第五章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．(母题：教材P109习题T1)下列式子是分式的是( )
A． B． C． D．1＋x
2．[2023·株洲]将关于x的分式方程＝去分母可得( )
A．3x－3＝2x B．3x－1＝2x
C．3x－1＝x D．3x－3＝x
3．计算的结果为( )
A．1 B． C． D．0
4．下列各分式中，是最简分式的是( )
A． B． C． D．
5．下列各式中，正确的是( )
A．－＝ B．－＝
C．＝ D．－＝
6．分式方程＝的解为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．化简÷的结果为( )
A．2 B． C．－6 D．－8
8．[2023·扬州一模]若关于x的分式方程＝有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是m>4，乙解得的答案是m<2，则正确的是( )
A．只有甲答案对 B．只有乙答案对
C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确
9．[2023·深圳]某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设每辆大货车运货x吨，则所列方程正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．已知关于x的不等式组的解集为－1＜x＜2，则代数式·的值是( )
A． B．－2 C．－ D．－
二、填空题(每题3分，共24分)
11．与的最简公分母是________．
12．[2023·南充]若分式的值为0，则x的值为________．
13．用换元法解方程＋＝4，若设＝y，那么所得到的关于y的整式方程为____________．
14．已知a，b两数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是________．
15．(母题：教材P132复习题T5(3))已知＝＋，则A＝________，B＝________.
16．对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝－，若5*(3x－1)＝2，则x的值为________．
17．[2023·重庆]若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＋＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________．
18．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，如，三根弦长度之比是15︰12︰10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：－＝－，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：4，6，x，若要能组成调和数，则x的值为________．
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．计算：(1)－； (2)[2023·泸州]÷.
20．先化简，再求值：
(1)÷，其中x＝2－；
(2)[2023·广元]÷，其中x＝＋1，y＝.
21．解分式方程：
(1)[2022·宿迁]＝1＋； (2)＋＝1.
22．若整数a使关于x的不等式组有且只有45个整数解，且使关于y的方程＋＝1的解为非正数，求整数a的值．
23．[2023·扬州一模]将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为(b>a>0)．
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为________；
(2)请证明(1)中的数学关系式；
(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a，b，c，证明：＋＋<2.
24．[2022·衢州]金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用＝年行驶费用＋年其他费用)
答案
一、1．C 2．A 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A
8．D 【点拨】＝，
去分母得4x－2＝mx－m，
移项，合并同类项得(4－m)x＝2－m，解得x＝.
∵关于x的分式方程＝有正数解，
∴
解得m>4或m<2，且m≠0，
∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．
9．B 【点拨】∵每辆大货车运货x吨，
∴每辆小货车运货(x－5)吨，
依题意得＝.故选B.
10．D 【点拨】解不等式组解得
∵不等式组的解集为－1＜x＜2，
∴解得
∴·＝·
＝a＋b＝－2
＝－.
二、11．18a2b2c 12．－1 13．y2－4y＋3＝0 14．b－a＋1
15．－； 【点拨】＝＋＝＝.
∴ 解得
16． 【点拨】根据新定义，得－＝2，解方程即可．
17．4 【点拨】解不等式组得
∵至少有2个整数解，∴≤4，∴a≤6.
解分式方程＋＝2，得y＝.
∵y的值是非负整数，a≤6，a是整数，
∴当a＝5时，y＝2，当a＝3时，y＝1，
当a＝1时，y＝0.
∵y＝2是分式方程的增根，
∴a＝5不合题意，舍去，
∴满足条件的a的值有3和1.
∵3＋1＝4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是4.
18．12或3或 【点拨】当x<4时，根据题意得－＝－，
整理得＝，解得x＝3；
当4<x<6时，根据题意得－＝－，
整理得＝，解得x＝；
当x>6时，根据题意得－＝－，
整理得＝，解得x＝12.
故x的值为12或3或.
三、19．【解】(1)原式＝－＝＝.
(2)原式＝[＋]×
＝×
＝×
＝m＋2.
20．【解】(1)原式＝÷＝·＝2－x.
当x＝2－时，原式＝2－x＝2－(2－)＝.
(2)原式＝÷
＝·
＝·
＝.
当x＝＋1，y＝时，原式＝＝.
21．【解】(1)＝1＋，
去分母，得2x＝x－2＋1，解得x＝－1.
经检验，x＝－1是原方程的解．
则原方程的解是x＝－1.
(2)方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2＋4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0，所以原分式方程的解为x＝－3.
22．【解】解不等式组，得<x≤25.
∵不等式组有且只有45个整数解，
∴－20≤<－19，解得－61≤a＜－58.
解关于y的方程得y＝－a－61.
∵关于y的方程＋＝1的解为y＝－a－61，y≤0，
∴－a－61≤0，解得a≥－61.
∵y＋1≠0，∴y≠－1，∴a≠－60.
故整数a的值为－61或－59.
23．(1)>
(2)【证明】利用作差法比较大小：
－＝－＝＝.
∵m>0，b>a>0，∴b－a>0，b＋m>0，即>0，
∴－>0，即>.
(3)【证明】在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，且a>0，b>0，c>0，
∴<1，<1，<1.
由糖水不等式得<，<，<，
∴＋＋<＋＋＝2，
∴＋＋<2.
24．【解】(1)新能源车的每千米行驶费用为＝(元)．
(2)①由题意得－＝0.54，解得a＝600，
经检验，a＝600是所列分式方程的解，且符合题意，
则＝＝0.6，＝＝0.06.
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元．
②设每年行驶里程为x千米，由题意得0.6x＋4 800>0.06x＋7 500，解得x>5 000.
答：每年行驶里程超过5 000千米时，买新能源车的年费用更低．