第六章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，则CD＝( )
A．3 B．2 C．1 D．5
2．如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设AC，BC的中点分别为M，N.若MN＝3米，则AB＝( )
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
3．[2023·湘西州]一个七边形的内角和是( )
A．1 080° B．900° C．720° D．540°
4．如图，已知直线l1∥l2，BC＝3 cm，S△ABC＝3 cm2，则S△A1BC的高是( )cm.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，若∠ECF＝53°，则 ∠B＝( )
A．53° B．45° C．37° D．70°
6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论不一定正确的是( )
A．AD＝BC B．OA＝OC
C．AC⊥BD D．▱ABCD是中心对称图形
7．[2023·黄冈启黄中学二模]如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°.以点B为圆心，适当的长为半径作弧，分别交BC，AB于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H.若AD＝，则BH的长为( )
A． B． C．2 D．
8．(母题：教材P158复习题T3)如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有( )
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
9．如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角∠BAF的平分线相交于点P，且∠APB＝40°，则∠CBP的度数为( )
A．80° B．60° C．40° D．30°
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝8，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB＋PD的最小值等于( )
A．4 B．3 C．2 D．2
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请添加一个条件：________，使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．
12．如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF，若 AD＝4，则EF的长为________．
13．[2023·凉山州]如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是________．
14．一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝∠B＝∠C＝∠CDE＝∠FGA＝90°，∠E＝130°，质检工人测得∠F＝130°，就断定这个零件________(填“合格”或“不合格”)．
15．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是________°.
16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD⊥AB.若AB＝3，BC＝5，则AC的长是________．
17．如图，在▱ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF. 若 S△BEF＝4，则S▱ABCD＝________．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－2x＋4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一动点，E是直线AB上的一动点．若以E，D，O，A为顶点的四边形恰好为平行四边形，则点E的坐标为________．
三、解答题(19，20题每题8分，21题10分，22题12分，其余每题14分，共 66分)
19．[2023·济南]如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：DE＝BF.
20．(母题：教材P157习题T2)一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20°，求这个正多边形的内角和．
21．[2022·广西]如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD, BC于点E，F (不写作法，保留作图痕迹)；
(3)连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．
22．[2023·扬州]如图，点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF，CE相交于点M，连接AG，CH相交于点N.
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．
23．学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．以下是小明的探究过程，请补充完整：
(1)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB∥CD，补充下列条件中的________，能判定四边形ABCD是平行四边形(写出一个你认为正确选项的序号)．
A．BC＝AD B．AO＝CO
(2)将(1)中的命题用文字语言表述如下：
①命题1：_________________________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知、求证和证明．
(3)小明进一步探究发现：
若一个四边形ABCD的三个顶点A，B，C的位置如图所示，且这个四边形满足CD＝AB，∠D＝∠B，但四边形ABCD不是平行四边形，画出符合题意的四边形ABCD，进而小明发现：命题2：“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10 cm，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2 cm，连接PE，设点P的运动时间为t s.
(1)①CE＝________(用含t的式子表示)；
②若PE⊥BC，求BQ的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、1．A 2．B 3．B 4．B 5．A 6．C
7．B 【点拨】由平行四边形的性质，可得AB∥CD，BC＝AD＝，∴∠ABC＋∠C＝180°，∠CHB＝∠ABH.∴∠C＝180°－∠ABC＝60°.
由题意，知BH是∠ABC的平分线，
∴∠CBH＝∠ABH.∴∠CBH＝∠CHB.∴CH＝BC.
又∵∠C＝60°，∴△BCH是等边三角形．
∴BH＝BC＝.
8．A 【点拨】
∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD＝S△CBD.
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP＝S△BHP.
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，∴S△GPD＝S△FPD.
∴S△ABD－S△BEP－S△GPD＝S△BCD－S△BHP－S△PFD，
即S▱AEPG＝S▱HCFP.
∴S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AEFD＝S▱HCDG.
即S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AEPG＝S▱HCFP，S▱AEFD＝S▱HCDG.
9．C 【点拨】∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝∠ABC＝＝120°.
∵AP是∠FAB的平分线，∴∠PAB＝∠FAB＝60°.
∵∠APB＝40°，∴∠ABP＝180°－∠PAB－∠APB＝80°.
∴∠CBP＝∠ABC－∠ABP＝40°.
1
0．A
【点拨】延长AD，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，交CD于点P，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠EDP＝∠DAB＝45°.
∵PE⊥AD，∴∠PED＝90°.
∴∠EPD＝90°－∠EDP＝45°.
∴∠EDP＝∠EPD.∴DE＝PE.
∴在△DEP中，由勾股定理得DE2＋PE2＝2DE2＝PD2.∴DE＝PD.
同理可得BE′＝AB，
∴PB＋PD＝PB＋DE＝PB＋PE.
∴当点E，P，B在同一条直线上时，PB＋PD的值最小，最小值为BE′的长．
∵AB＝8，
∴PB＋PD＝BP′＋P′E′＝BE′＝AB＝4.
二、11．AF＝EC(答案不唯一) 12．2 13．(4，2)
14．不合格 【点拨】∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠A＋∠B＋∠C＋∠H＝360°，∴∠H＝90°.
∵∠CDE＝∠FGA＝90°，∴∠EDH＝∠FGH＝90°.
∵∠E＝130°，∠F＝130°，
∴∠FGH＋∠H＋∠EDH＋∠F＋∠E＝530°.
∵五边形的内角和为540°，∴这个零件不合格．
15．30 16．2
17．18 【点拨】∵BF＝2AF，∴BF＝AB.
∴S△ABE＝S△BEF＝6.
又∵AE＝2EC，∴AC＝AE.
∴S△ABC＝S△ABE＝×6＝9.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝2×9＝18.
18．或
【
点拨】①如图a，当OE∥AD，DE∥OA时，四边形OEDA为平行四边形．
∵OE∥AC，
∴直线OE的表达式为y＝－2x.
联立直线OE，AB的表达式，得
解得∴E.
②当OA为对角线，且OE∥AD′，AE∥OD′时，则四边形OEAD′为平行四边形，如图a，
由①知E.
③如图b，当DE∥OA，OD∥AE时，四边形OAED为平行四边形．
∵
OD∥AE，
∴直线OD的表达式为y＝x.
联立直线OD，AC的表达式，得
解得∴D.
联立直线AB，AC的表达式得 解得
∴A(1，2)．∴直线OA的表达式为y＝2x.
∵DE∥OA，∴设直线DE的表达式为y＝2x＋b，
将点D的坐标代入直线DE的表达式得2×＋b＝，解得b＝－.
∴直线DE的表达式为y＝2x－.
联立直线DE，AB的表达式，得解得
∴E.
综上所述，点E的坐标为或.
三、19．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC.
∵点O为对角线AC的中点，∴AO＝CO.
∴△AOE≌△COF.∴AE＝CF.
∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.
20．【解】设这个正多边形每一个外角的度数为x，则每一个内角的度数为 180°－x.
依题意有180°－x＝3x＋20°，解得x＝40°.
∴这个正多边形的边数为 ＝9.
∴其内角和为(9－2)×180°＝1 260°.
21．(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB.
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB(SSS)．
(2)【解】如图①所示．
(3)【解】如图②，
∵EF垂直平分BD，∠DBE＝25°，∴EB＝ED.
∴∠DBE＝∠BDE＝25°.
∵∠AEB是△BED的外角，
∴∠AEB＝∠DBE＋∠BDE＝25°＋25°＝50°.
22．(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵点F，H分别是BC，AD的中点，
∴AH＝AD，CF＝BC.
∴AH＝CF.
又∵AH∥CF，
∴四边形AFCH是平行四边形．∴AM∥CN.
同理可得四边形AECG是平行四边形，
∴AN∥CM.∴四边形AMCN是平行四边形．
(2)【解】如图，连接AC.
∵
H，G分别是AD，CD的中点，
∴点N是△ACD的重心．
∴CN＝2HN.
∴S△ACN＝S△ACH.
又∵CH是△ACD的中线，
∴S△ACH＝S△ACD.∴S△ACN＝S△ACD.
∵AC是▱AMCN和▱ABCD的对角线，
∴2S△ACN＝S▱AMCN，2S△ACD＝S▱ABCD.
∴S▱AMCN＝S▱ABCD.
∵▱AMCN的面积为4，
∴▱ABCD的面积为4÷＝12.
23．【解】(1)B
(2)①一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
②
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，AO＝CO.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∠BAO＝∠DCO.
又∵AO＝CO，∴△AOB≌△COD(AAS)．∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(
3)如图，四边形ABCD满足CD＝AB，∠D＝∠B，但四边形ABCD不是平行四边形．
【点拨】作图：先作AD′＝AB，交BC的延长线于点D′，再作△ACD≌△CAD′.
24．【解】(1)①(2t－2)cm
②如图所示，过点A作AM⊥BC于点M，设PE与AC交于点N，则AP＝t cm，CQ＝2t cm，CE＝CQ－QE＝(2t－2)．
∵
∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°.
∵AM⊥BC，
∴易得BM＝AM＝CM.
∴AM＝BC＝×10＝5(cm)．
∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠C＝45°.
又∵PE⊥BC，AM⊥BC，∴PE＝AM＝5 cm，PE⊥AD.
∴易得△APN，△CEN是等腰直角三角形．
∴PN＝AP＝t cm，CE＝NE＝(5－t)cm.
∴5－t＝2t－2，解得t＝.
∴BQ＝BC－CQ＝10－2×＝(cm)．
即BQ的长为 cm.
(2)存在，t＝4或t＝12，理由如下：
第一种情况：当点Q，E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，
∴t＝10－2t＋2，解得t＝4；
第二种情况：当点Q，E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，
∴t＝2t－2－10，解得t＝12.
综上所述，存在t的值，即t＝4或t＝12时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形．