期中模拟卷（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（浦东新区模拟）下列根式中，与
是同类二次根式的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】根据同类二次根式的概念即可求答案．
【答案】解：（A）原式＝
，故与
不是同类二次根式；
（B）原式＝
，故与
是同类二次根式；
（C）原式＝
，故与
不是同类二次根式；
（D）原式＝
，故与
不是同类二次根式；
故选：B．
【点睛】本题考同类二次根式的概念，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
2．（龙泉驿区期末）x＝2是方程x2﹣2k＝0的根，则k＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【思路点拨】直接将x的值代入方程中得到一个关于k的一元一次方程，解此方程得k的值．
【答案】解：将x＝2代入方程x2﹣2k＝0中得，
22﹣2k＝0，
解得，k＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
3．（邵阳）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【答案】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（安新县期末）解一元二次方程x（x+1）＝x+1的过程中，变形正确的为（ ）
A．x＝1B．（x+1）（x﹣1）＝0 C．（x﹣1）2＝0 D．（x+1）2＝0
【思路点拨】方程移项后，提取公因式分解因式即可得到结果．
【答案】解：方程移项得：x（x+1）﹣（x+1）＝0，
提取公因式得：（x+1）（x﹣1）＝0．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（罗湖区校级期末）一组数据为：31，30，35，29，30，则这组数据的方差是（ ）
A．22 B．18 C．3.6 D．4.4
【思路点拨】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可．
【答案】解：这组数据的平均数为
＝31，
所以这组数据的方差为
×[（31﹣31）2+（30﹣31）2+（35﹣31）2+（29﹣31）2+（30﹣31）2]＝4.4，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．
6．（鼓楼区校级期中）下列x的取值中，可以使
有意义的是（ ）
A．2021 B．8 C．9 D．0
【思路点拨】根据二次根式中的被开方数是非负数，求得x的取值范围，进而作出判断．
【答案】解：根据二次根式有意义的条件得：7﹣x≥0，
∴x≤7，
∴符合题意的是0，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是：根据二次根式中的被开方数是非负数，列出不等式．
7．（饶平县校级期末）设4+
的整数部分是a，小数部分是b，则a和b的值为（ ）
A．4，
B．6，
﹣2 C．4，
﹣2 D．6，
【思路点拨】估算无理数的大小方法得出整数部分a，小数部分b，进而解答即可．
【答案】解：∵4＜5＜9，
∴2＜
＜3，
∴6＜4+
＜7，
∴4+
的整数部分是6，小数部分是4+
﹣6＝
﹣2，
即a＝6，b＝
﹣2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
8．（桐柏县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【思路点拨】根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【答案】解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝
AC＝
×10＝5，
∵DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（江阴市期中）已知关于x的方程（a+3）x＝10有正整数解，且关于y的一元二次方程y2﹣3y+a﹣1＝0有两个实数根，则所有符合条件的整数a有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】根据题意条件得到关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【答案】解：∵关于x的方程（a+3）x＝10有正整数解，
∴x＝
＞0，
∴a+3＝1，2，5，10，
∴a＝﹣2，﹣1，2，7；
∵关于y的一元二次方程y2﹣3y+a﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝9﹣4a+4≥0，
∴a≤
，
∴a＝﹣2，﹣1，2共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．已知▱ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【思路点拨】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【答案】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAB，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（红河州期末）一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是 10 边形．
【思路点拨】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可．
【答案】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1440°，
解得：n＝10，
即这个多边形是10边形，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，注意：边数为n（n≥3）的多边形的内角和＝（n﹣2）×180°．
12．（高明区校级期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设 ∠B≥90° ．
【思路点拨】根据反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，即∠B＜90°的反面是∠B≥90°解答．
【答案】解：反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．（镇江期中）某小组同学每人给本组其他人员送一张新年贺卡，若全组共送贺卡20张，设这个小组的同学共有x人，根据题意可列方程： x（x﹣1）＝20 ．
【思路点拨】设这个小组的同学共有x人，则每人需送出（x﹣1）张新年贺卡，根据全组共送贺卡20张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【答案】解：设这个小组的同学共有x人，则每人需送出（x﹣1）张新年贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝20．
故答案为：x（x﹣1）＝20．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（江都区月考）某一学期，小华的数学平时成绩为80分，期中成绩为90分，期末成绩为85分，若平时成绩、期中成绩、期末成绩按3：3：4计算平均成绩，则小华的平均成绩是 85 分．
【思路点拨】根据加权平均数的计算方法列式进行计算即可得解．
【答案】解：根据题意得：
该同学数学学期平均成绩是：
＝85（分），
故答案为：85．
【点睛】本题考查了加权平均数的求法，要注意乘以各自的权，直接相加除以3是错误的求法．
15．（自贡期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＜2 ．
【思路点拨】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×（m﹣1）＞0，然后解不等式求出m的取值即可．
【答案】解：根据题意得Δ＝22﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m＜2．
∴实数m的取值范围为是m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根时，Δ＝b2﹣4ac＞0是解决问题的关键．
16．（扬州模拟）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为 4.8 ．
【思路点拨】过C作CF⊥AB于点F，利用勾股定理建立方程便可求得CF，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，可以证明此时DE取最小值时，DE＝CF．
【答案】解：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OA＝OC，DE＝2OD，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
过C作CF⊥AB于点F，则∠CFD＝∠EDF＝90°，
∵平行四边形ADCF中AD∥CE，即AB∥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE＝CF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
设BF＝x，则AF＝5﹣x，
∵BC2﹣BF2＝CF2＝AC2﹣AF2，
即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得，x＝3.6，
∴BF＝3.6，
∴CF＝
，
∴DE的最小值为4.8．
故答案为4.8．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识；构造直角形求出CF是解题的关键．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（鄞州区期末）解方程：
（1）（x+1）2＝4；
（2）3x（x﹣1）＝1．
【思路点拨】（1）方程利用平方根定义开方转化为一元一次方程，即可求出解；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【答案】解：（1）方程（x+1）2＝4，
开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3；
（2）方程整理得：3x2﹣3x﹣1＝0，
这里a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵△＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝9+12＝21＞0，
∴x＝
＝
，
解得：x1＝
，x2＝
．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（台江区期末）计算：
（1）3
﹣
+
﹣
；
（2）
（
﹣2
）﹣（
﹣
）2．
【思路点拨】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及完全平方公式分别化简，进而合并得出答案．
【答案】解：（1）原式＝3
﹣2
+
﹣3
＝﹣
；
（2）原式＝5﹣2
﹣（5+2﹣2
）
＝5﹣2
﹣7+2
＝﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．（榆阳区模拟）疫情防控，人人有责，一方有难，八方支援．作为一名中华学子，我们虽不能像医护人员一样在一线战斗，但我们仍以自己的方式奉献一份爱心，因此学校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为 50 人，图1中m的值是 32 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【思路点拨】（1）由5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10元人数除以总人数可得m的值；
（2）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【答案】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），
∵
×100%＝32%，
∴m＝32，
故答案为：50、32；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：
×（4×5+16×10+12×15+10×20+8×30）＝16（元），
10元出现的次数最多，出现了16次，则本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
因为共有50人，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则本次调查获取的样本数据的中位数是：
＝15（元）；
（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为：3000×32%＝960（人）．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．（朝阳期中）对于实数u、v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv+v．若关于x的方程x*（a*x）＝﹣
有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值．
【思路点拨】根据新定义得到（a+1）x2+（a+1）x+
＝0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可求出a的值．
【答案】解：由x*（a*x）＝﹣
，
得x（ax+x）+ax+x＝﹣
，即（a+1）x2+（a+1）x+
＝0，
∵关于x的方程x*（a*x）＝﹣
有两个相等的实数根，
∴
，
∴
，
解得a＝0．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式，实数的运算，正确理解定义的运算法则得到关于x的方程是解决问题的关键．
21．（梅河口市校级月考）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，FG⊥BC于点G．
（1）找出图中的一对全等三角形，并加以证明；
（2）若▱ABCD的面积为20cm2，AB＝5cm，求FG的长．
【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质得出∠A＝∠C，AD＝BC，CD∥AB，进而利用全等三角形的判定得出△ADE≌△CFG即可；
（2）根据平行四边形的性质得出▱ABCD的面积＝DE•AB，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【答案】解：（1）△ADE≌△CFG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CB＝CF，
∴AD＝CF，
∵DE⊥AB，FG⊥BC，
∴∠AED＝∠CGF＝90°，
∴△ADE≌△CFG（AAS）．
（2）∵▱ABCD的面积＝DE•AB，AB＝5cm，
∴5DE＝20．
∴DE＝4cm，
∵△ADE≌△CFG，
∴FG＝DE＝4cm．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行且相等解答．
22．（平顶山期末）元旦前夕，某批发市场礼品柜台以每张5元的进货价购进3200张贺卡．当销售价为7元时，平均每天可售出300张．
（1）为了减少库存，摊主决定降价销售．市场调查发现：如果这种贺卡的售价每降低0.5元，那么平均每天可多售出100张．摊主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额，则每张贺卡应降价多少元？
（2）已知摊主在12月27日销售完1200张后，采取（1）中的降价措施，请你判断摊主能否在元旦前售完贺卡（12月共计31天）？若能售完，计算他此次销售贺卡的利润率；若不能售完，说明理由．
【思路点拨】（1）设每张贺卡应降价x元，则现在的售价为（7﹣x）元，每天可多售出100×
＝200x（张），根据“平均每天刚好达到3000元营业额”列方程求解即可；
（2）用12月27日后还剩余的卡片数除以降价后每天售出的卡片数判断元旦前能否售完贺卡，再根据利润率的概念列式计算即可．
【答案】解：（1）设每张贺卡应降价x元，则现在的售价为（7﹣x）元，每天可多售出100×
＝200x（张），
由题意，得：（7﹣x）（300+200x）＝3000，
整理，得：2x2﹣11x+9＝0，
解得x1＝1，x2＝4.5（不符合题意，舍去），
答：每张贺卡应降价1元；
（2）由（1）知，降价后每天可售出贺卡300+200x＝500（张），
12月27日后还剩余3200﹣1200＝2000（张），
故还需要销售2000÷500＝4（天），
显然到12月31日即可售完全部贺卡，
所以摊主能在元旦前售完贺卡，
摊主此次销售贺卡的利润率为
×100%＝27.5%．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．
（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；
（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．
【思路点拨】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF＝∠BFC，AB＝CD，结合角平分线的定义可求得∠ABF＝∠EFB，即可求BE＝EF＝5，进而可求解；
（2）在FC上截取FH＝FG，连接BH，利用SAS证明△BGF≌△BHF可得∠BGF＝∠BHF，结合三角形的内角和定理可得∠BFD＝∠BHC，结合等腰直角三角形的性质利用AAS证明△BDF≌△BCH可得DF＝CH，进而可证明结论．
【答案】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABF＝∠BFC，
∵FB平分∠EFC，
∴∠EFB＝∠BFC，
∴∠ABF＝∠EFB，
∵AE＝2，EF＝5，
∴BE＝EF＝5，
∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；
（2）证明：在FC上截取FH＝FG，连接BH，
在△BGF和△BHF中，
，
∴△BGF≌△BHF（SAS），
∴∠BGF＝∠BHF，
∵∠GBF＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，
∴∠BFH＝∠BGF，
∴∠BFH＝∠BHF，
∴∠BFD＝∠BHC，
∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，
∴∠BDF＝45°＝∠BCH，
∴BD＝BC，
在△BDF和△BCH中，
，
∴△BDF≌△BCH（AAS）
∴DF＝CH，
∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，
即FG+2FD＝AB．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BDF≌△BCH是解题的关键．