第15章学情评估
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
题序 |
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答案 |
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1.“在你的门前，我堆起一个雪人，代表笨拙的我把你久等．”这是现代诗人顾城眼里的雪人．下列雪人图案中属于轴对称图形的是( )
2．如图，△ABC中，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为( )
A．5 B．10 C．12 D．13
(第2题) 
(第3题) 
(第4题)
3．如图，△ABC中，∠B＝55°，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，则∠BDF的度数为( )
A．50° B．55° C．70° D．85°
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
5．若点M(2a，1)与点N(4，－b)关于y轴对称，则ab的值为( )
A．2 B．－1 C．－2 D．3
6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
7．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则△ABC的周长为( )
A．12 B．24 C．36 D．48
(第7题)
(第8题)
(第9题)
(第10题)
8．如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为( )
A．48 B．36 C．24 D．12
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BE⊥AC，交CA的延长线于E，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，则△ABE的周长为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
10．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F，下列结论：①BC＝DE；②AF＝CF；③四边形ABCD的面积等于AC2；④S△BCD＝S△ABF＋S△ADE，其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BD＝3，则CD＝________．
(第11题)
(第13题)
(第14题)
12．已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则等腰三角形的腰长为________．
13．如图，CD是等边三角形ABC边AB上的中线，AC的垂直平分线交AC于点E，交CD于点F，若DF＝1，则CD的长为________．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连接BF.
(1)若∠AFD＝155°，则∠EDF＝________；
(2)若F是AC的中点，则∠ABC与∠CFD之间的数量关系为______________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是(－1，0)，B点的坐标是(－3，1)，C点的坐标是(－2，3)．
(1)作△ABC关于y轴对称的图形△DEF，其中A，B，C的对应点分别为D，E，F；
(2)动点P的坐标为(0，t)，当t为何值时，PA＋PC的值最小？并画出点P.
(第15题)
16．如图，已知线段MN和∠ACB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠ACB的两边的距离相等．(不写作法，只保留作图痕迹)
(第16题)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，点E在BC上，作ED⊥AB于点D，若EC＝ED.求证：D为AB的中点．
(第17题)
18．如图，点D，E在等边三角形ABC外，AD＝CE，AE⊥AC，垂足为点A，BD⊥AB，垂足为点B.请求出∠D与∠BCE的度数之和．
(第18题)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AD⊥BC，D为BE的中点．
(第19题)
(1)求证：AB＝CE.
(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度数．
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC的中点，过点E作EF∥AD交CA的延长线于点P，交AB于点F.
(第20题)
(1)求证：△APF是等腰三角形；
(2)求证：BF＝CP；
(3)若AB＝12，AC＝8，试求出PA的长．
六、(本题满分12分)
21．如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为点F，交AC于点D，连接DE.
(1)若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
(第21题)
七、(本题满分12分)
22．直线MO是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线OM上一点，连接AC.以AC为斜边作等腰直角三角形ACD，连接OD.
(1)如图①，若CO＝AB，求∠AOD的度数．
(2)如图②，E是直线MO上一点，且CE＝AB，连接DE，延长DO至点F，使得OF＝OD，连接AF.根据题意补全图②，写出线段DE，AF之间的关系，并证明．
(第22题)
八、(本题满分14分)
23．如图①，已知等边三角形ABC，P，Q分别是边AB，BC上的动点(端点除外)，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ，CP交于点M.
(1)求证：AQ＝CP.
(2)当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，请直接写出它的度数．
(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(第23题)
答案
一、1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.C 7.C 8.C 9.B
10．C 点拨：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，∴∠E＝∠ACE＝45°.∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△ADE中，∵
∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故①正确；
∵AF⊥CF，∴∠AFC＝90°.
∵△ABC≌△ADE，∴∠ACF＝∠E＝45°，
∴∠FAC＝∠ACF＝45°，∴AF＝CF，故②正确；
∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，
∴S四边形ABCD＝S△ADE＋S△ACD＝S△ACE＝AC·AE＝AC2，故③正确；
∵S△ABF＋S△ADE＝S△ABF＋S△ABC＝S△ACF，不能确定S△ACF＝S△BCD，故④不正确．故选C.
二、11.3 12.8或5.5 13.3
14．(1)50° (2)∠CFD＝∠ABC
三、15.解：(1)如图．
(第15题)
(2)∵动点P的坐标为(0，t)，∴点P在y轴上．连接AF交y轴于点P，则PA＋PC＝PA＋PF，点P的坐标为(0，1)，如图．
16．解：如图，P点即为所求．
(第16题)
四、17.证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.
在Rt△ADE和Rt△ACE中，∵
∴Rt△ADE≌Rt△ACE，∴∠CAE＝∠DAE.
在Rt△ACB中，∠CAE＋∠DAE＋∠B＝90°，∠B＝30°，∴∠CAE＝∠DAE＝∠B＝30°，∴EA＝EB.
∵ED⊥AB，∴AD＝BD，即D为AB的中点．
18．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°.
∵AE⊥AC，BD⊥AB，
∴△ABD和△CAE是直角三角形，
∠D＋∠DAB＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB＝∠ECA.∴∠D＋∠BCE＝∠D＋∠ACB＋∠ECA＝∠D＋∠DAB＋∠ACB＝90°＋60°＝150°.
五、19.(1)证明：连接AE.∵AD⊥BC，且D为线段BE的中点，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE.
∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，∴AB＝CE.
(2)解：∵AE＝EC，∠C＝32°，∴∠CAE＝∠C＝32°，
∴∠AEB＝64°.∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝84°.
20．(1)证明：如图，
(第20题)
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2.
∵EF∥AD，∴∠2＝∠P，∠1＝∠3.∴∠3＝∠P.
∴AF＝AP.∴△APF是等腰三角形．
(2)证明：如图，延长FE至点Q，使得EQ＝EF，连接CQ.∵E为BC的中点，∴BE＝CE.
又∵∠FEB＝∠QEC，EF＝EQ，
∴△EBF≌△ECQ，
∴∠BFE＝∠Q，CQ＝BF.
又∵∠BFE＝∠3，∠3＝∠P，
∴∠Q＝∠P.∴CQ＝CP，∴CP＝BF.
(3)解：由(1)知，AP＝AF，由(2)知，BF＝CP，∴AB＝BF＋AF＝PC＋AP＝AC＋AP＋AP＝AC＋2AP.
∵AB＝12，AC＝8，∴12＝8＋2AP，∴PA＝2.
六、21.解：(1)∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE.
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB＋BE＋EC＋CD＋AD＝18，
CD＋EC＋DE＝CD＋CE＋AD＝6，
∴AB＋BE＝18－6＝12，∴AB＝6.
(2)∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°－30°－45°＝105°.
在△BAD和△BED中，∵
∴△BAD≌△BED，∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED－∠C＝105°－45°＝60°.
七、22.解：(1)∵直线MO是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，∴MO⊥AB.∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AD.
∵∠OCD＋∠ADC＝∠DAB＋∠MOA，
∴∠OCD＝∠DAB.在△CDO和△ADB中，
∵∴△CDO≌△ADB，
∴OD＝BD，∠DBO＝∠DOC，∴∠DOB＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DOC.
∵MO⊥AB，∴∠DOB＝∠DOC＝45°，∴∠AOD＝135°.
(2)补全图形如图．DE＝AF，DE⊥AF.
(第22题)
证明：连接BD，与(1)同理可得△CDE≌△ADB，
∴DE＝DB，∠EDC＝∠BDA，∴∠CDA＝∠BDE＝90°，
∴DE⊥DB.在△ODB和△OFA中，
∵
∴△ODB≌△OFA，∴AF＝DB，∠B＝∠BAF，
∴DB∥AF，DE＝AF，∴DE⊥AF.
八、23.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA.又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ.在△ABQ与△CAP中，∵
∴△ABQ≌△CAP，∴AQ＝CP.
(2)解：∠QMC的大小不变，为60°.
(3)解：∠QMC不变．
同(1)可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.
∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°.