第一章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )
A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，17
2．[2023·长春三模]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E.若AE＝2，BC＝7，则△BEC的面积为( )
A．7 B．8 C．14 D．16
3．在解答一道习题时，嘉嘉先作出了△ABC的一条高AD，又作出了△ABC的一条角平分线AE，发现作的是同一条线段，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )
A．AC＝AD B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
5．[2023·台州]如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是( )
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC
B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC
D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
6．[2022·自贡]等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，EF垂直平分AC，交BC于点E，交AC于点F，连接AE，若BD＝DE，△ABC的周长为16，AF＝3，则DC的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
9．[2023·河北模拟]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，则IH的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．题目：“如图，已知∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，OM＝x，MN＝2，P是射线OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围．”对于其答案，甲答：x＝0.乙答：0<x<2.丙答：2<x<4.则正确的是( )
A．只有甲答得对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
二、填空题(每题3分，共24分)
11．[2022·黑龙江]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件__________，使△AOB≌△COD.
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝________．
13．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角，第一步是假设这个三角形中____________．
14．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的高，则BD＝ .当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝________．
15．(母题：教材P32习题T1)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D.若∠B＝30°，CD＝1，则△DAB的面积为________．
16．[2023·北京石景山二模]如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D.下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC︰S△ABC＝1︰3.其中正确的有________．(填序号)
18．[2023·齐齐哈尔三模]如图，已知等边三角形AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边三角形A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边三角形A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边三角形A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则点D2 024的坐标为________.
三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)
19．[2023·福建]如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.求证：AB＝CD.
20．下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．
等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，求证：△ABC是等腰三角形.
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方法一 证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D.
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方法二 证明：如图，作BC边上的高线交BC于点D.
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21．[2023·武汉]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.
(1)求证：∠E＝∠ECD；
(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
22．数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN<45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A.
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C.则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程完成下列各题．
(1)使用直尺和圆规，补全图形； (保留作图痕迹)
(2)根据以上作图方法，证明：∠ACB＝2∠A.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线分别交AB，AC于点E，F，且BE＝EO.
(1)说明EF与CF的数量关系；
(2)求点O到BC的距离．
24．[2023·宁波镇海蛟川书院期末]【基础巩固】
(1)如图a，作△ABC中∠ABC的平分线BD与△ABC的外角平分线CD交于点D，证明∠D＝∠A.
【尝试应用】
(2)如图b，在等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且满足 AD＝CE，连接CD，BE，交于点M.作∠ADC，∠ABE的平分线，交于点N.
①证明△ACD≌△CBE；
②求∠DNB的度数．
【拓展提高】
(3)在(2)的条件下，连接MN，如图c，当∠DCB＝40°时，求∠MND的度数．
答案
一、1．D
2．A 【点拨】过E点作BC的垂线，交BC于点P，由题意知CE为∠ACB的平分线，∴AE＝EP＝2，∴S△BEC＝×2×7＝7.
3．C 4．A
5．A 【点拨】A．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵CD＝BE，BC＝CB，
∴△BCD与△CBE满足“SSA”的关系，无法证明全等，
因此无法得出∠DCB＝∠EBC，故A是假命题．
B．∵∠DCB＝∠EBC，∴∠ACD＝∠ABE.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴CD＝BE，故B是真命题；
C．∵AB＝AC，BD＝CE，∴AD＝AE.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ACD＝∠ABE.
∵∠ABC＝∠ACB，∴∠DCB＝∠EBC，故C是真命题．
D．在△DBC和△ECB中，
∴△DBC≌△ECB(ASA)，
∴BD＝CE，故D是真命题．故选A.
6．B 【点拨】设顶角为x, 底角为y，由题意得解得
7．D
8．B 【点拨】∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AE＝AB.
∵EF垂直平分AC，AF＝3，
∴AE＝CE，AC＝2AF＝6.∴AE＝AB＝CE.
∵△ABC的周长为16，
∴AC＋BC＋AB＝16，
即6＋CE＋BE＋AB＝6＋2CE＋2DE＝16，∴CE＋DE＝5.
∴CD＝CE＋DE＝5.
9．A 【点拨】
如图，连接IA，IB，IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，
∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，
∴IH＝IM＝IN.
∵
∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，
∴AC＝＝＝10，
S△ABC＝AB·BC＝×8×6＝24.
∵S△ABC＝S△AIB＋S△BIC＋S△AIC，
∴24＝AB·IM＋BC·IN＋AC·IH，
∴24＝×8×IH＋×6×IH＋×10×IH，
∴IH＝2.
10．B 【点拨】①如图a，当x＝0时，满足条件的点P有3个；
②如图b，当x＝2时，满足条件的点P只有1个；
③如图c，当x＝4时，满足条件的点P只有2个；
④如图d，当2<x<4时，满足条件的点P有3个；
⑤如图e，当0<x<2时，满足条件的点P有4个．
⑥如图f，当x>4时，满足条件的点P只有1个．
所以甲、丙答案合在一起才完整．
故选B.
二、11．OB＝OD(答案不唯一) 12．3
13．有两个直角
14．1 【点拨】∵BD＝，AB＝7，BC＝6，AC＝5，
∴BD＝×＝5.
∴CD＝BC－BD＝6－5＝1.
1
5．
【点拨】
如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°.
∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝∠CAD＝30°，DE＝CD＝1，
∴∠DAB＝∠B，AD＝2DE＝2，
∴AE＝BE＝＝，∴AB＝AE＋BE＝2，
∴S△DAB＝AB·DE＝.
16．4
17．①②③④ 【点拨】①根据作图可知AD是∠BAC的平分线，故①正确．
②∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝30°，
∴∠ADC＝90°－∠CAD＝60°，故②正确．
③∵∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确．
④∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD.∴S△DAC＝AC·CD＝AC·AD.
∵AD＝BD，
∴BC＝BD＋CD＝AD＋AD＝AD，
∴S△ABC＝AC·BC＝AC·AD＝AC·AD，
∴S△DAC︰S△ABC＝1︰3，故④正确．
18． 【点拨】∵等边三角形AOC的边长为1，OD⊥AC，
∴OC＝1，CD＝AC＝，∴CC1＝CD＝，
∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2 023C2 024的长分别为1，，，，…，，
∴OC2 024＝OC＋CC1＋C1C2＋C2C3＋…＋C2 023C2 024＝1＋＋＋…＋＝，
∴点C2 024的横坐标为，点A2 024的横坐标为－×＝，
∴点D2 024的横坐标为×＝.
易得点D2 024的纵坐标为，∴D2 024的坐标为.
三、19．【证明】∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，
即∠AOB＝∠COD.
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD.
20．【解】方法一：作∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△BAD和△CAD中，
∴△BAD≌△CAD(AAS)，
∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
方法二：作BC边上的高线交BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△BAD和△CAD中，
∴△BAD≌△CAD(AAS)，
∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
21．(1)【证明】∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.
∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D.∴BE∥CD.
∴∠E＝∠ECD.
(2)【解】△BCE是等边三角形.
【点拨】∵∠E＝60°，∠E＝∠ECD，
∴∠ECD＝60°.
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°，
∴∠BCE＝∠E＝∠B，
∴△BCE是等边三角形．
22．(1)【解】如图所示．
(2)【证明】连接BD，如图．
由作图知直线l是AB的垂直平分线，BD＝CB，
∴BD＝AD，∠BDC＝∠BCD.
∴∠A＝∠ABD.
又∠BDC＝∠A＋∠ABD，
∴∠BDC＝2∠A.
又∠BDC＝∠BCD，
∴∠BCD＝2∠A，即∠ACB＝2∠A.
23．【解】(1)EF＝2CF.理由如下：
如图所示．
∵
BE＝EO，∴∠1＝∠2.
∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5.∴∠2＝∠3.∴EF∥BC.
∴∠4＝∠6.∴∠5＝∠6.∴OF＝CF.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠AEF＝∠ACB＝∠AFE.
∴AE＝AF.∴BE＝CF.
∴EF＝OE＋OF＝2CF.
(2)如图，连接AO并延长交BC于点D.
∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴AD平分∠BAC.
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×4＝12.
∵点O是△ABC三个内角平分线的交点，
∴点O到三边的距离相等，即为OD的长．
∵S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝S△ABC，
∴BC·OD＋AC·OD＋AB·OD＝12.
∴OD＝1.5，即点O到BC的距离是1.5.
24．(1)【证明】如图，根据题意可设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCT＝y，
则
有
∴2(x＋∠D)＝∠A＋2x.
∴∠D＝∠A.
(2)①【证明】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠BCE＝ABC＝60°，BC＝AC.
∵AD＝CE，∴△ACD≌△CBE(SAS)．
②【解】∵△ACD≌△CBE，
∴∠ACD＝∠CBE.
∴∠DMB＝∠CBE＋∠BCM＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACB＝60°.
∵DN平分∠ADM，BN平分∠DBM，
∴由(1)可知∠DNB＝∠DMB＝30°.
(3)【解】∵∠ADC＝∠DCB＋∠ABC，∠ABC＝60°，∠DCB＝40°，∴∠ADC＝100°.
∵DN平分∠ADC，∴∠NDM＝∠ADC＝50°.
∵DN平分∠ADC，BN平分∠DBM，
∴MN平分∠DME.
∵∠DME＝180°－∠DMB＝120°，
∴∠DMN＝∠DME＝60°，
∴∠MND＝180°－∠NDM－∠DMN＝180°－50°－60°＝70°.