期中综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．下列式子中，是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．【2023·济南天桥区期末】矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．邻边相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．当x＝2时，下列各式中，没有意义的是( )
A． B． C． D．
4．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判定菱形是正方形的是( )
5．【2023·淄博临淄区期末】下列计算正确的是( )
A．＝－5 B．＝5
C．－＝－5 D．＝4
6．比较下列各组数中两个数的大小，正确的是( )
A．－3＞－ B．＜1
C．－＜－ D．＞2
7．【2023·枣庄滕州市模拟】下列各式计算正确的是( )
A．8－3＝5 B．5＋3＝8
C．4×3＝12 D．4÷2＝2
8．【2023·杭州】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝( )
A． B． C． D．
9．【跨学科综合】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为( )
A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s
10．【2023·东营】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′(点A′与点C重合)，则点B′的坐标是( )
A．(3，3) B．(3，3) C．(3，6) D．(6，3)
11．【2023·东营东营区月考】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，则△DEC的周长为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
12．【2023·重庆】如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为( )
A．2 B． C．1 D．
二、填空题(每题3分，共18分)
13．【2023·青岛市南区月考】计算＋的结果是________．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3 cm，则AC的长为________cm.
15．的整数部分为______，小数部分为______．
16．已知A＝2，B＝3，C＝，其中A，B为最简二次根式，且A＋B＝C，则2y－x的值为________．
17．【2023·菏泽牡丹区月考】如图，矩形AEFG的顶点E，F分别在菱形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG，CF，若EG＝5，则CF的长为________．
18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，给出下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.
其中正确结论的序号为____________．
三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)
19．计算：
(1)(－)2＋2； (2)－－2.
20．【2023·济南历下区月考】如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA．
求证：△ADE≌△BCE.
21．【2023·烟台龙口市期末】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DF⊥AC交BC于F，垂足为E，已知∠ADF∶∠FDC＝3∶2，求∠BDF的 度数．
22.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2；
8＋2＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2.
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将7＋2化成另一个式子的平方．
(2)请运用小明的方法化简；.
【变式探究】
(3)若a＋2＝(＋)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
23．【2023·青岛月考】如图，在菱形ABCD中，M为CD的中点，AM的延长线与BC的延长线交于点E，F为DC延长线上一点，且CF＝CD．
(1)求证：△CME≌△DMA．
(2)试判断四边形BDEF的形状，并证明你的结论．
24．【2023·枣庄峄城区校级月考】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
(1)求证：四边形AEFD为平行四边形．
(2)①当t＝________时，四边形AEFD为菱形．
②当t＝________时，四边形DEBF为矩形．
25．已知点P是菱形ABCD对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
(1)如图①，求证：PD＝PE.
(2)如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，请说明理由．
答案
一、1．D 【点拨】A．＝，故不是最简二次根式；B．＝，故不是最简二次根式；C．＝，故不是最简二次根式；D．是最简二次根式．
2．B 3．D
4．B 【点拨】A．由AB＝AD不能判定菱形ABCD是正方形，故A不符合题意；B．∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠DAC＝45°，∴∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是正方形，故B符合题意；C．由OA＝OC不能判定菱形ABCD是正方形，故C不符合题意；D．由∠AOB＝90°不能判定菱形ABCD是正方形，故D不符合题意．
5．C 【点拨】A．＝5，原式计算错误；B．＝－5，原式计算错误；C．－＝－5，原式计算正确；D．＝＝2，原式计算 错误.
6．C
7．C 【点拨】A．原式＝5，所以A选项错误；B．5与3不能合并，所以B选项错误；C．原式＝12×＝12，所以C选项正确；D．原式＝2，所以D选项错误．
8．D
9．D 【点拨】v＝＝＝8×102(m/s)．
10．B
11．A 【点拨】∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝6，O为对角线的交点，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC.又∵EF⊥AC，∴EF为AC的垂直平分线．∴AE＝EC.∴△DEC的周长为CD＋DE＋EC＝CD＋DE＋AE＝CD＋AD＝4＋6＝10.
12．D 【点拨】如图，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BE＝BC，∠ABC＝90°，AC＝AB＝2，
∴∠BEC＝∠BCE，∴∠EBC＝180°－2∠BEC，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－(180°－2∠BEC)＝2∠BEC－90°，
∵
BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝∠BEC－45°，
∴∠BFE＝∠BEC－∠EBF＝45°，
在△BAF和△BEF中，
∴△BAF≌△BEF(SAS)，∴∠BFE＝∠BFA＝45°，
∴∠AFC＝∠BFA＋∠BFE＝90°，∵O为对角线AC的中点，∴OF＝AC＝.
二、13．25＋4 【点拨】原式＝×＋4＝25＋4.
14．6
15．2； 【点拨】＝＝，∵4＜7＜9，∴2＜ ＜3，∴<＜3，即的整数部分为2，则小数部分为－2＝.
16．68 【点拨】∵A，B为最简二次根式，且A＋B＝C，∴2x＋1＝x＋3，解得 x＝2，∴A＝2，B＝3，∴A＋B＝5＝C，∴10x＋3y＝(5)2＝125，将x＝2代入得y＝35，∴2y－x＝2×35－2＝68.
17．5 【点拨】如图，连接AF，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABF＝∠CBF，AB＝BC，
又
∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴AF＝CF，
∵四边形AEFG为矩形，
∴EG＝AF，∴EG＝CF，∵EG＝5，∴CF＝5.
18．①②③⑤
三、19．【解】(1)(－)2＋2＝5－2＋2＋2＝7；
(2)－－2
＝2－4－2
＝－－2＝－2.
20．【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵△EDC是等边三角形，∴ED＝EC，∠EDC＝∠ECD＝60°，∴∠ADE＝∠BCE＝90°－60°＝30°，在△ADE和△BCE中，，
∴△ADE≌△BCE(SAS)．
21．【解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD，CO＝AC，OD＝ BD.∴CO＝DO，∵∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝×90°＝36°.
∵DF⊥AC，∴∠DEC＝90°.
∴∠DCO＝90°－∠FDC＝90°－36°＝54°.
∵CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
22．【解】(1)7＋2
＝(2＋5)＋2＝()2＋()2＋2×
＝(＋)2；
(2)
＝＝＝3－；
(3)∵a＋2＝(＋)2＝m＋n＋2，a，m，n均为正整数，
∴m＋n＝a，mn＝21.又∵21＝1×21或3×7，
∴mn＝1×21或3×7.∴a＝m＋n＝22或10.
23．(1)【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ECM＝∠ADM，
∵M为CD的中点，∴CM＝DM，
在△CME和△DMA中，
∴△CME≌△DMA(ASA)；
(2)【解】四边形BDEF是矩形，证明如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝CD，由(1)可知，△CME≌△DMA，∴CE＝AD，∴CE＝BC.
∵CF＝CD，∴四边形BDEF是平行四边形．
∵CD＝BC，∴DF＝BE，∴平行四边形BDEF是矩形．
24．(1)【证明】由题意可知CD＝4t cm，AE＝2t cm，∠DFC＝90°，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝30°，∴DF＝DC＝2t cm.∴AE＝DF.
又∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
(2)①10 ②
25．(1)【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP.在△BCP和△DCP中，∴△BCP≌△DCP(SAS)．∴PB＝PD.
又∵PE＝PB，∴PD＝PE.
(2)【解】为定值．设PE与CD交于点F.
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
由(1)知△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP.
∵PE＝BP，∴∠CBP＝∠PEC.
∴∠CDP＝∠PEC.
又∵∠CFE＝∠DFP，∴180°－∠DFP－∠CDP＝180°－∠CFE－∠PEC，即∠DPE＝∠DCE.
易知∠DCE＝90°.∴∠DPE＝90°.
又由(1)可知PD＝PE，∴DE＝PE.∴＝＝.
