期中学情评估
一、选择题（每小题4分，共40分）
题序 |
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答案 |
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1.在实数－、、π、中，是无理数的是（ ）
A.－ B. C.π D.
2.下列运算正确的是（ ）
A.2a·3b＝5ab B.a2·a3＝a5 C.（2a）3＝6a3 D.a6÷a2＝a3
3.若实数a＞2，则a－的绝对值是（ ）
A.＋a B.a－ C.－－a D.－a
4.估算＋2的值在（ ）
A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间
5.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
（第5题）
A.a＞b B.－a＋1＜b C.a＞－b D.－a＞b
6.若8是8a的一个平方根，则a的立方根是（ ）
A.－1 B.1 C.－2 D.2
7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A.a2＋9 B.a2－b C.－a2＋9 D.－a2－9
8.若16x2＋mxy＋25y2是某一个多项式的平方，则m的值是（ ）
A.20 B.±20 C.40 D.±40
9.已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝3，则ab的值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
10.为了美化校园，学校把一个边长为a m（a>4）的正方形跳远沙池的一组对边各增加1 m，另一组对边各减少1 m，改造成长方形的跳远沙池.如果这样，你觉得沙池的面积会（ ）
A.变小 B.变大 C.没有变化 D.无法确定
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.－的相反数是 Ｗ.
12.若m＋n＝－2，则5m2＋5n2＋10mn的值是 Ｗ.
13.已知|a＋3|＋＝0，则ab＝ Ｗ.
14.甲、乙两名同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为（x＋2）（x＋4）；乙看错了a，分解结果为（x＋1）（x＋9），则a＋b＝ Ｗ.
15.已知－5m与一个整式的积是 25m2n－10m3＋20mn，则这个整式是 Ｗ.
16.如图①，有两个正方形A，B，其面积之和为13.将B放在A的内部得到图②；将A，B并列放置后，构造出新的正方形得到图③.若图②中阴影部分的面积为1，则图③中阴影部分的面积为 Ｗ.
（第16题）
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17.（8分）计算：－＋.
18.（8分）因式分解：4（m＋2n）2－9（2m－n）2.
19.（8分）先化简，再求值：（2x＋1）2－2（x－1）（x＋3）－2，其中x2＝2.
20.（8分）已知2x＋7y的算术平方根是3，5x＋y＋2的立方根是2，求8x－2y＋10的平方根.
21.（8分）（1）若am＝2，an＝5，求a3m＋2n的值；
（2）若3×9x×27x＝321，求x的值.
22.（10分）阅读理解：
整体思想是一种重要的数学思想方法.
例如：计算2（2m＋n）－5（2m＋n）＋（2m＋n）时，可将2m＋n看成一个整体，合并同类项得－2（2m＋n），再利用分配律去括号得－4m－2n.
（1）若已知2m＋n＝2，请你利用整体思想求代数式1－6m－3n的值；
（2）已知一个正方形的边长为2m＋n，将此正方形的边长增加1后，其面积比原来正方形的面积大9，求2m＋n的值.
23.（10分）在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题.借助直观、形象的几何图形，加深对整式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内在联系.现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号卡片和Ⅱ号卡片，以及长为a、宽为b的长方形Ⅲ号卡片（如图①）足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形（卡片间不重叠、无缝隙）.
（第23题）
根据已有的学习经验，解决下列问题：
（1）如图②是由图①中的卡片拼接成的长方形，则这个几何图形表示的等式是 ；
（2）若想用几何图形表示等式（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，图③给出了所拼接的几何图形的一部分，请你补全图形；
（3）若要用图①中的卡片拼成一个面积为（3a＋4b）（5a＋7b）的长方形，问共用了多少张卡片？
（4）已知图①中Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号每种卡片各有9张，且a＝3，b＝1，从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量.
24.（12分）【项目学习】
配方法在代数式求值，最值问题等中都有广泛的应用，如利用配方法求最小值.
例题：求a2＋4a＋5的最小值.
解：a2＋4a＋5＝a2＋4a＋22－22＋5＝（a＋2）2＋1，
因为（a＋2）2≥0，
所以（a＋2）2＋1≥1，所以当（a＋2）2＝0，即a＝－2时，a2＋4a＋5有最小值，最小值为1.
【问题解决】
（1）当x为何值时，代数式x2－6x＋7有最小值，最小值为多少？
（2）如图①是一组邻边长分别为7，2a＋5（a>0）的长方形，其面积为S1，如图②是边长为a＋6的正方形，其面积为S2，请通过计算比较S1与S2的大小；
（第24题）
（3）如图③，物业公司准备用总长度为52 m的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地ABCD，一面靠墙（墙足够长），且CD边上留两个1 m宽的小门，设BC长为x m，当x为何值时，长方形场地ABCD的面积最大？最大值是多少？
（第24题）
25.（14分）阅读材料：
试说明：命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”.
解：设abc表示一个三位数，
则abc＝100a＋10b＋c＝（99a＋9b）＋（a＋b＋c）＝9（11a＋b）＋（a＋b＋c）.
因为9（11a＋b）能被3整除，所以如果a＋b＋c也能被3整除，那么abc就能被3整除.
（1）①一个四位数abcd，如果a＋b＋c＋d能被9整除，试说明abcd能被9整除；
②若一个五位数2e3e2能被9整除，则e＝ ；
（2）若一个三位数xyz的各位数字是任意三个连续的正整数，则xyz的最小正因数一定是 （数字“1”除外）；
（3）由数字1至9组成的一个九位数mnp6q47s9（各数位上的数不重复），这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数mn能被2整除，前三位组成的三位数mnp能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是 Ｗ.
答案
一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D
7．C 8.D 9.A
10．A 点拨：由题意得正方形跳远沙池的面积为a2 m2，长方形跳远沙池的面积为(a＋1)(a－1)＝(a2－1)m2，
因为a2－1－a2＝－1<0，
所以沙池的面积会变小．
二、11. 12.20
13．9 14.15
15．－5mn＋2m2－4n
16．12 点拨：设正方形A，B的边长分别为a，b，由题意可得a2＋b2＝13，(a－b)2＝1，
所以2ab＝a2＋b2－(a－b)2＝12，
所以图③中阴影部分的面积为(a＋b)2－(a2＋b2)＝2ab＝12.
三、17.解：原式＝3－2＋(－2)＝－1.
18．解：原式＝[2(m＋2n)＋3(2m－n)][2(m＋2n)－3(2m－n)]＝(8m＋n)(7n－4m)．
19．解：(2x＋1)2－2(x－1)(x＋3)－2
＝4x2＋4x＋1－2(x2＋2x－3)－2
＝4x2＋4x＋1－2x2－4x＋6－2＝2x2＋5.
当x2＝2时，原式＝2×2＋5＝9.
20．解：因为2x＋7y的算术平方根是3，
所以2x＋7y＝9.
因为5x＋y＋2的立方根是2，
所以5x＋y＋2＝8.
联立得
解得
所以8x－2y＋10＝16，
所以8x－2y＋10的平方根是±4.
21．解：(1)a3m＋2n＝a3m·a2n＝(am)3×(an)2＝23×52＝8×25＝200.
(2)因为3×9x×27x＝3×32x×33x＝35x＋1＝321，
所以5x＋1＝21，
所以x＝4.
22．解：(1)因为2m＋n＝2，
所以1－6m－3n＝1－3(2m＋n)＝1－3×2＝1－6＝－5.
(2)根据题意得[(2m＋n)＋1]2－(2m＋n)2＝9，
所以(2m＋n)2＋2(2m＋n)＋1－(2m＋n)2＝9，
所以2(2m＋n)＋1＝9，所以2(2m＋n)＝8，
所以2m＋n＝4.
23．解：(1)(a＋3b)(a＋b)＝a2＋4ab＋3b2
(2)补全图形如图所示．(答案不唯一)
(第23题)
(3)(3a＋4b)(5a＋7b)＝15a2＋41ab＋28b2，
所以Ⅰ号卡片用了15张，Ⅱ号卡片用了28张，Ⅲ号卡片用了41张，共用了15＋28＋41＝84(张)卡片．
(4)所用卡片的最少数量是16张．
24．解：(1)x2－6x＋7＝x2－6x＋9－9＋7＝(x－3)2－2，
因为(x－3)2≥0，
所以(x－3)2－2≥－2，
所以当(x－3)2＝0，即x＝3时，
代数式x2－6x＋7有最小值，最小值为－2.
(2)由题意得S1＝7(2a＋5)＝14a＋35，
S2＝(a＋6)2＝a2＋12a＋36，
所以S2－S1＝a2＋12a＋36－(14a＋35)＝a2－2a＋1＝(a－1)2.
当a＝1时，(a－1)2＝0，即S2－S1＝0，
所以S2＝S1；
当a≠1时，(a－1)2>0，即S2－S1>0，
所以S2>S1.
综上所述，当a＝1时，S2＝S1；当a≠1时，S2>S1.
(3)由题意得CD＝52－3x＋2＝(54－3x)m，
所以长方形场地ABCD的面积为x(54－3x)＝－3x2＋54x＝－3(x2－18x)＝－3(x2－18x＋81－81)＝－3(x－9)2＋243，
因为(x－9)2≥0，
所以－3(x－9)2≤0，
所以－3(x－9)2＋243≤243，
所以当(x－9)2＝0，即x＝9时，
长方形场地ABCD的面积最大，最大值为243 m2.
25．解：(1)①由题意得abcd＝1 000a＋100b＋10c＋d
＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d)
＝9(111a＋11b＋c)＋(a＋b＋c＋d)．
因为9(111a＋11b＋c)能被9整除，a＋b＋c＋d能被9整除，
所以四位数abcd能被9整除．
②1
(2)3
(3)381 654 729