综合复习与测试（5）（期末模拟测试卷）
单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
4．某校九年级有11名同学参加“庆祝二十大”党知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
5．如图，将四边形
剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了
；
结论③：通过图中条件可以得到
；
A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对
6．如图，在
中，
，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交
于M，N两点，分别以M，N为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在
的内部交于点P，射线
交
于点E，交
的延长线于点F，则
的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于
”时，应先假设( )
A．有一个内角小于
B．每一个内角都大于
C．有一个内角小于或等于
D．每一个内角都小于
8．如图，正方形
中，
，点
为边
上一个动点，连接
，点
为
上一点，且
，在
上截取点
使
，交
于点
，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，矩形
的顶点
，
，顶点C在x轴的正半轴上.作如下操作：①对折矩形
，使得
与
重合，得到折痕
，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在
上，并使折痕经过点O，得折痕
，同时，得到了线段
．则点N的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为
，点
在反比例函数
上，且
轴，垂足为
．若
的面积为S，则下列判断正确的是（ ）
A．当
时，
B．S与
成一次函数关系
C．随着点
位置的变换，
与
的面积也随之变化
D．S与
成反比例关系
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若x，y满足
，则
＝________．
12．已知
，则
______．
13．已知关于x的一元二次方程
的两个实数根为
，且
，则
__________．
14．将一元二次方程
化成
（a，b为常数）的形式，则ab＝_____．
15．如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝
（x＞0）的图象相切于点C．则切点C的坐标是___________．
16．某校举行科技创新比赛，按照理论知识占
，创新设计占
，现场展示占
这样的比例计算选手的综合成绩．某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识
分，创新设计
分，现场展示
分，则该同学的综合成绩是______分．
17．如图，在
中，
，点D、E、F分别为
的中点，若
，则
的长为______．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线
与反比例函数
的图象分别交于A，B两点，以
为斜边向外作等腰直角三角形
，然后将
沿直线
折叠，点C的对应点
刚好落在x轴上，若点C′的坐标为
，点B的纵坐标为3，则该反比例函数表达式中k的值为
_____．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（1）计算：
； （2）解方程：
．
20．（8分）如图，在四边形
中，
，
与
交于点E，点E是
的中点，延长
到点F，使
．连接
．
(1)求证：
；
(2)求证：四边形
是平行四边形．
21．（10分）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．
(1)求该商店11，12两个月的月均增长率；
(2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．
22．（10分）某校运动会筹备组组织了一次“会徽设计”比赛活动，十位评委依据设计要求对每个作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个作品得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
A．甲、乙两个作品得分的折线图：
B．丙作品得分：10，10，10，9，9，8，4，9，8，10
C．甲、乙、丙三个作品得分统计表：
作品 |
平均分/分 |
中位数/分 |
众数/分 |
方差 |
甲 |
|
9 |
|
|
乙 |
|
|
10和9 |
|
丙 |
|
9 |
10 |
|
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：
______，
______；
(2)求表格中
的值；
(3)在参加比赛的作品中，如果某作品得分的10个数据的方差越小．则认为评委对该作品的评价越一致．据此推断：评委对______的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，
点的坐标为
，
轴于点
，
，反比例函数
的图象的一支分别交
，
于点
，
，延长
交反比例函数的图象的另一支于点
，已知点
的纵坐标为
．
(1)求反比例函数的表达式及点
的坐标；
(2)连接
，
，求
；
(3)在
轴上是否存在两点
，
（
在
的左侧），使以
，
，
，
为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
24．（12分）如图1，四边形
是正方形，点
在边
上任意一点（点
不与点
，点
重合），点
在
的延长线上，
．
(1)求证：
；
(2)如图2，作点
关于
的对称点
，连接
与
交于点
，
与
交于点
，与
交于点
．
①若
，求
的度数；
②用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转
，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握这两个概念是解题的关键．
2．D
【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可．
解：A、
，原式计算错误，不符合题意；
B、
与
不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、
，原式计算错误，不符合题意；
D、
，原式计算正确，符合题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．C
【分析】由关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，得到
且
，由此即可求出
的取值范围．
解：
关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
且
，
解得：
且
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，一元二次方程
的根与
有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 
时，方程没有实数根．
4．A
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
解：由于总共有11个人，且他们的成绩互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：A．
【点拨】本题考查了中位数的意义，理解中位数反映了数据的中间水平是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据多边形的外角和是
，判断①，根据多边形内角和公式即可判断②，根据三角形的外角的性质即可求解．
解：①任意多边形的外角和是
，故①正确；
根据多边形内角和定理
，
四边形
剪掉一个角得到五边形内角和增加了
，故②错误，
如图所示，
∵
∴
，故③正确，
故选：B．
【点拨】本题考查了多边形的内角和与外角和，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】由题意可得：
是
的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出
，再根据线段的和差即可得出答案.
解：由题意可得：
是
的平分线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
故选：B.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质、得出
是解题的关键.
7．D
【分析】至少有一个内角大于或等于90°的反面是每一个内角都小于90°，据此即可假设．
解：用反证法证明
“四边形中至少有一个内角大于或等于
”时，应先假设：每一个内角都小于90°．
故选：D．
【点拨】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．A
【分析】如图所示，过点
作
于
，当点
运动时，点
在以
为直径的半圆上，即点
在圆心为
的半圆上运动，当点
运动到
连线上时，
的值最小，根据题意可证
，由此可证
是直角三角形，可得点
在以
为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在
中，可求出
的长，由此即可求解．
解：如图所示，过点
作
于
，连接
，如图所示：
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
，
∴四边形
是矩形，则
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
是直角三角形，
∴当点P运动时，点
在以
为直径的半圆上运动，设圆心为
，当点M运动到
连线上时，
的值最小，
∵
，
∴
，则半圆的半径
，
在
中，
，
当点
运动到
连线上时，
的值最小，
∴
的最小值为
，故A正确．
故选：
．
【点拨】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
9．D
【分析】由矩形性质和折叠性质可得
，
，
，过点N作
于点G，在
中，依据勾股定理可求出
的长，从而可得出结论．
解：∵
，
，
∴
∵四边形
为矩形，
∴
由折叠性质可得：
过点N作
于点G，如图，
∵
∴四边形
是矩形，
∴
，
在
中，由勾股定理得，
，
∴点
,
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形，折叠性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
10．B
【分析】根据
求出n的值，得出点P和B的坐标，再根据点A的坐标求出
的面积即可判定A；求出S与m的关系式，即可判定B和D；根据
的面积为
即可判断C．
解：A．∵点
在反比例函数
上，
∴把
代入
得：
，
∴
，
，
∴
的面积
，故A错误；
BD．∵点
在反比例函数
上，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
的面积
，
∴S与
成一次函数关系，故B正确，D错误；
C．随着点
位置的变换，
的面积也随之变化，但
的面积始终等于
，故C错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，k的几何意义，解题的关键是数形结合，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的计算．
11．-6
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值进而得出答案．
解：∵
，
都有意义，
∴
，
解得：
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件和代数式求值，正确得出x的值是解题关键．
12．4
【分析】根据完全平方公式将代数式因式分解，然后将字母的字代入即可求解．
解：∵
∴
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了完全平方公式及代数式求值，正确的计算是解题的关键．
13．
【分析】先根据根与系数的关系得到
，
，再由
求出
，
，则
，即可得到
．
解：∵
，
∴
，
∵关于x的一元二次方程
的两个实数根为
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
，若
是该方程的两个实数根，则
．
14．
【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值．
解：方程
，
变形得：
，
配方得：
，即
，
则
，
故
，
故答案为：
．
【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．(2，4)
【分析】将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程，解方程求解即可．
解：∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y＝
（x＞0）的图象相切于点C．
∴﹣2x+8＝
，
∴-2x2+8x=8，
∴x2-4x+4=0，
∴(x-2)2=0，
∴x＝2，
当x＝2时，y＝4，
∴点C坐标为（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【点拨】本题考查两函数的交点坐标问题，关键是构造方程，掌握解方程得技巧．
16．
【分析】利用加权平均数的求解方法即可求解．
解：综合成绩为：
（分），
故答案为：
．
【点拨】此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占百分比的含义．
17．5
【分析】由题意知，
是
的中位线，
是
斜边的中线，则
，
，计算求解即可．
解：由题意知，
是
的中位线，
是
斜边的中线，
∴
，
，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．6
【分析】过点B作
轴于点M，过点A作
轴于点N，如图所示：则
，先证明
，设
，根据全等三角形的性质求出点B坐标为
，点A坐标为
，再由直线
与反比例函数
的图象分别交于A，B两点，得到
，解方程即可得到答案．
解：过点B作
轴于点M，过点A作
轴于点N，如图所示：则
，
∴
，
由
是等腰直角三角形，根据折叠可知，
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
设
，
∵点C′的坐标为
，点B的纵坐标为3，
∴
，
∴
，
∴点B坐标为
，点A坐标为
，
∵直线
与反比例函数
的图象分别交于A，B两点，
∴
，
解得
，
∴
，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，证明
是解题的关键．
19．（1）
；（2）
【分析】（1）先将二次根式和平方化简，再进行计算即可；
（2）用因式分解法求解即可．
（1）解：原式
；
（2）解：
，
或
，
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合与运算和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤．
20．(1)证明见分析；(2)证明见分析
【分析】（1）先根据中点的定义和平行线的性质可得
、
，然后通过证明
即可得到结论；
（2）先证四边形
是平行四边形可得
，进而得到
，最后结合
即可证明结论．
解：（1）证明：∵点E是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
（2）解：∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴四边形
是平行四边形．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握相关判定和性质定理是解答本题的关键．
21．(1)
；(2)2750元
【分析】（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为
，则该商店去年11月份售出
台，12月份售出
台，根据该商店去年第四季度累计售出182台，可得出关于
的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设每台冰箱的售价为
元，则每台的销售利润为
元，平均每天可售出
台，利用总利润
每台的销售利润
平均每天的销售量，可得出关于
的一元二次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为
，则该商店去年11月份售出
台，12月份售出
台，
根据题意得：
，
整理得：
，
解得：
，
（不符合题意，舍去）．
答：该商店11，12两个月的月均增长率为
；
（2）设每台冰箱的售价为
元，则每台的销售利润为
元，平均每天可售出
台，
根据题意得：
，
整理得：
，
解得：
．
答：每台冰箱的售价为2750元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．(1)9，10；(2)
；(3)乙
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义求解即可；
（3）比较三人的方差即可得到答案．
（1）解：将乙的得分从低到高排列为：7，7，8，8，9，9，9，10，10，10，处在最中间的两个数据分别为9，9，
∴乙得分中位数
，
∵甲得分中得分为10的出现了四次，出现的次数最多，
∴甲得分的众数
，
故答案为：9，10；
（2）解：
；
（3）解：∵
，
∴乙的方差最小，
∴评委对乙的评价更一致，
故答案为：乙．
【点拨】本题主要考查了求平均数，中位数和众数，用方差做决策，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．(1)
，
；(2)
；(3)存在，
【分析】（1）根据
得出点
、
的坐标，即可求出反比例函数的表达式，因为点
是反比例函数和直线
的交点，所以先求出直线
的表达式，再将反比例函数的表达式与直线
的表达式联立，即可求出点
的坐标；
（2）根据
即可求出
；
（3）存在，当
时，四边形
是平行四边形，当
时，可证
，此时平行四边形
为矩形，利用勾股定理分别求出
、
，即可得到矩形的周长．
（1）解：∵
点的坐标为
，
轴于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵点
的纵坐标为
，
∴
，
∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
∴反比例函数的表达式为：
，
设直线
的表达式为：
，
∵点
在直线
上，
∴
，
解得：
，
∴直线
的表达式为：
，
联立
，解得
，
，
∴
．
（2）解：由（1）可知
，
，
，
∵
，
∴
．
（3）解：在
轴上存在两点
，
，使以
，
，
，
为顶点的四边形为矩形，理由如下：
∵设
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∵当
时，
∴
，即
或
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，即
，
∴此时平行四边形
为矩形，
∵
在
的左侧，
∴
，
∴
，
，
∴矩形
周长为
．
【点拨】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，求坐标系内图形的面积，平行四边形和矩形的判定，根据题目要求求出相关点的坐标是解答本题的关键．
24．(1)见分析；(2)①
；②
，理由见分析
【分析】（1）根据“
”证明
即可得出答案；
（2）①根据轴对称的性质证明
，结合（1）中结论从而得出
，进而得出
，根据等腰三角形等边对等角以及三角形外角的性质进而得出答案；
②连接
，根据①中结论以及证明方式，设
，从而得出
，进而得出
，根据勾股定理可得结论．
解：（1）证明：∵四边形
是正方形，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
；
（2）解：①点
关于
的对称点
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
由（1）得：
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
②线段
，
，
之间的数量关系为：
，理由如下：
连接
，如图2所示：
由①得：
垂直平分
，
∴
，
，
设
，
由①得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理得：
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质以及勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键．