期中综合素质评价

一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)

1.下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)

A. x²－3x＋2＝0 B. x²－xy＝2

C. x²＋＝2 D. 2(x－1)＝x

2. [2023·杭州滨江区期中]在二次根式中，字母x的取值范围是(　　)

A. x≥3 B. x＞3 C. x≤3 D. x＜3

3. 某校举办“诗词大会”，九年级某班准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学，代表班级参加比赛，四名同学平时成绩的平均数 (单位：分)及方差S²如表所示：

	甲	乙	丙	丁
	92	96	95	96
S2	1. 3	1	1	1. 5

如果要选择一名平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的是(　　)

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11. 52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为(　　)

A. 8(1＋2x)＝11. 52 B. 2×8(1＋x)＝11. 52

C. 8(1＋x)²＝11. 52 D. 8(1＋x²)＝11. 52

5. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10(单位：元)，捐10元的同学后来又追加了10元，追加后的5个数据与之前的5个数据相比，下列判断正确的是(　　)

A. 只有平均数相同 B. 只有中位数相同

C. 只有众数相同 D. 中位数和众数都相同

6. 若x₁，x₂是方程2x²－6x＋3＝0的两个根，则＋的值为(　　)

A. 2 B. －2 C. D.

7. 学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间数据为4，5，5，6，10. 这组数据的平均数、方差是(　　)

A. 6，4. 4 B. 5，6 C. 6，4. 2 D. 6，5

8. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　　)

A. x²－2x－99＝0化为(x－1)²＝100

B. 2t²－7t－4＝0化为＝

C. x²＋8x＋9＝0化为(x＋4)²＝25

D. 3x²－4x－2＝0化为＝

9. [教材P₂₂目标与评定T₁₃变式]x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y²＝(　　)

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10. [2023·天津]如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m. 有下列结论：

①AB的长可以为6 m；

②AB的长有两个不同的值满足

菜园ABCD面积为192 m²；

③菜园ABCD面积的最大值为200 m².

其中，正确结论的个数是(　　)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)

11.＋在实数范围内有意义，则x需满足的条件是________.

12.若x＝2是关于x的一元二次方程x²－ax－4b＝0的解，则2a＋4b＝________.

13.[2023·杭州西湖区期中]若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为________________.

14.现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表：

	甲种糖果	乙种糖果
单价(元/千克)	30	20
千克数	2	3

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为________元/千克.

15.现用S²＝[(x₁－3)²＋(x₂－3)²＋…＋(x₁₀－3)²]计算一组数据x₁，x₂，…，x₁₀的方差，则x₁＋x₂＋…＋x₁₀＝________.

1 6.[数学文化]《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”. 书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短. 横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出. 问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等. 问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是__________.

三、解答题(本题有8小题，共66分)

17. (6分)计算：

(1)2－2×； (2)(1－2)(＋2).

18. (6分)解方程：

(1)x²＋x－1＝0; (2)x(x＋4)＝3x＋12.

19. (6分)(1)已知a＝，求代数式－的值；

(2)已知a＋b＝－3，ab＝1，求＋的值.

20. (8分)已知关于x的一元二次方程x²＋2x＋m＝0.

(1)当m＝3时，判断方程根的情况；

(2)当m＝－5时，若方程的两个根为x₁，x₂，求x₁²＋x₂²的值.

21. (8分)2023·自贡某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量(单位：本)数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4.

(1)补全如图的学生课外读书数量条形统计图；

(2)请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；

(3)该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数.

22. (10分)定义：若两个二次根式a，b满足a·b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式.

(1)若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝________；

(2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值.

23. (10分)[2023·杭州余杭区期中]公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定. 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

24. (12分)[2023·潍坊]某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件. 学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查.

【数据的收集与整理】

分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表.

投稿篇数(篇)	1	2	3	4	5
七年级频数(人)	7	10	15	12	6
八年级频数(人)	2	10	13	21	4

【数据的描述与分析】

(1)求扇形统计图中圆心角α的度数，并补全频数直方图；

(2)根据频数分布表分别计算有关统计量：

统计量	中位数/篇	众数/篇	平均数/篇	方差/篇2
七年级	3	3		1. 48
八年级	m	n	3. 3	1. 01

直接写出表格中m，n的值，并求出 ；

【数据的应用与评价】

(3)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价.

答案

一、1. A　2. B　3. B　4. C　5. D　6. A　7. A

8. C　【点拨】A. 由x²－2x－99＝0得x²－2x＝99，则x²－2x＋1＝99＋1，即(x－1)²＝100，此选项正确；B. 由2t²－7t－4＝0得2t²－7t＝4，则t²－t＝2，继而得t²－t＋＝2＋，即＝，此选项正确；C. 由x²＋8x＋9＝0得x²＋8x＝－9，则x²＋8x＋16＝－9＋16，即(x＋4)²＝7，此选项错误；D. 由3x²－4x－2＝0得3x²－4x＝2，则x²－x＝，继而得x²－x＋＝＋，即＝，此选项正确.

9. C

10. C　【点拨】设AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m²，则BC的长为(40－2x)m，由题意得y＝x(40－2x)＝－2x²＋40x＝－2(x－10)²＋200，其中0<40－2x≤26，即7≤x<20，①AB的长不可以为6 m，原说法错误；③菜园ABCD面积的最大值为200 m²，原说法正确；②当y＝－2(x－10)²＋200＝192时，解得x＝8或x＝12，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m²，说法正确. 综上，正确结论的个数是2.

二、11. x≥－且x≠－1　12. 4　13. x²－2x＝0　14. 24

15. 30　【点拨】根据题意得这组数据有10个数，平均数为3，∴这组数据的和为10×3＝30，即x₁＋x₂＋…＋x₁₀＝30.

16. 8尺，6尺，10尺　【点拨】设竿的长为x尺，则门高为(x－2)尺，门宽为(x－4)尺，

根据题意，可得x²＝(x－2)²＋(x－4)²，

解得x＝10或x＝2(舍去)，

∴x－2＝8，x－4＝6，即门高、宽和对角线的长分别是8尺，6尺，10尺.

三、17. 【解】(1)2－2 ×＝－2 ＝－.

(2)(1－2 )(＋2)＝＋2－6－4 ＝－4－3 .

18. 【解】(1)∵a＝1，b＝1，c＝－1，

∴b²－4ac＝1²－4×1×(－1)＝5＞0.

∴x＝＝.

∴x₁＝，x₂＝.

(2)∵x(x＋4)＝3x＋12，∴x(x＋4)－3(x＋4)＝0，

则(x＋4)(x－3)＝0，∴x＋4＝0或x－3＝0，

解得x₁＝－4，x₂＝3.

19. 【解】(1)原式＝－ ＝a－1－.

∵a＝＝2－，∴a－1＝1－＜0.

∴a－1－＝a－1－＝a－1＋.

∵a－1＝1－，＝2＋，

∴原式＝1－＋2＋＝3.

(2)∵a＋b＝－3，ab＝1，

∴a＜0，b＜0. ∴＋＝＋＝－－＝－.

当a＋b＝－3，ab＝1时，原式＝－×＝3.

20. 【解】(1)当m＝3时，

2²－4×3＝－8＜0，则原方程无实数根.

(2)当m＝－5时，原方程变为x²＋2x－5＝0，

∴x₁＋x₂＝－2，x₁x₂＝－5.

∴x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝4＋10＝14.

21. 【解】(1)如图.

(2)众数是4本，中位数是本，平均数是本.

(3)600×＝600×＝450(名)，

∴估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生有450名.

22. 【解】(1)2

(2)∵与是关于12的共轭二次根式，

∴×＝12. ∴3＝12. ∴m＝16.

23. 【解】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意得100(1＋x)²＝144，

解得x＝20%或x＝－2. 2(舍去).

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.

(2)设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，

由题意得(m－30)[600－10(m－40)]＝10 000，

整理得m²－130m＋4 000＝0，

解得m＝50或m＝80.

∵要尽可能让顾客得到实惠，∴m＝50.

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.

24. 【解】(1)两个年级随机抽取的学生数量均为7＋10＋15＋12＋6＝50(人)，则α＝360°××100%＝72°.

补全频数直方图如图.

(2)m＝3. 5，n＝4. ＝＝3.

(3)从平均数来看，八年级学生的高于七年级学生的，从方差来看，八年级学生的低于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好. (答案不唯一，合理即可)