【324363】2024春八年级数学下册 第3章 图形的平移与旋转综合素质评价（新版）北师大版

第三章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2023·北京]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

2．有以下现象：①“北斗”卫星绕地球运动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是(　　)

A．①③ B．①② C．②③ D．②④

3．在平面直角坐标系中，将点A(4，5)向左平移2个单位长度，所得到的点的坐标为(　　)

A．(2，5) B．(6，5) C．(4，7) D．(2，3)

4．[2023·广州天河外国语学校三模]如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是(　　)

5．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD，CE，若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为(　　)

A．5 B．6 C．10 D．4

6．如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为(0，2)，(3，0)，(1，4)．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是(　　)

A．(2，3) B．(3，3) C．(4，2) D．(5，1)

7．如图，直线y＝－x＋3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是(　　)

A．(2，5) B．(3，5) C．(5，2) D．(，2)

8．[2022·呼和浩特]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC，ED交于点F. 若 ∠BCD＝α，则∠EFC的度数是(用含α的代数式表示)(　　)

A．90°＋α B．90°－α C．180°－α D．α

9．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线 y＝2x－6上时，线段BC平移的距离为(　　)

A．4 B．5 C．6 D．8

10．[2022·杭州]如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B.在M₁，M₂(－，－1)，M₃(1，4)，M₄四个点中，直线PB经过的点是(　　)

A．M₁ B．M₂ C．M₃ D．M₄

二、填空题(每题3分，共24分)

11．在平面直角坐标系中，点A(－3，)关于原点中心对称的点的坐标是________．

12．在平面直角坐标系中，将点P(－2，1)先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点P′，则点P′的坐标是__________．

13．[2023·张家界]如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是________．

14．如图①，我国是世界上最早制造使用水车的国家，1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水集纵横，沃土繁丰，而今，兰州水车博览园是百里黄河风景线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图②是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处(舀水)转动到B处(倒水)所经过的路程是________米．(结果保留π)

15．如图，把边长为3 cm的正方形ABCD先向右平移1 cm，再向上平移1 cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为__________．

16．[2023·杭州公益中学三模]如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上， ∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A₁OB₁，边A₁O交直线a于点C，则∠1＝________°.

17．如图，在等边三角形ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝4.5，BD＝4，则△ADE的周长为________．

18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后得到△AFB，连接EF，则有下列结论：①△AED≌△AEF；②BE＋DC＝DE；③S_△ABE＋S_△ACD＞S_△AED；④BE²＋DC²＝DE².其中正确的是__________．(填序号)

三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)

19．图①、图②、图③都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上灰色，请你再涂灰两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件．

(1)图①中，整个涂色部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

(2)图②中，整个涂色部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；

(3)图③中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．

20．(母题：教材P77习题T1)如图，△ABC是等边三角形，△ABD按顺时针方向旋转后能与△CBD′重合．

(1)旋转中心是________，旋转角是________°；

(2)连接DD′，求证：△BDD′为等边三角形．

21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．

(1)画出△ABC关于点O成中心对称的△A₁B₁C₁；

(2)平移△ABC，若点A的对应点A₂的坐标为(－5，－2)，画出平移后对应的△A₂B₂C₂，求线段BC在平移过程中扫过的面积；

(3)若将△A₁B₁C₁绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂，则旋转中心的坐标为________．

22．如图，在平面直角坐标系中，OA＝2，OB＝3，现同时将点A，B先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD.

(1)写出点A，B，C，D的坐标．

(2)在线段CO上是否存在一点P，使得S_△CDP＝S_△PBO？如果存在，试求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

23．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求，并说明理由．

(1)在图①中，以AB和AC为边画四边形ABDC，点D在小正方形的顶点上，此四边形至少有两个内角为直角且既不是中心对称图形也不是轴对称图形；

(2)在图②中，以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，此四边形只有一个内角为直角且面积为10.

24．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE.现将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜360°)，如图②，连接CE，BD，CD.

(1)当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；

(2)如图③，当α＝90°时，连接CE，BD，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分线段BD；

(3)在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

答案

一、1．A　2．D　3．A　4．D

5．A 【点拨】由题图可知S_△ACD＝S_{四边形BCED}＝10，S_△BCE＝S_{四边形BCED}＝5.

6．C 【点拨】设直线PQ的表达式为y＝kx＋b，

则 解得

∴直线PQ的表达式为y＝－x＋2.

∵MN∥PQ，

∴设直线MN的表达式为y＝－x＋t.

∵M(1，4)，∴4＝－＋t，解得t＝.

∴直线MN的表达式为y＝－x＋.

当x＝2时，y＝；当x＝3时，y＝；

当x＝4时，y＝2；当x＝5时，y＝.

故选C.

7．C 【点拨】∵直线y＝－x＋3分别与x轴，y轴交于点A，B，

∴ A(2，0)，B(0，3)．

∴OB＝3，OA＝2.

∵将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，

∠AOB＝90°，

∴AC＝OA＝2，CD＝OB＝3，∠OAC＝90°，∠ACD＝90°.

∴∠OAC＝∠DCA.∴CD∥OA.

如图，延长DC交y轴于点E，易得EC＝2，DE＝EC＋CD＝2＋3＝5，

∴D(5，2)．

8．C 【点拨】∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，且∠BCD＝α，

∴BC＝DC，∠ACE＝α，∠A＝∠E.

∴∠B＝∠BDC＝＝90°－.

∴∠A＝∠E＝90°－∠B＝90°－90°＋＝.

∴∠EFC＝180°－∠ACE－∠E＝180°－α－＝180°－α.

9．A 【点拨】

如图所示．

∵ 点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，

∴AB＝3.

∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4.

∴A′C′＝4.

∵点C′在直线y＝2x－6上，

∴2x－6＝4，解得x＝5.即OA′＝5.

∴CC′＝5－1＝4.∴线段BC平移的距离为4.

10．B 【点拨】∵点A(4，2)，点P(0，2)，

∴ PA⊥y轴，PA＝4，OP＝2.

由旋转得∠APB＝60°，AP＝PB＝4，

如图，过点B作BC⊥y轴于点C，

易得∠BPC＝30°.

∴BC＝2，PC＝2.

∴B(2，2＋2)．

设直线PB的表达式为y＝kx＋b，

则 解得

∴直线PB的表达式为y＝x＋2.

当y＝0时，解得x＝－，

∴点M₁不在直线PB上；

当x＝－时，y＝－1，

∴M₂(－，－1)在直线PB上；

当x＝1时，y＝＋2，

∴M₃(1，4)不在直线PB上；

当x＝2时，y＝2＋2，

∴M₄不在直线PB上．

故选B.

二、11．(3，－)　12．(1，5)　13．75°　14．5π

15．4 cm² 【点拨】根据平移的性质判断出阴影部分是正方形并求出边长，然后根据面积公式列式进行计算即可得解．

16．50 【点拨】∵将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A₁OB₁，

∴∠BOB₁＝∠AOA₁＝75°.

∵∠AOB＝55°，

∴∠A₁OD＝180°－∠AOB－∠AOA₁＝50°.

∵a∥b，∴∠1＝∠A₁OD＝50°.

17．8.5 【点拨】∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴AE＝CD， BD＝BE，∠DBE＝60°.∴△BDE是等边三角形．∴DE＝BD＝4，又∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝4.5.∴△AED的周长＝AE＋AD＋DE＝CD＋AD＋DE＝AC＋DE＝4.5＋4＝8.5.

18．①③④ 【点拨】由旋转的性质知AF＝AD，BF＝CD，∠FBA＝∠DCA， ∠FAD＝90°，又∵∠DAE＝45°，

∴∠FAE＝∠DAE＝45°.

又∵AE＝AE，∴△AED≌△AEF.∴DE＝EF.

∵∠EBF＝∠FBA＋∠ABE＝∠ACD＋∠ABE＝90°，

∴BE²＋BF²＝BE²＋DC²＝EF²＝DE².

由题易得S_△ABE＋S_△ACD＝S_△ABE＋S_△AFB＞S_△AED，BE＋DC＝BE＋FB＞EF＝ED.

∴正确的结论是①③④.

三、19．【解】(1)如图①.(答案不唯一)

(2)如图②.(答案不唯一)

(3)如图③.

20．(1)点B；60

(2)【证明】由旋转的性质得BD＝BD′.

∵旋转角是60°，∴∠DBD′＝60°.

∴△BDD′为等边三角形．

21．【解】(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求作的三角形．

(2)如图所示，△A₂B₂C₂即为所求作的三角形．连接BB₂，CC₂，则四边形BB₂C₂C的面积即为BC在平移过程中扫过的面积．

作出长方形EFGH，则S_{四边形BB2C2C}＝S_{长方形EFGH}－S_△BEB2－S_△BCH－S_△B2C2F－S_△CGC2

＝6×3－×4×2－×2×1－×2×1－×4×2

＝8.

(3)(－1，－2)

22．【解】(1)∵OA＝2，OB＝3，

∴A(－2，0)，B(3，0)．

∵点A，B先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得对应点C，D，

∴C(0，2)，D(5，2)．

(2)存在．如图所示，设P(0，a)，易知CD＝AB＝5，CP＝2－a，OP＝a，

∴S_△CDP＝CD·CP＝×5×(2－a)＝(2－a)，S_△PBO＝OB·OP＝×3a＝a.

∴(2－a)＝a，解得a＝.

∴点P的坐标为.

23．【解】(1)如图①，四边形ABDC即为所求．(答案不唯一)

理由：由图①可得AB²＝2²＋1²＝5，AC²＝2²＋4²＝20，BC²＝3²＋4²＝25.

∴BC²＝AB²＋AC².

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.

根据图①可知∠BDC＝90°，

∴四边形ABDC满足至少有两个内角为直角，

根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知四边形ABDC既不是轴对称图形也不是中心对称图形．

∴四边形ABDC即为所求．

(2)如图②，四边形ABCE即为所求．

理由：由(1)可知△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，

∴S_△ABC＝AB·AC＝××2＝5.

由图②可得AE＝＝，CE＝＝.

∴AC²＝AE²＋CE²，AE＝CE.

∴△ACE是直角三角形，且∠AEC＝90°，∠EAC＝∠ECA＝45°.

∴S_△AEC＝AE·CE＝××＝5.

∴S_{四边形ABCE}＝S_△ABC＋S_△AEC＝5＋5＝10.

∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，AB≠AC，

∴∠ACB≠45°，∠ABC≠90°.∴∠ACB＋∠ACE≠90°.

又∵∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝135°，

∴四边形ABCE只有内角∠AEC为直角．

∴四边形ABCE即为所求．

24．(1)【证明】易知∠CAE＝∠BAD＝α.

在△ACE和△ABD中，

∴△ACE≌△ABD(SAS)．

∴CE＝BD.

(2)【证明】由(1)知△ACE≌△ABD，

∴∠ACE＝∠ABD.

∵∠ACE＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠FEB，

∴∠ABD＋∠FEB＝90°.∴∠EFB＝90°.∴CF⊥BD.

∵AB＝AC＝＋1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，

∴BC＝AC＝＋2，CD＝AC＋AD＝＋2.∴BC＝CD.

又∵CF⊥BD，∴BF＝DF.

∴CF垂直平分线段BD.

(3)【解】在△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值．

∴ 当点D在线段BC的垂直平分线上，且在△ABC外部时，△BCD的面积取得最大值．

如图为△BCD的面积取得最大值时的图形，延长DA交BC于点G，则DG⊥BC.

由(2)知BC＝＋2，易知AG＝BC＝，∠GAB＝45°.

∴DG＝AG＋AD＝＋1＝，∠DAB＝180°－45°＝135°.

∴S_△BCD的最大值为BC·DG＝×(＋2)×＝.

此时旋转角α＝135°.