＝S_{正方形ABCD}；

④四边形ABHE的面积为CH·BE.

三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.

求证：∠ABF＝∠CBE.

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18．(8分)【阅读材料】

老师的问题： 如图，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线． 求作：矩形ADCE，使点D，E分别在BC，AG上． INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-28.tif" * MERGEFORMATINET

小张的作法：如图， (1)作∠BAC的平分线交BC于点D； (2)以A为圆心，DC长为半径画弧，交AG于点E； (3)连接CE. 四边形ADCE就是所求作的矩形. INCLUDEPICTURE "D:\课件\八数R福建夹卷\8FJJ-29.tif" * MERGEFORMATINET

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形ADCE是矩形．

19．(8分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，四边形ABDE为平行四边形．

(1)求证：DE＝CD；

(2)若∠ABC＝2∠E，求证：四边形ABCD为菱形．

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20．(8分)如图为放置在水平桌面上的台灯的示意图，灯臂AB长为30 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用时发现，光线效果最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的高度．

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21．(10分)数学活动课上，老师让同学们以“在矩形纸片上折出60°的角”为主题开展数学活动．经过讨论，第一小组同学操作步骤如下：

第一步：如图，将矩形纸片ABCD对折，使得AD与BC重合，得到折痕MN，把纸片展平；

第二步：再一次沿过点B的直线折叠纸片，使得点A与MN上的E点重合，折痕与AD交于点F，再把纸片展平．

(1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点E(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)求证：∠ABE＝60°；

(3)若EN＝DF，判断△BCF的形状，并说明理由．

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22．(10分)如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G.

(1)求证：AE＝DF.

(2)如图②，在DG上取一点M，使AG＝MG，连接CM，取CM的中点P.写出线段PD与DG之间的数量关系，并说明理由．

(3)如图③，连接CG.若CG＝BC，则AF∶FB的值为________．

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答案

一、1.B　2.D　3.D　4.C　5.B　6.C　7.D　8.B

9．A　思路点睛：易得四边形AEPF是矩形，M为AP，EF的交点，当AP的值最小时，AM的值就最小，且当AP⊥BC时，AP的值最小，进而结合已知条件求解即可．

10．A

二、11.10　

12．∠ABC＝90°(答案不唯一)　

13．三

14．6 　

15.　思路点睛：过A作AG⊥BD于G，连接PO，根据勾股定理可求出BD的长，再根据△ABD的面积求出AG的长，然后根据△AOD的面积求出PE＋PF＝AG，从而得解．

16．③④

三、17.证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠A＝∠C，

∵在△ABF和△CBE中，，

∴△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE.

18．证明：∵AD平分∠BAC，AG平分∠CAF，AB＝AC，

∴∠CAD＝∠BAC，∠CAG＝∠CAF，AD⊥BC.

∵∠BAC＋∠CAF＝180°，

∴∠CAD＋∠CAG＝(∠BAC＋∠CAF)＝×180°＝90°，

即∠DAG＝90°，∴AD⊥AG.∴AG∥BC.

∵AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形．

又∵∠DAG＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．

19．证明：(1)∵四边形ABDE为平行四边形，

∴AB∥CE，AB＝DE.

∵AD∥BC，AB∥CE，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴AB＝CD.∴DE＝CD.

(2)∵四边形ABDE为平行四边形，∴∠ABD＝∠E.

∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABD＝∠DBC＝∠E.

∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.

∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD为菱形．

20．解：由题意得AD⊥CE，过点B作BF⊥CE于F，BG⊥DA于G，

易得四边形BFDG为矩形，∴FD＝BG.

∵BC＝30 cm，∠CBF＝30°，∴CF＝BC＝15 cm.

在Rt△ABG中，∵∠BAD＝60°，∴∠ABG＝30°，

∵AB＝30 cm，

∴AG＝AB＝15 cm，∴BG＝＝45 cm，

易得DE＝2 cm，

∴CE＝CF＋FD＋DE＝CF＋BG＋ED＝15＋45＋2＝62(cm)．

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度是62 cm.

21．(1)解：如图，点E即为所求．

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(2)证明：∵将矩形纸片ABCD对折，使得AD与BC重合，得到折痕MN，

∴MN⊥AB，MA＝MB.

又∵点E在MN上，

∴AE＝EB.

由翻折可知△ABF≌△EBF，

∴AB＝EB，∴AE＝EB＝AB，

∴△ABE为等边三角形．

∴∠ABE＝60°.

(3)解：△BCF是等边三角形，理由如下：

连接CF.设AF＝a，FD＝b，

则AD＝AF＋FD＝a＋b, EN＝DF＝b.

由(2)得，∠ABE＝60°，

又∵△ABF≌△EBF，

∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝30° .

在矩形ABCD中， ∠BAD＝∠ABC＝90°，BC＝AD，

∴∠FBC＝∠ABC－∠ABF＝60°.

∵在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠ABF＝30°，AF＝a，

∴BF＝2AF＝2a，∴AB＝＝a.

又∵AB＝AE，MA＝MB＝AB＝a，

∴AE＝AB＝a.

又∵MN⊥AB，

∴在Rt△AME中，∠AME＝90°，MA＝a，AE＝a，

∴ME＝＝a,

∴MN＝ME＋EN＝a＋b，

易知MN＝AD＝a＋b，

∴a＋b＝a＋b，∴a＝b，

∴AD＝AF＋FD＝a＋b＝2a，

∴BC＝AD＝2a，

∵BF＝2a，∴BF＝BC.

又∵∠FBC＝60°，

∴△BCF为等边三角形．

22．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABE＝90°.

∵AF＝BE，∴△DAF≌△ABE，∴AE＝DF.

(2)解：DG＝PD.

理由：如图，连接GP并延长至点H，使PH＝PG，连接DH，CH.

∵PM＝PC，∠MPG＝∠CPH，PG＝PH，

∴△MPG≌△CPH，

∴∠PMG＝∠PCH，GM＝CH＝AG，

∴DF∥CH，∴∠FDC＝∠DCH.

∵△ABE≌△DAF，

∴∠BAE＝∠ADF.

∴∠DAG＋∠ADF＝∠DAG＋∠BAE＝∠BAD＝90°.

∵∠ADG＋∠CDF＝90°，

∴∠DAG＝∠CDG＝∠DCH.

∵DA＝DC，∴△DAG≌△DCH.

∴DG＝DH，∠ADG＝∠CDH，

∴∠GDH＝∠ADC＝90°，

∴△GDH是等腰直角三角形．

∵GP＝PH，∴PD＝PG，PD⊥GH，

∴DG＝PD.

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