当前位置:首页 > 八年级 > 数学试卷

【324361】2024春八年级数学下册 第1章 三角形的证明综合素质评价(新版)北师大版

时间:2025-01-15 22:00:24 作者: 字数:13449字

第一章综合素质评价

一、选择题(每题3分,共30)

1.以下列各组数为边长能组成直角三角形的是(  )

A456 B234 C111213 D81517

2[2023·长春三模]如图,在RtABC中,∠BAC90°,按下列方式作图:①以点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交ACBC于点FG;②分别以点FG为圆心,大于FG的长度为半径画弧,两弧交于点H;③作射线CHAB于点E.AE2BC7,则△BEC的面积为(  )

A7 B8 C14 D16

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

3.在解答一道习题时,嘉嘉先作出了△ABC的一条高AD,又作出了△ABC的一条角平分线AE,发现作的是同一条线段,则△ABC一定是(  )

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

4.如图,∠C=∠D90°,添加一个条件,可使用“HL”判定RtABCRtABD全等.以下给出的条件适合的是(  )

AACAD BACBC

C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD

5[2023·台州]如图,在锐角三角形ABC中,ABAC,点DE分别在边ABAC上,连接BECD.下列命题中,假命题是(  )

A.若CDBE,则∠DCB=∠EBC

B.若∠DCB=∠EBC,则CDBE

C.若BDCE,则∠DCB=∠EBC

D.若∠DCB=∠EBC,则BDCE

6[2022·自贡]等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是(  )

A30° B40° C50° D60°

7.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACBBECD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.AC5BC3,则BD的长为(  )

A2.5 B1.5 C2 D1

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

8.如图,在△ABC中,ADBC垂足为点DEF垂直平分AC,交BC于点E,交AC于点F,连接AE,若BDDE,△ABC的周长为16AF3,则DC的长为(  )

A4 B5 C6 D7

9[2023·河北模拟]如图,△ABC中,∠ABC90°,点I为△ABC各内角平分线的交点,过点IAC的垂线,垂足为H,若BC6AB8,则IH的长为(  )

A2 B3 C4 D5

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

10.题目:“如图,已知∠AOB30°,点MN在边OA上,OMxMN2P是射线OB上的点.若使点PMN构成等腰三角形的点P恰好有3个,求x的取值范围.”对于其答案,甲答:x0.乙答:0<x<2.丙答:2<x<4.则正确的是(  )

A.只有甲答得对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.乙、丙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

二、填空题(每题3分,共24)

11[2022·黑龙江]如图,在四边形ABCD中,对角线ACBD相交于点OOAOC,请你添加一个条件__________,使△AOB≌△COD.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

12.如图,在△ABC中,ABACADBC于点D,若BC6,则CD________

13.用反证法证明一个三角形中不能有两个直角,第一步是假设这个三角形中____________

14.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角三角形ABC的高,则BD.AB7BC6AC5时,CD________

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>  <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

15(母题:教材P32习题T1)如图,在RtACB中,∠ACB90°AD平分∠CABBC于点D.若∠B30°CD1,则△DAB的面积为________

16[2023·北京石景山二模]如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处.

17.如图,在△ABC中,∠C90°,∠B30°,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交ABAC于点MN,再分别以点MN为圆心,大于MN的长的一半为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长,交BC于点D.下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC60°;③点DAB的垂直平分线上;④SDACSABC13.其中正确的有________(填序号)

18[2023·齐齐哈尔三模]如图,已知等边三角形AOC的边长为1,作ODAC于点D,在x轴上取点C1,使CC1DC,以CC1为边作等边三角形A1CC1;作CD1A1C1于点D1,在x轴上取点C2,使C1C2D1C1,以C1C2为边作等边三角形A2C1C2;作C1D2A2C2于点D2,在x轴上取点C3,使C2C3D2C2,以C2C3为边作等边三角形A3C2C3;…,且点AA1A2A3,…都在第一象限,如此下去,则点D2 024的坐标为________.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

三、解答题(198分,2010分,其余每题12分,共66)

19[2023·福建]如图,OAOCOBOD,∠AOD=∠COB.求证:ABCD.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>



20.下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明.

等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.

已知:如图,△ABC中,∠B=∠C,求证:△ABC是等腰三角形.  <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

方法一 证明:如图,作∠BAC的平分线交BC于点D.  <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

方法二 证明:如图,作BC边上的高线交BC于点D.  <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>



21[2023·武汉]如图,在四边形ABCD中,ADBC,∠B=∠D,点EBA的延长线上,连接CE.

(1)求证:∠E=∠ECD

(2)若∠E60°CE平分∠BCD,直接写出△BCE的形状.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>





22.数学课上,王老师布置如下任务:

如图,已知∠MAN<45°,点B是射线AM上的一个定点,在射线AN上求作点C,使∠ACB2A.

下面是小路设计的尺规作图过程.

作法:①作线段AB的垂直平分线l,直线l交射线AN于点D

以点B为圆心,BD长为半径作弧,交射线AN于另一点C.则点C即为所求.

根据小路设计的尺规作图过程完成下列各题.

(1)使用直尺和圆规,补全图形; (保留作图痕迹)

(2)根据以上作图方法,证明:∠ACB2A.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>





23.如图,在△ABC中,ABAC5BC6,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作一直线分别交ABAC于点EF,且BEEO.

(1)说明EFCF的数量关系;

(2)求点OBC的距离.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>






24[2023·宁波镇海蛟川书院期末]【基础巩固】

(1)如图a,作△ABC中∠ABC的平分线BD与△ABC的外角平分线CD交于点D,证明∠D=∠A.

【尝试应用】

(2)如图b,在等边三角形ABC中,DE分别是边ABAC上的点,且满足 ADCE,连接CDBE,交于点M.作∠ADC,∠ABE的平分线,交于点N.

证明△ACD≌△CBE

求∠DNB的度数.

【拓展提高】

(3)(2)的条件下,连接MN,如图c,当∠DCB40°时,求∠MND的度数.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>


答案

一、1D

2A 【点拨】过E点作BC的垂线,交BC于点P,由题意知CE为∠ACB的平分线,∴AEEP2,∴SBEC×2×77.

3C 4A

5A 【点拨】A.∵ABAC,∴∠ABC=∠ACB.

CDBEBCCB

∴△BCD与△CBE满足“SSA”的关系,无法证明全等,

因此无法得出∠DCB=∠EBC,故A是假命题.

B.∵∠DCB=∠EBC,∴∠ACD=∠ABE.

在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(ASA)

CDBE,故B是真命题;

C.∵ABACBDCE,∴ADAE.

在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(SAS)

∴∠ACD=∠ABE.

∵∠ABC=∠ACB,∴∠DCB=∠EBC,故C是真命题.

D.在△DBC和△ECB中,


∴△DBC≌△ECB(ASA)

BDCE,故D是真命题.故选A.

6B 【点拨】设顶角为x, 底角为y,由题意得解得

7D

8B 【点拨】∵ADBCBDDE,∴AEAB.

EF垂直平分ACAF3

AECEAC2AF6.AEABCE.

∵△ABC的周长为16

ACBCAB16

6CEBEAB62CE2DE16,∴CEDE5.

CDCEDE5.

9A 【点拨】

如图,连接IAIBIC,过IIMABMINBCN

I为△ABC各内角平分线的交点,IMABINBCIHAC

IHIMIN.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>ABC90°BC6AB8

AC===10

SABCAB·BC×8×624.

SABCSAIBSBICSAIC

24AB·IMBC·INAC·IH

24×8×IH×6×IH×10×IH

IH2.

10B 【点拨】①如图a,当x0时,满足条件的点P3个;

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

如图b,当x2时,满足条件的点P只有1个;

如图c,当x4时,满足条件的点P只有2个;

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

如图d,当2<x<4时,满足条件的点P3个;

如图e,当0<x<2时,满足条件的点P4个.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

如图f,当x>4时,满足条件的点P只有1个.

所以甲、丙答案合在一起才完整.

故选B.

二、11OBOD(答案不唯一) 123 

13.有两个直角

141 【点拨】∵BD=,AB7BC6AC5

BD×5.

CDBCBD651.

1 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a> 5. 【点拨】

如图所示,过点DDEABE

∵∠ACB90°,∠B30°

∴∠BAC60°.

AD平分∠CAB,∴∠DAB=∠CAD30°DECD1

∴∠DAB=∠BAD2DE2

AEBE==,∴ABAEBE2

SDABAB·DE.

164

17.①②③④ 【点拨】①根据作图可知AD是∠BAC的平分线,故①正确.

②∵在△ABC中,∠C90°,∠B30°

∴∠CAB60°.

AD是∠BAC的平分线,

∴∠CAD=∠BAD=∠CAB30°

∴∠ADC90°-∠CAD60°,故②正确.

③∵∠BAD=∠B30°

ADBD

DAB的垂直平分线上,故③正确.

④∵RtACD中,∠CAD30°

CDAD.SDACAC·CDAC·AD.

ADBD

BCBDCDADADAD

SABCAC·BCAC·ADAC·AD

SDACSABC13,故④正确.

18. 【点拨】∵等边三角形AOC的边长为1ODAC

OC1CDAC=,∴CC1CD=,

OCCC1C1C2C2C3,…,C2 023C2 024的长分别为1,,,,…,,

OC2 024OCCC1C1C2C2C3+…+C2 023C2 0241+++…+=,

C2 024的横坐标为,点A2 024的横坐标为-×=,

D2 024的横坐标为×.

易得点D2 024的纵坐标为,∴D2 024的坐标为.

三、19.【证明】∵∠AOD=∠COB

∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD

即∠AOB=∠COD.

在△AOB和△COD中,

∴△AOB≌△COD,∴ABCD.

20.【解】方法一:作∠BAC的平分线交BC于点D

∴∠BAD=∠CAD.

在△BAD和△CAD中,

∴△BAD≌△CAD(AAS)

ABAC.∴△ABC是等腰三角形.

方法二:作BC边上的高线交BC于点D

∴∠ADB=∠ADC90°.

在△BAD和△CAD中,

∴△BAD≌△CAD(AAS)

ABAC,∴△ABC是等腰三角形.

21(1)【证明】∵ADBC,∴∠EAD=∠B.

∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D.BECD.

∴∠E=∠ECD.

(2)【解】△BCE是等边三角形.

【点拨】∵∠E60°,∠E=∠ECD

∴∠ECD60°.

CE平分∠BCD

∴∠BCE=∠ECD60°

∴∠B180°-∠BCE-∠E60°

∴∠BCE=∠E=∠B

∴△BCE是等边三角形.

22(1)【解】如图所示.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

(2)【证明】连接BD,如图.

由作图知直线lAB的垂直平分线,BDCB

BDAD,∠BDC=∠BCD.

∴∠A=∠ABD.

又∠BDC=∠A+∠ABD

∴∠BDC2A.

又∠BDC=∠BCD

∴∠BCD2A,即∠ACB2A.

23.【解】(1)EF2CF.理由如下:

如图所示.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a> BEEO,∴∠1=∠2.

在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O

∴∠1=∠3,∠4=∠5.∴∠2=∠3.EFBC.

∴∠4=∠6.∴∠5=∠6.OFCF.

ABAC,∴∠ABC=∠ACB.

EFBC,∴∠ABC=∠AEF=∠ACB=∠AFE.

AEAF.BECF.

EFOEOF2CF.

(2)如图,连接AO并延长交BC于点D.

在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O

AD平分∠BAC.

ABAC

ADBCBDCDBC3.

RtABD中,AD===4

SABCBC·AD×6×412.

O是△ABC三个内角平分线的交点,

O到三边的距离相等,即为OD的长.

SOBCSOACSOABSABC

BC·ODAC·ODAB·OD12.

OD1.5,即点OBC的距离是1.5.

24(1)【证明】如图,根据题意可设∠ABD=∠DBCx,∠ACD=∠DCTy

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/279/" title="综合" class="c1" target="_blank">综合</a> <a href="/tags/300/" title="素质" class="c1" target="_blank">素质</a> <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/499/" title="评价" class="c1" target="_blank">评价</a> <a href="/tags/886/" title="证明" class="c1" target="_blank">证明</a>

2(x+∠D)=∠A2x.

∴∠D=∠A.

(2)【证明】∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠BCEABC60°BCAC.

ADCE,∴△ACD≌△CBE(SAS)

【解】∵△ACD≌△CBE

∴∠ACD=∠CBE.

∴∠DMB=∠CBE+∠BCM=∠ACD+∠BCD=∠ACB60°.

DN平分∠ADMBN平分∠DBM

(1)可知∠DNB=∠DMB30°.

(3)【解】∵∠ADC=∠DCB+∠ABC,∠ABC60°,∠DCB40°,∴∠ADC100°.

DN平分∠ADC,∴∠NDM=∠ADC50°.

DN平分∠ADCBN平分∠DBM

MN平分∠DME.

∵∠DME180°-∠DMB120°

∴∠DMN=∠DME60°

∴∠MND180°-∠NDM-∠DMN180°50°60°70°.