第一章综合素质评价
一、选择题(每题3分,共30分)
1.以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )
A.4,5,6 B.2,3,4 C.11,12,13 D.8,15,17
2.[2023·长春三模]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,按下列方式作图:①以点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,BC于点F,G;②分别以点F,G为圆心,大于FG的长度为半径画弧,两弧交于点H;③作射线CH交AB于点E.若AE=2,BC=7,则△BEC的面积为( )
A.7 B.8 C.14 D.16
3.在解答一道习题时,嘉嘉先作出了△ABC的一条高AD,又作出了△ABC的一条角平分线AE,发现作的是同一条线段,则△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
4.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是( )
A.AC=AD B.AC=BC
C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD
5.[2023·台州]如图,在锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD.下列命题中,假命题是( )
A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC
B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE
C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC
D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE
6.[2022·自贡]等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
7.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.2.5 B.1.5 C.2 D.1
8.如图,在△ABC中,AD⊥BC垂足为点D,EF垂直平分AC,交BC于点E,交AC于点F,连接AE,若BD=DE,△ABC的周长为16,AF=3,则DC的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9.[2023·河北模拟]如图,△ABC中,∠ABC=90°,点I为△ABC各内角平分线的交点,过点I作AC的垂线,垂足为H,若BC=6,AB=8,则IH的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.题目:“如图,已知∠AOB=30°,点M,N在边OA上,OM=x,MN=2,P是射线OB上的点.若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有3个,求x的取值范围.”对于其答案,甲答:x=0.乙答:0<x<2.丙答:2<x<4.则正确的是( )
A.只有甲答得对
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.乙、丙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整
二、填空题(每题3分,共24分)
11.[2022·黑龙江]如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请你添加一个条件__________,使△AOB≌△COD.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=6,则CD=________.
13.用反证法证明一个三角形中不能有两个直角,第一步是假设这个三角形中____________.
14.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐角三角形ABC的高,则BD= .当AB=7,BC=6,AC=5时,CD=________.
15.(母题:教材P32习题T1)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB交BC于点D.若∠B=30°,CD=1,则△DAB的面积为________.
16.[2023·北京石景山二模]如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处.
17.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长的一半为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长,交BC于点D.下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC︰S△ABC=1︰3.其中正确的有________.(填序号)
18.[2023·齐齐哈尔三模]如图,已知等边三角形AOC的边长为1,作OD⊥AC于点D,在x轴上取点C1,使CC1=DC,以CC1为边作等边三角形A1CC1;作CD1⊥A1C1于点D1,在x轴上取点C2,使C1C2=D1C1,以C1C2为边作等边三角形A2C1C2;作C1D2⊥A2C2于点D2,在x轴上取点C3,使C2C3=D2C2,以C2C3为边作等边三角形A3C2C3;…,且点A,A1,A2,A3,…都在第一象限,如此下去,则点D2 024的坐标为________.
三、解答题(19题8分,20题10分,其余每题12分,共66分)
19.[2023·福建]如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
20.下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明.
等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 已知:如图,△ABC中,∠B=∠C,求证:△ABC是等腰三角形.
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方法一 证明:如图,作∠BAC的平分线交BC于点D.
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方法二 证明:如图,作BC边上的高线交BC于点D.
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21.[2023·武汉]如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线上,连接CE.
(1)求证:∠E=∠ECD;
(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD,直接写出△BCE的形状.
22.数学课上,王老师布置如下任务:
如图,已知∠MAN<45°,点B是射线AM上的一个定点,在射线AN上求作点C,使∠ACB=2∠A.
下面是小路设计的尺规作图过程.
作法:①作线段AB的垂直平分线l,直线l交射线AN于点D;
②以点B为圆心,BD长为半径作弧,交射线AN于另一点C.则点C即为所求.
根据小路设计的尺规作图过程完成下列各题.
(1)使用直尺和圆规,补全图形; (保留作图痕迹)
(2)根据以上作图方法,证明:∠ACB=2∠A.
23.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作一直线分别交AB,AC于点E,F,且BE=EO.
(1)说明EF与CF的数量关系;
(2)求点O到BC的距离.
24.[2023·宁波镇海蛟川书院期末]【基础巩固】
(1)如图a,作△ABC中∠ABC的平分线BD与△ABC的外角平分线CD交于点D,证明∠D=∠A.
【尝试应用】
(2)如图b,在等边三角形ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,且满足 AD=CE,连接CD,BE,交于点M.作∠ADC,∠ABE的平分线,交于点N.
①证明△ACD≌△CBE;
②求∠DNB的度数.
【拓展提高】
(3)在(2)的条件下,连接MN,如图c,当∠DCB=40°时,求∠MND的度数.
答案
一、1.D
2.A 【点拨】过E点作BC的垂线,交BC于点P,由题意知CE为∠ACB的平分线,∴AE=EP=2,∴S△BEC=×2×7=7.
3.C 4.A
5.A 【点拨】A.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵CD=BE,BC=CB,
∴△BCD与△CBE满足“SSA”的关系,无法证明全等,
因此无法得出∠DCB=∠EBC,故A是假命题.
B.∵∠DCB=∠EBC,∴∠ACD=∠ABE.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(ASA),
∴CD=BE,故B是真命题;
C.∵AB=AC,BD=CE,∴AD=AE.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠ACD=∠ABE.
∵∠ABC=∠ACB,∴∠DCB=∠EBC,故C是真命题.
D.在△DBC和△ECB中,
∴△DBC≌△ECB(ASA),
∴BD=CE,故D是真命题.故选A.
6.B 【点拨】设顶角为x, 底角为y,由题意得解得
7.D
8.B 【点拨】∵AD⊥BC,BD=DE,∴AE=AB.
∵EF垂直平分AC,AF=3,
∴AE=CE,AC=2AF=6.∴AE=AB=CE.
∵△ABC的周长为16,
∴AC+BC+AB=16,
即6+CE+BE+AB=6+2CE+2DE=16,∴CE+DE=5.
∴CD=CE+DE=5.
9.A 【点拨】
如图,连接IA,IB,IC,过I作IM⊥AB于M,IN⊥BC于N,
∵点I为△ABC各内角平分线的交点,IM⊥AB,IN⊥BC,IH⊥AC,
∴IH=IM=IN.
∵
∠ABC=90°,BC=6,AB=8,
∴AC===10,
S△ABC=AB·BC=×8×6=24.
∵S△ABC=S△AIB+S△BIC+S△AIC,
∴24=AB·IM+BC·IN+AC·IH,
∴24=×8×IH+×6×IH+×10×IH,
∴IH=2.
10.B 【点拨】①如图a,当x=0时,满足条件的点P有3个;
②如图b,当x=2时,满足条件的点P只有1个;
③如图c,当x=4时,满足条件的点P只有2个;
④如图d,当2<x<4时,满足条件的点P有3个;
⑤如图e,当0<x<2时,满足条件的点P有4个.
⑥如图f,当x>4时,满足条件的点P只有1个.
所以甲、丙答案合在一起才完整.
故选B.
二、11.OB=OD(答案不唯一) 12.3
13.有两个直角
14.1 【点拨】∵BD=,AB=7,BC=6,AC=5,
∴BD=×=5.
∴CD=BC-BD=6-5=1.
1
5.
【点拨】
如图所示,过点D作DE⊥AB于E,
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°.
∵AD平分∠CAB,∴∠DAB=∠CAD=30°,DE=CD=1,
∴∠DAB=∠B,AD=2DE=2,
∴AE=BE==,∴AB=AE+BE=2,
∴S△DAB=AB·DE=.
16.4
17.①②③④ 【点拨】①根据作图可知AD是∠BAC的平分线,故①正确.
②∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=30°,
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°,故②正确.
③∵∠BAD=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的垂直平分线上,故③正确.
④∵在Rt△ACD中,∠CAD=30°,
∴CD=AD.∴S△DAC=AC·CD=AC·AD.
∵AD=BD,
∴BC=BD+CD=AD+AD=AD,
∴S△ABC=AC·BC=AC·AD=AC·AD,
∴S△DAC︰S△ABC=1︰3,故④正确.
18. 【点拨】∵等边三角形AOC的边长为1,OD⊥AC,
∴OC=1,CD=AC=,∴CC1=CD=,
∴OC,CC1,C1C2,C2C3,…,C2 023C2 024的长分别为1,,,,…,,
∴OC2 024=OC+CC1+C1C2+C2C3+…+C2 023C2 024=1+++…+=,
∴点C2 024的横坐标为,点A2 024的横坐标为-×=,
∴点D2 024的横坐标为×=.
易得点D2 024的纵坐标为,∴D2 024的坐标为.
三、19.【证明】∵∠AOD=∠COB,
∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,
即∠AOB=∠COD.
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD,∴AB=CD.
20.【解】方法一:作∠BAC的平分线交BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中,
∴△BAD≌△CAD(AAS),
∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
方法二:作BC边上的高线交BC于点D,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△BAD和△CAD中,
∴△BAD≌△CAD(AAS),
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
21.(1)【证明】∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B.
∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D.∴BE∥CD.
∴∠E=∠ECD.
(2)【解】△BCE是等边三角形.
【点拨】∵∠E=60°,∠E=∠ECD,
∴∠ECD=60°.
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠ECD=60°,
∴∠B=180°-∠BCE-∠E=60°,
∴∠BCE=∠E=∠B,
∴△BCE是等边三角形.
22.(1)【解】如图所示.
(2)【证明】连接BD,如图.
由作图知直线l是AB的垂直平分线,BD=CB,
∴BD=AD,∠BDC=∠BCD.
∴∠A=∠ABD.
又∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠BDC=2∠A.
又∠BDC=∠BCD,
∴∠BCD=2∠A,即∠ACB=2∠A.
23.【解】(1)EF=2CF.理由如下:
如图所示.
∵
BE=EO,∴∠1=∠2.
∵在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,
∴∠1=∠3,∠4=∠5.∴∠2=∠3.∴EF∥BC.
∴∠4=∠6.∴∠5=∠6.∴OF=CF.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵EF∥BC,∴∠ABC=∠AEF=∠ACB=∠AFE.
∴AE=AF.∴BE=CF.
∴EF=OE+OF=2CF.
(2)如图,连接AO并延长交BC于点D.
∵在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,
∴AD平分∠BAC.
∵AB=AC,
∴AD⊥BC,BD=CD=BC=3.
在Rt△ABD中,AD===4,
∴S△ABC=BC·AD=×6×4=12.
∵点O是△ABC三个内角平分线的交点,
∴点O到三边的距离相等,即为OD的长.
∵S△OBC+S△OAC+S△OAB=S△ABC,
∴BC·OD+AC·OD+AB·OD=12.
∴OD=1.5,即点O到BC的距离是1.5.
24.(1)【证明】如图,根据题意可设∠ABD=∠DBC=x,∠ACD=∠DCT=y,
则
有
∴2(x+∠D)=∠A+2x.
∴∠D=∠A.
(2)①【证明】∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠BCE=ABC=60°,BC=AC.
∵AD=CE,∴△ACD≌△CBE(SAS).
②【解】∵△ACD≌△CBE,
∴∠ACD=∠CBE.
∴∠DMB=∠CBE+∠BCM=∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°.
∵DN平分∠ADM,BN平分∠DBM,
∴由(1)可知∠DNB=∠DMB=30°.
(3)【解】∵∠ADC=∠DCB+∠ABC,∠ABC=60°,∠DCB=40°,∴∠ADC=100°.
∵DN平分∠ADC,∴∠NDM=∠ADC=50°.
∵DN平分∠ADC,BN平分∠DBM,
∴MN平分∠DME.
∵∠DME=180°-∠DMB=120°,
∴∠DMN=∠DME=60°,
∴∠MND=180°-∠NDM-∠DMN=180°-50°-60°=70°.