第13章学情评估

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

题序	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案

1.在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是(　　)

A．2，3，4 B．3，6，6 C．2，2，6 D．5，6，7

2．如图，在△ABC中，BC边上的高为(　　)

A．线段AE B．线段BE C．线段BD D．线段CF

(第2题)　　 (第6题)　 (第7题)

3．下列命题的逆命题为真命题的是(　　)

A．对顶角相等 B．如果a＝b，那么a²ⁿ＝b²ⁿ

C．若a>b，则a²>b² D．同位角相等，两直线平行

4．下面是直角三角形的三个内角的度数比的是(　　)

A．4∶27∶25 B．1∶1∶2

C．2∶3∶6 D．都是直角三角形

5．已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部”．小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是(　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

6．如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，DE＝2，则CD的长度为(　　)

A．9 B．7 C．5 D．4

7．一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为(　　)

A．10° B．15° C．20° D．25°

8．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得到五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为(　　)

　　　(第8题)

A．58° B．64° C．66° D．72°

9．如图，在△ABC中，点G是BC边上任意一点，点D，E，F分别是AG，BD，CE的中点，S_△ABC＝48，则S_△DEF的值为(　　)

A．6 B．8 C．12 D．4

(第9题)　 (第10题) (第12题)

10．如图，直线AB∥CD，BE⊥EF交于点E，连接CF，则∠B，∠C与∠EFC之间的数量关系是(　　)

A．∠EFC＝∠B＋∠C B．∠B＋∠C＋∠EFC＝180°

C．∠EFC＋∠B＝90°＋∠C D．∠C＋∠EFC＝180°＋∠B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．把命题“和为180°的两个角互为补角”写成“如果……那么……”的形式是________________________________________________________．

12．如图，已知∠ABC＝90°，点D是BC上一定点，点E是射线BA上一动点，∠CDE的平分线DM和∠AED的平分线EM交于点M，则∠DME的度数为________．

13．用长度相等的50根火柴棍，首尾相接摆放成一个三角形，使最长边的长度是最短边长度的3倍，则最长边用了______根．

14．如图，AC，BD相交于点O，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P.

(第14题)

(1)若∠A＝70°，∠D＝60°，则∠P＝___________________________°；

(2)若∠A∶∠D∶∠P＝2∶4∶x，则x等于________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝48°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADC的度数．

　 (第15题)

16．命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角．

(1)写出这个命题的逆命题．

(2)判断这个逆命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举一个反例．

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数．

18．已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a²＋2b²－4a－20b＋54＝0，求△ABC的周长．

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．如图，E，B，C三点共线，AB与DE交于点G.已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD.请补全证明过程，并解答下列问题．

(第19题)

(1)证明：∵AB∥CD(已知)，

∴∠ABE＝∠C( __________________________)．

∵∠A＝∠C(已知)，

∴∠ABE＝________(等量代换)，

∴BC∥AD( __________________________)．

(2)【延伸】若前提“∠A＝∠C”不变，将条件“AB∥CD”与结论“BC∥AD”调换，所得命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例．

(3)【拓展】如图，已知有三个论断①∠A＝∠C；②AB∥CD；③BC∥AD，选出其中两个作为条件，另一个作为结论组成一个命题，能组成多少个真命题？

20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E.

(1)若∠CEF＝50°，求∠A的度数．

(2)∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由.

(第20题)

六、(本题满分12分)

21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F.若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0<x≤45)．

(1)求∠B的度数；

(2)若△DEF中有两个角相等，求x的值．

(第21题)

七、(本题满分12分)

22．如图①，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE.

(1)求证：∠BAE＝∠CED.

(2)如图②，AF，DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是______．

(3)如图③，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G.求证：EG⊥AF.

(第22题)

八、(本题满分14分)

23．综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP.

【特例探究】(1)如图①，当P为BC边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段PD，PE，BF之间的数量关系为__________________．

【深入探究】(2)如图②，当P为BC边上的任意一点时，(1)中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．

【拓展探究】(3)如图③，当点P在BC边的延长线上时：

①试猜想线段PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想；

②当S_△ABC＝10，AB＝5，PE＝2时，线段PD的长为_____________________________________________________．

(第23题)

答案

一、1.C　2.A　3.D　4.B　5.D　6.A　7.B　8.A　9.A

10．C

二、11.如果有两个角的和是180°，那么这两个角互为补角

12．45°　13.24　14.(1)65　(2)3　

三、15.解：∵∠BAC＝50°，∠B＝48°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝82°.∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠CAD＝∠BAC＝25°，∴∠ADC＝180°－∠CAD－∠C＝73°.

16．解：(1)逆命题为“互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角”．

(2)这个逆命题是假命题．反例：两个角都是直角．

四、17.解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得x＋2x＋3x＝180，解得x＝30，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°.

18．解：∵a²＋2b²－4a－20b＋54＝0，∴a²－4a＋4＋2b²－20b＋50＝0，∴(a－2)²＋2(b－5)²＝0，∴a－2＝0，b－5＝0，解得a＝2，b＝5.∵a，b，c是△ABC的三边长，且均为正整数，∴5－2＜c＜5＋2，即3<c<7，

∴c＝4或5或6.

当c＝4时，△ABC的周长为2＋4＋5＝11；

当c＝5时，△ABC的周长为2＋5＋5＝12；

当c＝6时，△ABC的周长为2＋5＋6＝13.

综上，△ABC的周长为11或12或13.

五、19.解：(1)两直线平行，同位角相等；∠A；内错角相等，两直线平行

(2)是真命题．证明：∵BC∥AD，∴∠ABE＝∠A，

∵∠A＝∠C，∴∠ABE＝∠C，∴AB∥CD，

故将条件“AB∥CD”与结论“BC∥AD”调换后所得命题为真命题．

(3)根据题意可知，①②作为条件，③作为结论，为真命题；①③作为条件，②作为结论，为真命题；②③作为条件，①作为结论，为真命题．故能组成3个真命题．

20．解：(1)∵∠ACB＝90°，∠CEF＝50°，∴∠CBE＝40°，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2×40°＝80°，

∴∠A＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－90°－80°＝10°.

(2)相等．理由如下：如图，

(第20题)

∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，

∵CD⊥AB，∴∠FDB＝90°.∴∠2＋∠4＝90°.

又∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，

∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即∠CFE＝∠CEF.

六、21.解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠C＋∠B＝90°，即∠C＝90°－∠B，又∵∠C－∠B＝50°，∴90°－∠B－∠B＝50°，解得∠B＝20°.

(2)∵∠BAD＝x°，∠B＝20°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD＝20°＋x°，∴∠ADB＝180°－∠ADF＝180°－(20°＋x°)＝160°－x°，根据折叠可得∠ADE＝∠ADB＝160°－x°，∠B＝∠E＝20°，∴∠FDE＝∠ADE－∠ADF＝160°－x°－(20°＋x°)＝140°－2x°.∴∠DFE＝180°－∠E－∠FDE＝180°－20°－(140°－2x°)＝2x°＋20°.

①当∠FDE＝∠DFE时，140－2x＝2x＋20，解得x＝30；②当∠DFE＝∠E＝20°时，2x＋20＝20，解得x＝0，∵0<x≤45，∴不合题意，舍去；③当∠FDE＝∠E＝20°时，140－2x＝20，解得x＝60，∵0<x≤45，∴不合题意，舍去．综上所述，x＝30.

七、22.(1)证明：∵AB⊥BC，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.

∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED.

(2)45°　点拨：过点F作FM∥AB交CB于点M.

∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠B＋∠C＝180°，∠CED＋∠CDE＝90°，

∴AB∥CD，∴FM∥AB∥CD.由(1)知∠BAE＝∠CED，∴∠BAE＋∠CDE＝90°.

∵AF，DF分别平分∠BAE和∠CDE，

∴∠CDF＝∠CDE，∠BAF＝∠BAE，

∴∠CDF＋∠BAF＝(∠BAE＋∠CDE)＝45°.

∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF＋∠BAF＝45°.

(3)证明：∵EH平分∠CED，∴∠CEH＝∠CED，

∴∠BEG＝∠CED.∵AF平分∠BAE，∴∠BAG＝∠BAE.由(1)知∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG.∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠BAG＋∠GAE＋∠AEB＝90°，∴∠GAE＋∠AEB＋∠BEG＝90°，

∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF.

八、23.解：(1)BF＝PD＋PE

(2)仍然成立．证明：∵S_△ABC＝AC×BF，

S_△ABP＝AB×PD，S_△ACP＝AC×PE，

且S_△ABC＝S_△ABP＋S_△ACP，∴AC×BF＝AB×PD＋AC×PE，∵AB＝AC，∴BF＝PD＋PE.

(3)①BF＝PD－PE.证明：∵S_△ABC＝AC×BF，

S_△ABP＝AB×PD，S_△ACP＝AC×PE，且S_△ABC＝S_△ABP－S_△ACP，∴AC×BF＝AB×PD－AC×PE，∵AB＝AC，∴BF＝PD－PE.

②6