第13章学情评估
一、选择题（每小题5分，共50分）
题序 |
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答案 |
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1.下列命题是真命题的是（ ）
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则|a|＝|b|；④若x＝0，则x2－2x＝0.
A.①②③④ B.①④ C.②④ D.②
2.已知等腰三角形的一个外角等于130°，则它的顶角为（ ）
A.50° B.80° C.50°或80° D.40°或65°
3.如图，某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建在（ ）
A.三边高线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三边中线的交点 D.三边垂直平分线的交点
（第3题） 
（第4题）
4.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，添加一个条件可以判定△ABD≌△ACE，小明给出了以下几个条件：①BD＝CE；②∠BAD＝∠CAE；③∠D＝∠E.其中正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
5.如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点D，连结AD，若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是（ ）
A.70° B.44° C.34° D.24°
（第5题） 
（第6题）
6.如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A.α＝β B.α＝2β C.α＋β＝90° D.α＋2β＝180°
7.如图，AD是△ABC的角平分线，AC＝2AB，若S△ACD＝4，则△ABD的面积为（ ）
A.3 B.2 C. D.1
（第7题） 
（第8题）
8.如图是5×5的正方形网格，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以作出（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
9.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，BD将△ABC的周长分成长为12 cm和9 cm的两部分，则等腰三角形ABC的腰长为（ ）
A.8 cm B.6 cm C.6 cm或8 cm D.4 cm
（第9题） 
（第10题）
10.如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，下列结论：
①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD；④∠ABE＝60°.
其中正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③④
二、填空题（每小题5分，共30分）
11.如图，A，B是水池两侧的两点，若BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，且CD＝8 m，则水池宽AB＝ m.
（第11题）
12.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 Ｗ.
（第12题）
（第13题）
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CAD，已知BC＝4，AD＝7，则△ACD的面积为 Ｗ.
14.如图，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，CE是由AB平移所得（点D，B，E不共线），则AC＋BD与AB的大小关系是 Ｗ.
（第14题）
15.“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，其中C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠DCE的度数是 Ｗ.
（第15题）
（第16题）
16.如图，在锐角三角形ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点M，N分别是AD，AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 Ｗ.
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（8分）如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB＝FD，∠A＝∠F，求证：BC＝DE.
（第17题）
18.（8分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC＝DB，AB＝DE，BC＝EB，求证：∠ACB＝∠AFB.
（第18题）
19.（8分）某校八年级学生在参加综合实践活动中，看到工人师傅在材料的边角处画直角时，有时用“三弧法”，如图，①画线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；②以点C为圆心，AB长为半径画弧，交BC延长线于点D；③连结AD，∠BAD就是直角，你知道这是为什么吗？
（第19题）
20.（12分）如图，点O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的边OF，OG与AB，BC分别交于点D，E，∠FOG绕点O顺时针旋转.
（1）求证：OD＝OE；
（2）求证：四边形ODBE的面积是个定值.
（第20题）
21.（14分）如图，在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠C＝3∶4∶2，AD，BE是角平分线，求证：AB＋BD＝AE＋BE.
（第21题）
22.（20分）情境学习：
（1）小明在预习13.3的新课，涉及一个知识点：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，下面是两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC.
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方法一：如图，作△ABC的高线AD.
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方法二：如图，作△ABC的角平分线AD.
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（2）应用
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB，AD是边BC上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连结CE交AD于点F.作CG⊥CE且CG＝CF，连结AG.
①当CE是∠ACB的平分线时，求证：AE＝AF；
②用等式表示线段AF，BC与AG之间的数量关系，并证明.
（第22题）
答案
一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B
7．B 8.B 9.C 10.D
二、11.8 12.A.S.A. 13.7
14．AC＋BD>AB
15．50° 点拨：设∠O＝x，∵OC＝CD，
∴∠O＝∠CDO＝x，∵CD＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠O＋∠CDO＝2x，
∴∠BDE＝∠O＋∠DEC＝x＋2x＝3x＝75°，∴x＝25°，
∴∠DCE＝2x＝50°.
16．5
三、17.证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠FDE.
在△ABC和△FDE中，
∴△ABC≌△FDE(A.S.A.)，∴BC＝DE.
18．证明：在△ABC和△DEB中，
∴△ABC≌△DEB(S.S.S.)．
∴∠ACB＝∠DBE.
∵∠AFB＝∠ACB＋∠EBD，
∴∠AFB＝2∠ACB，即∠ACB＝∠AFB.
19．解：连结AC，由作图可知AC＝BC＝AB＝CD，
∴∠CAB＝∠CBA，∠ADB＝∠CAD.
∵∠CAD＋∠ADB＋∠CBA＋∠CAB＝180°，
∴2(∠CAD＋∠CAB)＝180°，
∴∠CAD＋∠CAB＝90°，
即∠BAD＝90°.
20．证明：(1)连结OB，OC，如图．
(第20题)
∵点O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，OB＝OC，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOE＋∠COE＝120°.
∵∠DOE＝120°，
∴∠BOE＋∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(A.S.A.)，
∴OD＝OE.
(2)由(1)知△BOD≌△COE，
∴S△BOD＝S△COE，
∴S四边形ODBE＝S△BOD＋S△BOE＝S△COE＋S△BOE＝S△OBC，
∴四边形ODBE的面积是个定值．
21．证明：∵∠BAC∶∠ABC∶∠C＝3∶4∶2，
∴易得∠ABC＝80°，∠C＝40°.
如图，延长AB到点F，使BF＝BD，连结DF，
(第21题)
则∠F＝∠BDF＝∠ABC＝40°，∴∠F＝∠C.
∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.
在△ADF和△ADC中，
∴△ADF≌△ADC.∴AF＝AC.
∵BE是角平分线，∴∠CBE＝∠ABC＝40°.
∴∠CBE＝∠C，∴BE＝EC.
∴BE＋AE＝EC＋AE＝AC＝AF＝AB＋BF＝AB＋BD，
即AB＋BD＝AE＋BE.
22．(1)解：选择方法一．证明：
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC.
(或选择方法二．证明：
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC.)
(2)①证明：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠DCE＝∠ACE.
∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴∠AEC＝90°－∠ACE＝90°－∠DCE＝∠DFC.
∵∠DFC＝∠AFE，
∴∠AEC＝∠AFE，∴AE＝AF.
②解：BC＝AF＋AG.
证明：如图，过点C作CM⊥AC交AD的延长线于点M.
(第22题)
∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.∵AD是边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，CD＝BC，∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴易得AD＝CD.∵CM⊥AC，
∴∠M＝90°－∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AC＝MC，∴AD＝AM，∴易得AM＝BC.
∵CM⊥AC，CG⊥CE，∴∠ACM＝∠ECG＝90°，
∴∠MCF＝∠ACG.在△MCF与△ACG中，
∴△MCF≌△ACG，∴MF＝AG.∵AM＝AF＋FM，∴BC＝AF＋AG.