第14章学情评估

一、选择题（每小题4分，共40分）

题序	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

1.如图，小肖同学有四根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（　　）

A.4 cm，5 cm，8 cm B.3 cm，4 cm，5 cm

C.3 cm，4 cm，8 cm D.3 cm，5 cm，8 cm

（第1题） （第3题）

2.当用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（　　）

A.假设三角形的三个外角都是锐角

B.假设三角形的三个外角中至少有一个钝角

C.假设三角形的三个外角都是钝角

D.假设三角形的三个外角中至多有一个钝角

3.如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40 m，BC＝30 m，则这条近路AC长为（　　）

A.20 m B.30 m C.40 m D.50 m

4.如图，△ABC的顶点A、B、C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）

A. B. C. D.

（第4题） （第5题）

5.如图①，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，如图②，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为（　　）

A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m

6.我们学习了用“赵爽弦图”证明勾股定理.在如图所示的“赵爽弦图”中，在DH上取点M使得DM＝GH，连结AM、CM.若正方形EFGH的面积为6，则△ADM与△CDM的面积之差为（　　）

A.3 B.2 C. D.不确定

（第6题） （第7题）

7.如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，使点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积是（　　）

A.8 B.10 C.20 D.32

8.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上运动，连结BP，则BP的最小值是（　　）

A. B. C. D.

9.小明从超市里买了一瓶外包装（不透明）为圆柱形的饮料，已知饮料瓶的高为4 cm，底面直径为6 cm，吸管的长度为8 cm.如图，若将吸管从饮料上底面的中心插入，设吸管露在外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　）

A.3≤h≤4 B.3<h<4

C.8－≤h≤4 D.8－<h<4

（第9题） （第10题）

10.如图，已知在Rt△ABC中，E、F分别是边AB、AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S₁、S₂、S₃，则S₁、S₂、S₃之间的数量关系是（　　）

A.S₁＋S₃＝2S₂ B.S₁＋S₃＝4S₂

C.S₁＋S₃＝S₂ D.S₂＝（S₁＋S₃）

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝　　　　.

12.如图，已知CA＝CB，BD⊥AC于点D，

（第12题）

点D在数轴上，所表示的数为－1，BD＝1，则数轴上点A所表示的数是　　　　　　　Ｗ.

13.如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连结DE，则DE＝　　　　.

（第13题）　 （第16题）

14.木工师傅要做一张长方形的桌面.完成后，量得桌面的长为100 cm，宽为80 cm，对角线为130 cm，则做出的这张桌面　　　　　Ｗ.（填“合格”或“不合格”）

15.在△ABC中，AB＝，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结CD，则线段CD的长为　　　　　Ｗ.

16.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连结EF，下列结论中正确的是　　　　　Ｗ.（填序号）

①∠EAF＝45°；②△ABE≌△ACD；③EA平分∠CEF；④BE²＋DC²＝DE².

三、解答题（本题共7小题，共86分）

17.（8分）如图，等边三角形ABC的边长为2，AD是边BC上的高.

　（第17题）

（1）求AD的长度；

（2）求△ABC的面积.

18.（8分）如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8.在其右侧作△BCD，使BC＝8，CD＝，求证：AB∥CD.

（第18题）

19.（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°.

（第19题）

20.（12分）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是由一个长方体去掉一个“半圆柱”而形成的，中间可供滑行部分的截面是半径为2 m的半圆，其边缘AB＝CD＝10 m，点E在CD上，且CE＝2 m.若一滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离约是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，π取整数3）

（第20题）

21.（14分）小明在学习勾股数的知识后发现：很多已经约去公因数的勾股数中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn（m>n），那么另外两个数分别可以写成m²＋n²，m²－n²，如4＝2×2×1，5＝2²＋1²，3＝2²－1².

（1）请你再写出另外一组满足这个规律的勾股数；

（2）满足这个规律的一组数都是勾股数吗？请说明理由.

22.（16分）（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160 m，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝70 m，BC＝50 m，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则最短距离和为　　　m；

（2）借助上面的思考过程，画图说明并求代数式＋的最小值（0<x<12）.

（第22题）

23.（18分）如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE.

探究：（1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°<α<90°），连结BD，CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

应用：（2）如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上时，连结CE.

①判断线段BC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；

②若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长.

（第23题）

答案

一、1.B　2.D　3.D　4.C　5.D　6.A

7．B　8.A　9.A　10.B

二、11.6　12.1－　13.　

14．不合格　15.或

16．①③④　点拨：①由题意知∠CAD＝∠BAF.

因为∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，所以∠CAD＋∠BAE＝45°，

所以∠BAF＋∠BAE＝45°，即∠EAF＝45°；

②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，

所以△ABE与△ACD不一定全等；

③由题意知AF＝AD，因为∠EAF＝∠EAD＝45°，AE＝AE，

所以△AFE≌△ADE，所以∠AEF＝∠AED，

所以EA平分∠CEF；

④由题意知BF＝CD，∠FBA＝∠C，

所以∠FBE＝∠FBA＋∠ABC＝∠C＋∠ABC＝180°－∠BAC＝90°，

所以BE²＋BF²＝EF²，所以BE²＋CD²＝EF².

又易知EF＝ED，所以BE²＋DC²＝DE².

综上，正确的是①③④.

三、17.解：(1)∵等边三角形ABC的边长为2，∴AB＝BC＝2.

∵AD是BC边上的高，∴BD＝BC＝1，

∴AD＝＝＝，即AD的长度为.

(2)△ABC的面积为BC·AD＝×2×＝.

18．证明：在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，AD＝10，

AB＝8，∴BD＝＝＝6.

∵BC＝8，CD＝，

∴BD²＋CD²＝6²＋()²＝8²＝BC²，

∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.

∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD.

19．证明：连结AC，在Rt△ABC中，AC²＝AB²＋BC²＝20²＋15²＝625.在△ACD中，∵CD²＋AD²＝7²＋24²＝625＝AC²，

∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°.

∵四边形的内角和为360°，

∴∠BAD＋∠BCD＝360°－(∠B＋∠D)＝180°.

20．解：如图，作出U型池中间可供滑行部分的展开图，连结AE，则AE为所求的最短距离．

　(第20题)

由题意可知AD＝≈＝6(m)，

DE＝CD－CE＝8 m.

在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，

∴AE＝≈＝10 (m)．

∴他滑行的最短距离约是10 m.

21．解：(1)5，12，13(答案不唯一)．

(2)满足这个规律的一组数都是勾股数．

理由：∵(m²－n²)²＋(2mn)²＝m⁴＋n⁴－2m²n²＋4m²n²

＝m⁴＋n⁴＋2m²n²，

(m²＋n²)²＝m⁴＋n⁴＋2m²n²，

∴(m²－n²)²＋(2mn)²＝(m²＋n²)²，

易知m²－n²，2mn，m²＋n²都是正整数，

∴m²－n²，2mn，m²＋n²是勾股数．

22．解：(1)200

(2)如图，AB⊥AD，BC⊥AB，AB＝12，AD＝3，BC＝6，点P为线段AB上任意一点，设AP＝x，则BP＝12－x，

∴PD＋PC＝＋.

(第22题)

作点D关于AB的对称点E，连结CE交AB于点P.连结DP，易知此时DP＋CP的值最小，最小值为CE的长，过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F，则易得EF＝9，

在Rt△ECF中，CE＝＝15.

∴代数式＋的最小值为15.

23．解：(1)成立．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE.

∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°，∠DAE ＝∠CAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.

在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)，∴BD＝CE.

(2)①BC＋CD＝CE.理由如下：

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE.

在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)，∴BD＝CE.

∵BD＝BC＋CD，∴BC＋CD＝CE.

②由题易得∠ABC＝∠ACB＝45°，

由①知△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝45°.

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°，∴∠ECD＝90°.

∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，∴BC＝＝2.

∵CD＝1，∴CE＝BC＋CD＝3，

在Rt△CDE中，DE＝＝＝.