第四章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列因式分解正确的是( )
A．2a2－4a＋2＝2(a－1)2 B．a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C．4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b) D．a3b－ab3＝ab(a－b)2
2．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错误的题目是( )
用平方差公式解下列各式： (1)a2－b2；(2)49x2－y2z2；(3)－x2－y2；(4)16m2n2－25p2. |
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
3．下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是( )
A．a2－4 B．a2＋6a＋9 C．a2＋16 D．9a2－6a＋1
4．下列各组代数式中，没有公因式的是( )
A．ax＋y和x＋y B．2x和4y
C．a－b和b－a D．－x2＋xy和y－x
5．计算：1252－50×125＋252＝( )
A．100 B．150 C．10 000 D．22 500
6．小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中记录着下面的信息．现将8m·
(a2－b2)－8n·(a2－b2)分解因式，结果呈现的密码信息可能是( )
a－b |
m－n |
8 |
a＋b |
a2＋b2 |
m |
爱 |
大 |
兴 |
文 |
美 |
好 |
A．大爱兴文 B．美好兴文 C．大美兴文 D．大好兴文
7
．(母题：教材P94习题T4)从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图①)，然后拼成一个平行四边形(如图②)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为( )
A．a2－b2＝(a－b)2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
8．不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值( )
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
9．我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数和式的运算进行了深入研究与总结，运用其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题．已知a，b为实数，且a＋b＝4，ab＝2，计算可得a2＋b2＝12，a3＋b3＝40，a4＋b4＝136，……由此求得a5＋b5＝( )
A．416 B．436 C．464 D．484
10．[2023·衡水三中二模]若a2(b＋c)＝b2(a＋c)＝2 023，a≠b，则abc的值为( )
A．2 023 B．1 011 C．－2 023 D．2 024
二、填空题(每题3分，共24分)
11．18x3y2与12x6y的公因式为________．
12．[2023·无锡]分解因式：4－4x＋x2＝________．
13．若整式x2＋ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是________．(写出一个即可)
14．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式：____________．
15．(母题：教材P105复习题T13)如果x2＋kx＋64是一个完全平方式，那么k的值是________．
16．[2023·凉山州]己知x2－2x－1＝0，则3x3－10x2＋5x＋2027的值等于________．
17．已知x，y是二元一次方程组的解，则代数式x2－4y2的值为________．
18．一个两邻边长分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为________．
三、解答题(19题12分，20题6分， 21题8分，其余每题10分，共66分)
19．把下列各式因式分解：
(1)－5x2y2＋10xy3－15x2y； (2)2x2－4x＋2；
(3)(x2＋1)2－4x2; (4)a4－8a2b2＋16b4.
20．(母题：教材P97习题T2(3))已知a＋b＝，ab＝2，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
21．(母题：教材P105复习题T14)232－1可以被10和20之间某两个整数整除，求这两个数．
22．[2023·嘉兴]观察下面的等式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，…
(1)尝试：132－112＝8×________.
(2)归纳：(2n＋1)2－(2n－1)2＝8×________(用含n的代数式表示，n为正整数)．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
23．(母题：教材P100随堂练习T3)如图，在一个边长为a m的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为b m的正方形花坛(a＞2b)，其余的地方种草坪．
(1)求种草坪的面积是多少平方米；
(2)当a＝84，b＝8时，且种每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？
24．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法．
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体(如图①)，然后利用切割的方法把剩余的立体图形(如图②)分成三部分(如图③)，这三个长方体的体积依次为b2(a－b)，ab(a－b)，a2(a－b)．
(1)分解因式：a2(a－b)＋ab(a－b)＋b2(a－b)＝______________．
(2)请用两种不同的方法求图①中的立体图形的体积(用含有a，b的代数式表示)：
①____________；②______________________．
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为______________________________．
(3)应用：利用在(2)中所得到的等式进行因式分解：x3－125＝_________________.
(4)拓展：已知a－2b＝6，ab＝－2，求代数式a4b－8ab4的值．
25．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式变形为a(x＋m)2＋n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2＋bx＋c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：
x2＋4x－5＝x2＋4x＋－－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)仿照材料的方法，分解因式：x2＋2x－8；
(2)求多项式x2＋4x－3的最小值；
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，请判断△ABC的形状．
答案
一、1．A 2．C 3．C 4．A 5．C
6．A 【点拨】8m(a2－b2)－8n(a2－b2)＝8(a2－b2)(m－n)＝8(a＋b)(a－b)(m－n)，∴密码信息由兴、文、爱、大四字组成．故选A.
7．C 【点拨】题图①中阴影部分的面积可表示为两个正方形的面积差，即a2－b2，根据拼图可知，所拼成的平行四边形的底为a＋b，高为×2＝a－b，则由平行四边形的面积计算公式可得题图2的阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)，因此有a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
8．A 【点拨】x2＋y2＋2x－4y＋7
＝(x2＋2x＋1)＋(y2－4y＋4)＋2
＝(x＋1)2＋(y－2)2＋2.
∵(x＋1)2≥0，(y－2)2≥0，
∴x2＋y2＋2x－4y＋7≥2.
即不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于2.
9．C 【点拨】∵a4＋b4＝136，a＋b＝4，
∴(a4＋b4)(a＋b)＝136×4＝544.
∴a5＋ab4＋ba4＋b5＝544.
又∵ab＝2，a3＋b3＝40，
∴a5＋b5＝544－ab4－ba4
＝544－ab(a3＋b3)
＝544－2×40
＝464.
10．C 【点拨】∵a2(b＋c)＝b2(a＋c)＝2 023，
∴a2(b＋c)－b2(a＋c)＝0，
即a2b＋a2c－ab2－b2c＝0.
整理得ab(a－b)＋c(a＋b)(a－b)＝0，
∴(a－b)(ab＋ac＋bc)＝0.
∵a≠b，∴a－b≠0.
∴ab＋ac＋bc＝0，即ab＋bc＝－ac.
∵b2(a＋c)＝2 023，
∴b(ab＋bc)＝2 023，即b(－ac)＝2 023.
∴abc＝－2 023.
二、11．6x3y 12．(2－x)2 13．－1(答案不唯一)
14．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 15．±16
16．2 023 【点拨】∵x2－2x－1＝0，
∴x2－2x＝1.
∴3x3－10x2＋5x＋2 027
＝3x(x2－2x)－4(x2－2x)－3x＋2 027
＝3x×1－4×1－3x＋2 027
＝3x－4－3x＋2 027
＝2 023.
17．
18．70 【点拨】由题意得a＋b＝7，ab＝10，∴a2b＋ab2＝(a＋b)·ab＝7×10＝70.
三、19．【解】(1)原式＝－5xy(xy－2y2＋3x)．
(2)原式＝2(x2－2x＋1)＝2(x－1)2.
(3)原式＝[(x2＋1)＋2x][(x2＋1)－2x]＝(x2＋2x＋1)(x2－2x＋1)＝(x＋1)2(x－1)2.
(4)原式＝(a2－4b2)2＝(a－2b)2(a＋2b)2.
20．【解】a3b＋a2b2＋ab3
＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2.
∵a＋b＝，ab＝2，
∴原式＝×2×＝.
21．【解】232－1＝(216)2－1＝(216＋1)(216－1)＝(216＋1)(28＋1)(28－1)＝(216＋1)·
(28＋1)(24＋1)(24－1)．
∵24＝16，∴24＋1＝17，24－1＝15.
∴232－1能被15和17整除．
又∵15和17在10和20之间，∴所求的两个数为15和17.
22．【解】(1)6 (2)n
(3)(2n＋1)2－(2n－1)2
＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)
＝4n×2
＝8n.
23．【解】(1)种草坪的面积是(a2－4b2) m2.
(2)当a＝84，b＝8时，种草坪的面积是a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(84＋2×8)×
(84－2×8)＝100×68＝6 800(m2)．
所以种这块草坪共需投资5×6 800＝34 000(元)．
24．【解】(1)(a－b)(a2＋ab＋b2)
(2)①a3－b3
②b2(a－b)＋ab(a－b)＋a2(a－b)
思考：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
(3)(x－5)(x2＋5x＋25)
(4)a4b－8ab4＝ab(a3－8b3)＝ab(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)＝ab(a－2b)[(a－2b)2＋6ab]．
当a－2b＝6，ab＝－2时，原式＝－2×6×(36－12)＝－288.
25．【解】(1)x2＋2x－8
＝x2＋2x＋－－8
＝(x＋1)2－9
＝(x＋1＋3)(x＋1－3)
＝(x＋4)(x－2)．
(2)x2＋4x－3
＝x2＋4x＋－－3
＝(x＋2)2－7.
∵(x＋2)2≥0，
∴(x＋2)2－7≥－7.
∴x2＋4x－3的最小值为－7.
(3)∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴a2＋b2＋c2＋50－6a－8b－10c＝0.
∴a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25＝0，
∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.
又(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，(c－5)2≥0，
∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2＋b2＝32＋42＝52＝c2，
∴△ABC是直角三角形．