综合复习与测试（2）（计算化简值求解方程100题）（巩固篇）
（专项练习）
【类型一】二次根式的运算
1．计算：
(1)计算：
(2)计算：
2．计算：
(1)
； (2)
．
3．计算：
(1)
； (2)
．
4．计算：
(1)
； (2)
．
5．计算：
(1)
(2)
6．计算．
(1)
(2)
7．计算：
(1)
(2)
．
8．计算：
(1)
； (2)
．
9．计算：
(1)
． (2)
．
10．计算：
(1)
(2)
．
11．计算
(1)
； (2)
．
12．计算下列各小题：
(1)
(2)
．
13．计算：
(1)
； (2)
．
14．计算：
(1)
(2)
15．计算：
(1)计算：
． (2)
16．计算
(1)
； (2)
．
17．计算：
(1)
(2)
18．计算：
(1)
； (2)
．
19．计算：
(1)
(2)
．
20．（1）
； （2）
．
21．计算：
(1)
． (2)
．
22．计算：
(1)
(2)
23．计算：
(1)
； (2)
．
24．计算：
(1)
； (2)
．
25．计算：
(1)
； (2)
．
【类型二】二次根式的化简求值
26．已知
，
，求代数式
的值．
27．先化简，再求值：
，其中
．
28．先化简，再求值：
，其中
，
．
29．已知
，
．
(1)填空：
，
； (2)求
的值．
30．（1）计算
；
（2）若
，
，求
的值．
（3）化简求值：
，其中
31．已知：
，
，求
的平方根．
32．（1）已知
，求代数式
的值
（2）已知
，求
的值．
33．已知
，
，求下列各式的值．
(1)
(2)
34．（1）计算：
①
②
（2）已知
，
，求：
①
的值； ②
的值．
（3）先化简，再求值：
，其中
．
35．（1）计算：
，
；
（2）已知
，求代数式
的值；
（3）比较大小：
．
36．（1）计算
（2）
（3）若
，求代数式
的值
（4）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，
（
是
的面积）；
，
（
是
的面积）；
，
（
是
的面积）；
……
①请用含有
（
为正整数）的式子填空：
____________，
______________
②求
的值
37．先化简，再求值：
，其中
，
.
38．化简求值：已知
，
，求
的值．
39．已知a、b满足
，求代数式
的值．
40．已知
，
(1)求
的值．
(2)若
的小数部分为
，
的整数部分为
，求
的平方根．
41．若
，
，求下列代数式的值．
(1)
； (2)
．
42．已知非零实数a，b满足
，求代数式
的值．
43．先化简：
，再求当
，
时的值．
44．解答下列各题
(1)已知
，
．求
的值．
(2)若
，求
的平方根．
45．先化简再求值：
，其中
，
．
46．已知
，完成以下两题：
(1)化简
(2)求代数式
的值．
47．已知
，求
的值．
48．如图，数轴上点A表示的数为2，点B表示的数为4，
，且
．以点A为圆心，
为半径作半圆，与数轴相交于点D和点E，点D表示的数记为x，点E表示的数记为y，
(1)
，
；
(2)若
，求
的值．
49．（1）计算（直接写结果）：
；
．
（2）把
写成
的形式为
．
（3）已知
，求代数式
的值．
50．观察下列一组等式，解答后面的问题：
(
＋1)(
－1)＝1，
(
＋
)(
－
)＝1，
(
＋
)(
－
)＝1，
(
＋
)(
－
)＝1，
(1)根据上面的规律：
①
＝________；
②
＝________；
(2)计算：（
＋
＋
＋…＋
）×(
＋1)．
(3)若a＝
，则求
的值．
【类型三】解一元二次方程
51．（1）计算
； （2）解方程：
．
52．解方程：
(1)
． (2)
．
53．计算
(1)
(2)
54．（1）计算
①
②
（2）解方程
①
②
55．已知关于x的方程
，
(1)证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程；
(2)当
时，解这个方程．
56．解下列一元二次方程：
(1)
； (2)
．
57．解方程：
(1)
； (2)
．
58．已知关于x的方程
．
(1)求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
59．解方程
(1)
(2)
60．（1）解方程：
； （2）解不等式组：
．
61．计算：
(1)解方程：
．
(2)关于x的一元二次方程
有实数根，求k的取值范围．
62．已知
，
，求
的值．
63．先化简，再求值：
，其中满足a满足
．
64．用恰当的方法解方程．
(1)
； (2)
．
65．解下列方程：
(1)
； (2)
（用配方法）．
66．计算：
(1)
； (2)
．
67．解分式方程：
(1)
(2)
68．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
； (2)
（配方法）．
69．解方程
(1)
（用配方法解） (2)
70．（1）解方程∶
（2）解不等式组
71．解方程：
(1)
； (2)
72．解方程：
(1)
； (2)
．
73．解方程：
(1)
． (2)
．
74．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
75．解方程
(1)
； (2)
．
76．解方程：
(1)
； (2)
．
77．用适当的方法解下列方程：
(1)
； (2)
；
(3)
； (4)
．
78．解方程：
(1)
(2)解方程：
79．解方程：
(1)
； (2)
．
80．解方程
(1)
；= (2)
81．用指定的方法解方程：
(1)
（用配方法） (2)
（用公式法）
(3)
（用因式分解法） (4)
（用适当的方法）
82．用适当的方法解方程．
(1)
(2)
83．解方程：
(1)
. (2)
；
84．用适当的方法解方程．
(1)
； (2)
85．解方程：
(1)
； (2)
．
86．用适当的方法解方程：
(1)
； (2)
．
87．用适当的方法解下列方程：
(1)
． (2)
．
88．解方程：
(1)
． (2)
．
(3)
． (4)
．
89．解方程：
(1)
(2)
90．解方程：
(1)
； (2)
91．（1）解方程（用公式法）：
．
（2）解方程（用因式分解法）：
92．用适当的方法解一元二次方程：
(1)
； (2)
．
93．（1）计算：
（2）解方程：
．
94．解方程：
(1)
； (2)
．
95．按要求解下列方程：
(1)
（直接开平方法）； (2)
（配方法）；
(3)
（公式法）； (4)
（因式分解法）．
96．解下列一元二次方程：
(1)
； (2)
．
97．（1）计算：
． （2）解方程：
．
98．（1）解方程：
（2）化简：
99．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
100．解方程：
(1)
； (2)
；
(3)
； (4)
．
参考答案
1．(1)0；(2)
【分析】（1）先化简二次根式和去绝对值，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．(1)
；(2)
【分析】（1）原式先化简二次根式后，再合并即可；
（2）原式根据完全平方公式和平方差公式去括号后，再合并即可．
解：（1）
=
=
=
（2）
=
=
【点拨】本题考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键
3．(1)
；(2)
【分析】（1）先去括号，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据实数的混合计算直接求解即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】此题考查二次根式的混合运算，解题关键是二次根式需要化成最简二次根式．
4．(1)
；(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后根据合并同类项即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．(1)
；(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）先根据二次根式的除法进行计算，同时根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6．(1)5；(2)4
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则进行计算即可得到答案；
（2）根据完全平方公式和二次根式加减法则进行计算即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题关键．
7．(1)
；(2)
【分析】（1）先化简各数，再合并计算；
（2）先化简，再算乘法，最后计算除法，将结果分母有理化．
（1）解：
．
（2）解：
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．(1)
；(2)
【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．(1)
；(2)
【分析】（1）根据完全平方公式，二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的性质化简，化简绝对值，零指数幂，进行计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
10．(1)
；(2)
【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式，最后进行除法运算即可；
（2）先分别进行负整数指数幂，算术平方根，零指数幂的运算，然后进行加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
【点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，二次根式的除法运算，负整数指数幂，算术平方根，零指数幂等知识．解题的关键在于正确的运算．
11．(1)
；(2)5
【分析】（1）先化简二次根式，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】
本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．(1)
；(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算，即可得到答案；
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算，即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
13．(1)
；(2)
【分析】（1）先化为最简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）将括号内的每一项与后面的
相除即可；
（1）解：原式
；
（2）解：原式
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．(1)
；(2)
【分析】（1）首先根据零指数幂、绝对值的性质、二次根式的性质计算，然后进行加减运算即可；
（2）首先根据平方差公式和完全平方式进行计算，然后进行加减运算即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和相关公式是解题关键．
15．(1)
；(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）根据平方差公式和零指数幂的计算法则去括号，然后计算加减法即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．(1)
；(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质，绝对值和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后算除法即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17．(1)
；(2)
【分析】（1）首先化简各个二次根式，然后再合并同类二次根式，即可得出结果；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后再进行加减运算，即可得出结果．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．(1)
；(2)
【分析】（1）利用积的乘方逆运算，零指数和绝对值化简，然后合并同类项解题即可；
（2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再化为最简二次根式合并同类项解题．
（1）解：
．
（2）解：
．
【点拨】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
19．(1)
；(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先化简二次根式、计算零指数幂、二次根式的乘法，再计算加减法即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法与加减法、零指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
20．（1）
；（2）8
【分析】（1）先将各个二次根式化为最简二次根式，再进行计算；
（2）根据完全平方公式，进行计算即可．
（1）解：
原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握将二次根式化为最简二次根式的方法和步骤，二次根数混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式．
21．(1)
；(2)
【分析】（1）原式先化简二次根式和进行二次根式的乘法，再进行合并即可；
（2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后再合并即可．
解：（1）
（2）
【点拨】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
22．(1)
；(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确计算是解题的关键．
23．(1)
；(2)
【分析】（1）先根据平方差公式和零指数幂的意义计算，然后把
化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则运算，再根据绝对值的意义和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
24．(1)
；(2)
【分析】（1）直接运用二次根式的性质及负指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）运用平方差公式及完全平方公式进行计算即可．
（1）解：原式=
=
；
（2）原式=
=
=
=
．
【点拨】本题考查了实数的运算及二次根式的混合运算，解决本题的关键是用平方差公式及完全平方公式进行简便运算．
25．(1)
；(2)
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
（1）解：
（2）
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
26．7
【分析】先求出
，
，再根据
进行求解即可．
解：∵
，
，
∴
，
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．
27．
，
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代值计算即可．
解：原式
；
∴当
时，原式
．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握平方差公式和完全平方公式，正确的进行计算，是解题的关键．
28．
，
．
【分析】先确定
，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将x，y的值代入计算即可得．
解：由题意得：
，
∴
，
则
，
当
，
时，原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
29．(1)
，
；(2)
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
（1）解：
，
；
故答案为：
，
；
（2）解：原式
；
∵
，
，
∴原式
．
【点拨】本题考查二次根式的加减运算，乘除运算，同时考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
30．（1）
（2）
（3）
，
【分析】（1）先化简各式，在进行加减运算；
（2）先进行因式分解，再代值计算；
（3）先根据分式的混合运算法则，进行化简，再代值计算．
解：（1）原式
；
（2）∵
，
，
∴
；
（3）原式
；
当
时，原式
．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，二次根式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
31．
【分析】先将x、y化简，然后即可得到
的值，从而可以求得所求式子的值．
解：∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
的平方根为
∴
的平方根为
．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值，求一个数的平方根，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
32．（1）2；（2）16．
【分析】（1）把
化成
，再代入数据利用平方差公式计算即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件得到
，
，求得
，
，再代入数据计算即可求解．
解：（1）∵
，
∴
；
（2）∵
，即
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
33．(1)
；(2)
【分析】（1）先把a、b进行分母有理化得到
，
，进而求出
，
，再根据
进行代值求解即可；
（2）根据
进行求解即可．
（1）解：∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
；
（2）解：由（1）得
，
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出
，
是解题的关键．
34．（1）①2；②
；（2）①
；②
；（3）
，
【分析】（1）①根据二次根式的混合计算法则和负整数指数幂计算法则求解即可；②根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）①先求出
，
，再根据
进行求解即可；②先求出
，
，再根据
进行求解即可；
（3）先根据分式的混合计算法则和二次根式的性质化简，然后代值计算即可．
解：（1）①原式
；
②原式
；
（2）①∵
，
，
∴
，
，
∴
；
②
，
，
∴
；
（3）
，
当
时，原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，分式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
35．（1）
，
；（2）
；（3）＞
【分析】（1）根据二次根式的分母有理化可进行求解；
（2）直接把x的值代入求解即可；
（3）由题意得
，进而问题可求解．
解：（1）
；
故答案为
，
；
（2）∵
，
∴
，
∴
；
（3）∵
，
∴
；
故答案为＞．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算及分母有理化是解题的关键．
36．（1）
；（2）
；（3）
；（4）①
，
；②
【分析】（1）根据二次根式的乘除法，零指数幂和实数的混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（3）把所求式子变形为
，然后代值求解即可；
（4）①认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；②根据
进行裂项求解即可．
解：（1）
；
（2）
；
（3）∵
，
∴
；
（4）①由已知条件可知
，
，
故答案为：
，
；
②原式
，
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，实数的混合计算，零指数幂，二次根式的化简求值，勾股定理和图形类的规律探索，灵活运用所学知识是解题的关键．
37．
，4
【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出
，代入求解即可．
解：
，
∵
，
，
∴
，
∴原式
．
【点拨】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
38．
；
【分析】利用二次根式的性质化简
，
，利用分式的混合运算的法则化简式子，最后将
，
的值代入运算即可．
解：
，
，
原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，分式的化简求值，熟练掌握分母有理化的法则与分式的混合运算的法则是解题的关键．
39．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．
解：∵
，
，
∴
∴
．
解得
．
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．
40．(1)20；(2)
．
【分析】（1）先分母有理化求出x、y的值，再求出
和
的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可；
（2）先求出x、y的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
（1）解：
，
，
，
∴
；
（2）解；∵
，
∴
，
，
∵
的小数部分为
，
的整数部分为
，
∴
，
，
∴
，
∴
的平方根是
．
【点拨】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出
和
的值是解（1）的关键，能估算出x、y的范围是解（2）的关键．
41．(1)
；(2)
【分析】（1）根据二次根式的加减法法则分别求出
，
，再根据平方差公式计算；
（2）根据完全平方公式进行计算即可．
（1）解：
，
，
；
（2）
，
，
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解本题的关键．
42．3
【分析】利用因式分解将已知化为
，得出
，然后代入所求代数式即可得解．
解：
非零实数a，b满足
，
由题意可知
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、因式分解以及分式的性质是解答此题的关键．
43．原式
，当
，
时，原式
【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．
解：原式
，
当
，
时，
原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．
44．(1)
；(2)
【分析】（1）分别求出
，再代入到代数式求值即可；
（1）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，求出
的值，然后代值求解即可．
（1）解：
，
∴
，
，
∴
；
（2）解：
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式的性质，以及二次根式的运算法则，是解题的关键．
45．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
解：原式
＝
，
当
，
时：
原式
．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
46．(1)
；(2)5
【分析】（1）分母有理化即可化简二次根式；
（2）先求出
，
的值，运用整体代入解题．
解：（1）
；
（2）
原式
．
【点拨】本题考查求代数式的值，二次根式的化简，整体代入简化过程是解题的关键．
47．
【分析】根据分母有理化得出
，然后根据分式的加减运算以及二次根式的性质化简，最后将
，
代入进行计算即可求解．
解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴原式
．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
48．(1)
，
；(2)6
【分析】（1）根据勾股定理可求出
的长度，从而可求出x与y的值；
（2）先求出a的值，然后根据完全平方公式即可求出答案．
（1）解：(1
)由题意可知：
，
由勾股定理可知：
，
∴
，
∴
．
故答案为：
，
；
（2）由题意可知：
，
∴原式
．
【点拨】本题考查实数与数轴，整式的运算，解题的关键是熟练运用勾股定理以及整式的运算法则，本题属于中等题型．
49．（1）
，
；（2）
；（3）9
【分析】（1）根据完全平方公式和二次根式的混合计算法则进行求解即可；
（2）根据完全平方公式和二次根式的混合计算法则进行求解即可；
（3）先把代数式
变形为
，再代值计算即可．
解：（1）
，
，
故答案为：
，
；
（2）∵
，
∴
，
故答案为：
；
（3）∵
，
∴
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式的混合计算，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
50．(1)①
②
；(2)2021；(3)
【分析】（1）利用平方差公式，分母有理化即可求解；
（2）利用分母有理化将原式化成
，再合并同类二次根式即可；
（3）由
，推出
，再化简
，最后代入计算即可．
（1）解：①原式
；
②原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
51．（1）
；（2）
，
．
【分析】
先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值进行计算，再算加减即可；
先整理成一元二次方程的一般形式，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：
；
，
，
，
，
或
，
解得：
，
．
【点拨】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，解一元二次方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解
的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解
的关键．
52．(1)
；(2)
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可
（1）解：
，
，
，
∴
；
（2）解：
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.
53．(1)
；(2)
，
【分析】（1）根据二次根式的除法、加减法进行计算即可求解．
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
，
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，公式法解一元二次方程，熟练掌握二次根式的运算法则以及公式法解一元二次方程是解题的关键．
54．（1）①
；②
；（2）①
；②
；
【分析】（1）①根据立方根及算术平方根的性质求解即可；②根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（2）①运用十字相乘法进行求解即可；②先移项，再运用因式分解法求解即可．
解：（1）①
；
②
；
（2）①
，
解得：
，
②
，
，
，
，
，
，
，
解得：
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法、立方根及算术平方根的性质、二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
55．(1)证明见分析；(2)当
时，原方程无解
【分析】（1）无论a取何实数满足一元二次方程的条件是，二次项系数不为0，即
，利用配方法即可得出结论；
（2）求出
，即此时方程无解．
解：（1）证明：
，
∵
，
∴
，即
，
∴当a取任何实数时，关于x的方程
都是一元二次方程；
（2）解：当
，原方程为
，即
，
∴
，
∴此时方程无解．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，配方法的应用，根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
56．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
（1）解：
，
，
，
，
∴
，
；
（2）解：
，
，
或
，
，
．
【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．
57．(1)
；(2)
【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
（1）解：
，
去括号得：
移项合并同类项得：
，
分解因式得：
，
∴
或
，
解得：
；
（2）解：
，
，
解得
，
∴
，
；
【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于对解一元二次方程方法的熟练掌握．
58．(1)证明见分析；(2)0或
【分析】（1）利用根的判别式计算判断即可．
（2）根据题意得到
是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．
解：（1）证明：∵
，
∴
，
∴无论实数m取何值，方程总有实数根．
（2）解：∵方程有一个根的平方等于4，且
，
∴
是原方程的根，
当
时，
．
解得
；
当
时，
．
解得
．
综上所述，m的值为0或
．
【点拨】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．
59．(1)
；(2)
【分析】（1）公式法解一元二次方程；
（2）将分式方程化为整式方程，再进行验根，即可得解．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：去分母，得：
，
去括号，得：
，
移项，合并得：
，
系数化1：
；
检验：把
代入
，
∴
是原方程的解．
【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
60．（1）
；（2）
．
【分析】（1）方程运用因式分解法求解即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，然后再求出它们的公共部分即可确定不等式组的解集．
解：（1）
∴
（2）
解不等式①，得：
，
解不等式②，得：
，
∴原不等式组的解集是
．
【点拨】本题主要考查了解一一次不等式组和一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题关键．
61．(1)
；(2)
【分析】（1）将分式方程化为整式方程进行求解，再进行检验即可；
（2）根据一元二次方程有实数根，得到
，进行求解即可．
（1）解：去分母，得：
，
移项，合并，得：
，
系数化1，得：
；
经检验，
是原方程的解；
∴原方程的解为：
；
（2）解：∵关于x的一元二次方程
有实数根，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查解分式方程，一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握解分式方程的步骤，以及一元二次方程有实数根，
，是解题的关键．
62．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后求出
的值并代入原式即可求出答案．
解：
，
∵
，
∴
，
∴
或
，
由分式有意义的条件可知：
，
∴
，
∴原式
，
∴
的值为
．
【点拨】本题考查分式的混合运算及求值，解一元二次方程．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
63．
，
【分析】根据分式的混合运算法则即可化简．再解方程，得出a的值，最后由分式有意义的条件确定a的值，代入化简后的式子求值即可．
解：
．
解方程：
，
，
，
，
解得：
．
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴原式
．
【点拨】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件．掌握分式的混合运算法则和解一元二次方程的方法是解题关键．
64．(1)
；(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
（1）解：
，即
，
，
或
，
或
，
故方程的解为
．
（2）解：
，
，
，
或
，
或
，
故方程的解为
．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
65．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）整理后，利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
（1）解：
，
，
∴
，
；
（2）
，
，
，即
，
∴
，
∴
，
．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
66．(1)
；(2)
【分析】（1）用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
（1）解：
，
∴
；
（2）解：
，
∴
.
【点拨】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．
67．(1)
；(2)
【分析】先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．
（1）解：
去分母得：
，
去括号得；
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为1得：
，
经检验，
是原方程的解，
∴原方程的解为
；
（2）解：
去分母得：
，
去括号得；
，
移项，合并同类项得：
，
解得
或
，
经检验，
是原方程的解，
不是原方程的解，
∴原方程的解为
．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
68．(1)
；(2)
【分析】（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
解得
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
69．(1)
；(2)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
解得
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
70．（1）
；（2）不等式组的解集为
【分析】（1）配方法解方程即可；
（2）分解每一个不等式，确定它们的公共部分，即可得解．
解：（1）∵
，
∴
，
∴
，
∴
∴
；
（2）解：由
，得：
，
由
得：
，
∴不等式组的解集为
．
【点拨】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组．熟练掌握配方法解一元二次方程，以及解不等式组的步骤，是解题的关键．
71．(1)
，
；(2)
【分析】（1）移项后提公因式求解即可；
（2）去分母后用求根公式计算求解即可．
（1）解：
，
令
，
，
解得
，
；
（2）解：
，
，
解得
，
∴
【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于掌握解一元二次方程的解法．
72．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．
（1）解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：移项得：
，
提公因式得：
，
，
或
，
，
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
73．(1)
；(2)
【分析】（1）直接因式分解解方程即可；
（2）先化成一般式的形式，然后因式分解解方程即可．
（1）解：
，
，
，
解得，
；
（2）解：
，
，
，
，
解得，
．
【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于正确的进行因式分解．
74．(1)
；(2)
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程运用配方支求解即可
解：（1）
∴
（2）
【点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
75．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）先移项得到
，然后利用因式分解法解方程；
（2）原方程运用配方法求解即可．
解：（1）
，
，
，
或
，
所以，
，
；
（2）
，
或
，
所以，
，
．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法以及配方法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
76．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于
的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）将
看做整体，利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于
的一元一次方程，再进一步求解即可．
（1）解：
，
，
或
，
解得
，
；
（2）解：
，
，
即
，
或
，
解得
，
．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
77．(1)
；(2)
；(3)
；(4)
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
；
（3）解：∵
，
∴
，
∴
或
，
解得
；
（4）解：∵
，
∴
，
∴
或
，
解得
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
78．(1)
，
；(2)原方程无解
【分析】（1）先移项，用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先去分母，将分式方程变为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后对方程的解进行检验即可．
（1）解：
，
移项得：
，
分解因式得：
，
即
，
∴
或
，
解得：
，
．
（2）解：
，
方程两边同乘
得：
，
去括号得：
，
移项合并同类项得：
，
解得：
，
检验：把
代入
得：
，
∴
是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
79．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）利用一元二次方程直接开平方法即可求解．
（2）利用一元二次方程公式法
即可求解．
（1）解：
∴
，
．
（2）解：
∴
，
．
【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、公式法是解题的关键．
80．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）先移项得到
，利用因式分解法把方程转化为
或
，然后解两个一次方程即可．
（2）原方程运用配方法求解即可．
解：（1）
，
，
，
或
，
∴
，
（2）
∴
，
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了用配方法解一元二次方程．
81．(1)
；(2)
；(3)
；(4)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．
解：（1）移项，得：
，
系数化1，得：
，
配方，得：
，
，
，
∴
，
；
（2）原方程可变形为
，
，
，
，
，原方程有两个不相等的实数根，
，
∴
，
；
（3）原方程可变形为：
，
整理得：
，
解得
，
；
（4）原方程可变形为：
，
整理得：
，
，
∴
，
【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．
82．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）利用求根公式直接求解即可；
（2）先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可；
（1）解：原方程可化为：
∴
，
，
∴
方程有两个不相等的实数根
∴
，
（2）解：原方程移项，得
因式分解，得
于是得
或
∴
，
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
83．(1)
，
；(2)
，
；
【分析】（1）移项，因式分解即可得到答案；
（2）移项，配方，直接开平方即可得到答案；
（1）解：移项得，
，
因式分解得，
，
∴
或
，
解得：
，
，
∴原方程的解是：
，
；
（2）解：移项得，
，
配方得，
，
即
，
，
∴
，
；
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程及配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法，选择适当的方法求解．
84．(1)
，
；(2)
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
∴
，
∴
或
，
解得
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
85．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案；
（2）先换元，令
，将
转化为
，利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案．
（1）解：
，
，
解得
，
；
（2）解：
，
令
，则
，
，解得
或
，
或
，
解得
，
．
【点拨】本题考查解一元二次方程，根据具体的方程结构特征熟练运用一元二次方程的解法求解是解决问题的关键．
86．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
或
，
解得
，
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
87．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
（1）解：∵
，
∴
，即：
解得：
，
．
（2）∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得：
，
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
88．(1)
，
；(2)
，
；(3)方程无实数根；(4)
，
．
【分析】（1）利用因式分解法即可解方程；
（2）利用因式分解法即可解方程；
（3）依次去括号，移项，合并同类项，得到
，根据平方的非负性可知，方程无解；
（4）利用因式分解法即可解方程．
（1）解：
，
，
令
或
，
解得：
，
；
（2）解：
，
，
，
，
令
或
，
解得：
，
；
（3）解：
，
，
，
，
，
，故原方程无实数根；
（4）解：
，
，
，
，
令
或
，
解得：
，
．
【点拨】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．
89．(1)
，
；(2)
，
【分析】（1）先移项，再把方程的左边提公因式分解因式，化为两个一次方程，解一次方程即可；
（2）先求出根的判别式的值，再代入求根公式，用公式法解答．
（1）解：
，
移项得：
，
，
或
，
解得：
，
；
（2）解：
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程和运用公式法解一元二次方程，是解本题的关键．
90．(1)
；(2)
或
【分析】（1）原方程已经是一般形式，利用根的判别式判断根的情况，再利用求根公式求解即可；
（2）找出公因式，利用提取公因式法分解因式，降次后再分别求解即可．
解：（1）
解：由题意的：
（2）
解：移项因式分解得：
化简得：
或
或
【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．
91．（1）
，
；（2）
，
【分析】（1）先整理成一般式，再利用公式求解即可；
（2）先整理成一般式，再利用因式分解求解即可．
解：（1）整理，得：
，
，
，
则
，
，
．
（2）方程化为：
因式分解得，
于是得
或
即
或
．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法，如公式法、因式分解法，是解题的关键．
92．(1)
；(2)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
93．（1）2；（2）
【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、二次根式的乘法，再计算有理数的加减法即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
解：（1）原式
；
（2）
，
，
或
，
或
，
故方程的解为
．
【点拨】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、二次根式的乘法、解一元二次方程，熟练掌握各运算法则和一元二次方程的解法是解题关键．
94．(1)
，
(2)
，
【分析】(1)采用公式法解此方程，即可求解；
(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．
（1）解：
，
，
，
，
，
，
，
，
所以，原方程的解为
，
；
（2）解：由原方程得：
，
故
或
，
解得
，
，
所以，原方程的解为
，
．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
95．(1)
，
；(2)
，
；(3)
，
；(4)
，
．
【分析】（1）利用直接直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用公式法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
（1）解：
，
∴
，
∴
，
；
（2）解：
，
移项得
，
配方得
，即
，
∴
，
∴
，
；
（3）解：
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
；
（4）解：
，
整理得
，
因式分解得
，
∴
，
，
∴
，
．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
96．(1)
；(2)
【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；
（2）因式分解法解一元二次方程即可．
（1）解：
，
∴
，
解得：
；
（2）解：
，
∴
∴
，
解得：
．
【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
97．（1）
（2）
【分析】（1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可；
（2）根据配方法解一元二次方程即可．
解：（1）原式
．
（2）
，
，
或
，
解得
．
【点拨】题目主要考查二次根式的加减运算及解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
98．（1）
；（2）
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
解：（1）∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
；
（2）
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式的混合计算，熟知相关计算方法是解题的关键．
99．(1)
；(2)
；(3)
；(4)
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
；
（3）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
（4）解：∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴
或
，
解得
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
100．(1)
，
；(2)
，
；(3)
，
；(4)
，
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用直接开平方的方法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
解得
，
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
，
；
（3）解：∵
，
∴
∴
，
解得
，
；
（4）∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
，
．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．