【324349】2024八年级数学下学期期中精选50题（压轴版）（含解析）（新版）浙教版

下学期期中精选50题

一．填空题（共5小题）

1．（永嘉县校级期末）若|2017﹣m|+ ＝m，则m﹣2017²＝　2018　．

【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．

【解答】解：∵|2017﹣m|+ ＝m，

∴m﹣2018≥0，

m≥2018，

由题意，得m﹣2017+ ＝m．

化简，得 ＝2017，

平方，得m﹣2018＝2017²，

m﹣2017²＝2018．

故答案为：2018．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．

2．（南溪区期中）如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号）

①方程x²﹣x﹣2＝0是倍根方程；

②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m²+5mn+n²＝0；

③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px²+3x+q＝0是倍根方程；

④若方程以ax²+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b²＝9ac．

【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，

②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，

③当p，q满足pq＝2，则px²+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，

④用求根公式求出两个根，当x₁＝2x₂，或2x₁＝x₂时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．

【解答】解：①解方程x²﹣x﹣2＝0得，x₁＝2，x₂＝﹣1，得，x₁≠2x₂，

∴方程x²﹣x﹣2＝0不是倍根方程；

故①不正确；

②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x₁＝2，

因此x₂＝1或x₂＝4，

当x₂＝1时，m+n＝0，

当x₂＝4时，4m+n＝0，

∴4m²+5mn+n²＝（m+n）（4m+n）＝0，

故②正确；

③∵pq＝2，则：px²+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，

∴x₁＝﹣ ，x₂＝﹣q，

∴x₂＝﹣q＝﹣ ＝2x₁，

因此是倍根方程，

故③正确；

④方程ax²+bx+c＝0的根为：x₁＝ ，x₂＝ ，

若x₁＝2x₂，则， ＝ ×2，

即， ﹣ ×2＝0，

∴ ＝0，

∴ ＝0，

∴3 ＝﹣b

∴9（b²﹣4ac）＝b²，

∴2b²＝9ac．

若2x₁＝x₂时，则， ×2＝ ，

即，则， ×2﹣ ＝0，

∴ ＝0，

∴﹣b+3 ＝0，

∴b＝3 ，

∴b²＝9（b²﹣4ac），

∴2b²＝9ac．

故④正确，

故答案为：②③④

【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．

3．（永嘉县校级期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为　2 　平方单位．

【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：如图，延长DC和FE交于点G，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠B＝∠ECG，

∵E为BC的中点，

∴BE＝CE＝ BC＝ ×4＝2，

在△BEF和△CEG中，

，

∴△BEF≌△CEG（ASA），

∴BF＝CG，

∵∠B＝60°，

∴∠FEB＝30°，

∴BF＝ BE＝1，

∴EF＝ ，

∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，

∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，

∵EF⊥AB，AB∥CD，

∴DG⊥FG，

∴S_△DEF＝ EF•DG＝ × ×4＝2 ．

故答案为：2 ．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题的关键．

4．（南岗区校级一模）在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2 ，则平行四边形ABCD周长等于　20或12　．

【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．

【解答】解：①如图1所示：

∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2 ，

∴EC＝ ＝2，AB＝CD＝5，

BE＝ ＝3，

∴AD＝BC＝5，

∴▱ABCD的周长等于：20，

②如图2所示：

∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2 ，

∴EC＝ ＝2，AB＝CD＝5，

BE＝ ＝3，

∴BC＝3﹣2＝1，

∴▱ABCD的周长等于：1+1+5+5＝12，

则▱ABCD的周长等于20或12，

故答案为：20或12．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．

5．（鹿城区期中）如图在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为 ，则平行四边形ABCD面积为　12 　．

【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠DAB+∠ADC＝180°；

∵AF、DF平分∠DAB、∠ADC，

∴∠FAD+∠FDA＝90°，即∠APD＝90°；

同理可证得：∠BHC＝∠HEF＝∠HGF＝90°；

∴四边形EFGH是矩形；

如图，延长AF交BC于点Q，连接EG，

∵AF平分∠DAB，

∴∠BAQ＝∠DAQ，

∵AD∥BC，

∴∠DAQ＝∠AQB，

∴∠BAQ＝∠AQB，

∴BQ＝AB＝4，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABQ是等边三角形，

∴AQ＝AB＝4，

∵BE⊥AQ，

∴AE＝EQ＝ AQ＝2，

同理可得CG＝2，

∵CG∥EQ，CG＝EQ，

∴四边形EQGC是平行四边形，

∴EG∥CQ，

∴∠GEQ＝∠BQE＝60°，

∵∠HEF＝90°，

∴∠HEG＝30°，

∴EG＝2HG，EH＝ HG，

∴S_矩形EFGH＝EH•HG＝ HG²＝ ，

∴HG＝1，

∴HC＝HG+CG＝1+2＝3，

在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，HC＝3，

∴BC＝2CH＝6，

作AP⊥BC于点P，

在Rt△ABP中，∠BAP＝30°，AB＝4，

∴BP＝2，

∴AP＝2 ，

∴平行四边形ABCD面积为：BC•AP＝6×2 ＝12 ．

故答案为：12 ．

【点评】本题考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定：四个角都是直角的四边形是矩形，牢记矩形的判定定理是解答本题的关键．

二．解答题（共45小题）

6．（鄞州区期中）计算：

（1）2 × +3 ；

（2）（﹣2 ）²﹣（ ）（ ）

【分析】（1）先计算乘法，再合并同类二次根式即可得；

（2）先计算乘方、利用平方差公式计算，再进一步计算可得答案．

【解答】解：（1）原式＝2× +3

＝2 +3

＝5 ；

（2）原式＝24﹣（5﹣3）

＝24﹣2

＝22．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

7．（台州期中）计算：

（1）

（2）（2 +3 ）（2 ﹣3 ）

【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；

（2）利用平方差公式计算．

【解答】解：（1）原式＝

＝ ；

（2）原式＝12﹣18

＝﹣6．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

8．（嘉兴期中）计算：

（1）[ ﹣ ] +2

（2）（ +1）²﹣（ +1）（ ﹣1）

【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的乘法法则运算，最后合并即可；

（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．

【解答】解：（1）原式＝（ ﹣2）• +2

＝2﹣2 +2

＝2；

（2）原式＝5+2 +1﹣（5﹣1）

＝6+2 ﹣4

＝2+2 ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

9．（永嘉县校级模拟）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．

（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；

（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数＝每人投递件数×人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．

【解答】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得

10×（1+x）²＝12.1，

解得：x₁＝10%，x₂＝﹣210%．

答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．

（2）4月：12.1×1.1＝13.31（万件）

21×0.6＝12.6＜13.31，

∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．

∵22＜ ＜23，

∴至少还需增加2名业务员．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据三月份与五月份完成投递的快递总件数之间的关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据该公司每月的投递总件数的增长率相同算出今年6月份的快递投递任务量．

10．（鄞州区期中）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？

【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果；

（2）设每辆车的月租金为（3000+x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

【解答】解：（1）根据题意得：100﹣ ＝88（辆），

则当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆车；

（2）设每辆车的月租金为（3000+x）元，

根据题意得：（100﹣ ）[（3000+x）﹣150]﹣ ×50＝306600，

解得：x₁＝900，x₂＝1200，

∴3000+900＝3900（元），3000+1200＝4200（元），

则当每辆车的月租金为3900元或4200元时，月收益达到306600元．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．

11．（新城区校级模拟）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．

（1）求二、三这两个月的月平均增长率；

（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；

（2）利用销量×每件商品的利润＝4250求出即可．

【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：

256（1+x）²＝400，

解得：x₁＝ ，x₂＝﹣ （不合题意舍去）．

答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；

（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：

（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，

解得：m₁＝5，m₂＝﹣70（不合题意舍去）．

答：当商品降价5元时，商品获利4250元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．

12．（潜山市期末）一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？

【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；

（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．

【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+ ×20＝100+200x（斤）；

（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，

解得：x₁＝ ，x₂＝1，

当x＝ 时，销售量是100+200× ＝200＜260；

当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．

∵每天至少售出260斤，

∴x＝1．

答：水果店需将每斤的售价降低1元．

【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．

13．（云南模拟）某商店在销售中发现：“米奇”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎“六一”儿童节，商场决定适当地降价，以扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可．

【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，

（40﹣x）（20+2x）＝1200，

解得x₁＝20，x₂＝10

∵增加盈利，尽快减少库存，

∴x＝10（舍去），

答：每件童装降价20元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．此题找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

14．（西湖区校级期中）已知实数x，y满足x²﹣2xy+y²﹣ y+12＝0，求代数式xy的最小值并指出是否存在取到最小值时的x，y值．

【分析】根据配方法将原式化为非负式子的形式即可求xy的最小值，再根据整体代入法即可得结论．

【解答】解：由题意得：

（x﹣y）²﹣ （x+y）+12＝0，

设t＝x﹣y，s＝x+y，

∴t²﹣ s+12＝0，

∵x＝ ，y＝ ，

∴xy＝ ＝ ，

∵s＝ ≥4 ，

∴ 的最小值为：

＝12．

∴当t＝0，s＝4 时，xy取得最小值为12，x，y值为2 ．

答：代数式xy的最小值为12，存在取到最小值时的x，y值都是2 ．

【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握配方法和完全平方公式的变形．

15．（镇海区期末）百货商店销售某种冰箱，每台进价2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低10元时，平均每天能多售出1台．（销售利润＝销售价﹣进价）

（1）如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的销售利润为　（400﹣x）　元，平均每天可销售冰箱　（8+ ）　台；（用含x的代数式表示）

（2）商店想要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5600元，且尽可能地清空冰箱库存，每台冰箱的定价应为多少元？

【分析】（1）销售利润＝销售价﹣进价；降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”；

（2）根据每台的盈利×销售的件数＝5600元，即可列方程求解．

【解答】解：（1）销售1台的利润：2900﹣2500＝400；

降价后销售的数量：8+ ，

降价后销售的利润：400﹣x；

故答案是：（400﹣x）；（8+ ）．

（2）依题意，可列方程：（400﹣x）（8+ ）＝5600

解方程得：x₁＝120，x₂＝200

因为要尽可能地清空冰箱库存，所以x＝120舍去

答：应定价2700元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利×销售的件数＝5600元是解决问题的关键．

16．（宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．

（1）求n的值；

（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；

（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．

【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；

（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；

（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．

【解答】解：（1）由题意可得：40n＝12，

解得：n＝0.3；

（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）²＝190，

解得：m₁＝ ，m₂＝﹣ （舍去），

∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）＝40（1+50%）＝60（家），

（3）第二年用乙方案治理Q值降低了100n＝100×0.3＝30，

则（30﹣a）+2a＝39.5，

解得：a＝9.5，

则Q＝20.5．

【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

17．（盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　26　件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；

（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．

【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．

故答案为：26；

（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．

根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理，得x²﹣30x+200＝0，

解得：x₁＝10，x₂＝20．

∵要求每件盈利不少于25元，

∴x₂＝20应舍去，

∴x＝10．

答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．

18．（门头沟区期末）已知关于x的一元二次方程mx²﹣3（m+1）x+2m+3＝0

（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当该方程的根都是整数，且|x|＜4时，求m的整数值．

【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；

（2）令mx²﹣3（m+1）x+2m+3＝0，表示出x，根据该方程的根都是整数都是整数，根据x的范围即可确定出m的整数值．

【解答】解：（1）由题意m≠0，

∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，即[﹣3（m+1）]²﹣4m（2m+3）＝（m+3）²＞0，

解得：m≠﹣3，

则m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；

（2）设y＝0，则mx²﹣3（m+1）x+2m+3＝0．

∵Δ＝（m+3）²，

∴x＝ ，

∴x₁＝ ，x₂＝1，

当x₁＝ 是整数时，可得m＝1或m＝﹣1或m＝3，

∵|x|＜4，m＝1不合题意舍去，

∴m的值为﹣1或3．

【点评】此题考查一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

19．（嵊州市期中）已知关于x的两个一元二次方程：方程①：（1+ ）x²+（k+2）x﹣1＝0；方程②：x²+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．

（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；

（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；

（3）若方程①和②有一个公共根a．求代数式（a²+4a﹣2）k+3a²+5a的值．

【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1+ ≠0且△₁＝0，即（k+2）²﹣4（1+ ）×（﹣1）＝0，解得k＝﹣4，则方程②变形为：x²﹣7x+5＝0，然后利用求根公式解此方程；

（2）计算第2个方程的判别式得到△₂＝（2k+3）²+4＞0，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，

（ 3）设a是方程①和②的公共根，利用方程解的定义得到（1+ ）a²+（k+2）a﹣1＝0 ③，a²+（2k+1）a﹣2k﹣3＝0④，利用（③﹣④）×2得ka²＝2（k﹣1）a﹣4k﹣4⑤，由④得a²＝﹣（2k+1）a+2k+3⑥，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．

【解答】解：（1）∵方程①有两个相等实数根，

∴1+ ≠0且△₁＝0，即（k+2）²﹣4（1+ ）×（﹣1）＝0，则（k+2）（k+4）＝0，解此方程得k₁＝﹣2，k₂＝﹣4，

而k+2≠0，

∴k＝﹣4，

当k＝﹣4时，方程②变形为：x²﹣7x+5＝0，解得x₁＝ ，x₂＝ ；

（2）∵△₂＝（2k+1）²+4（2k+3）＝4k²+12k+13＝（2k+3）²+4＞0，

∴无论k为何值时，方程②总有实数根，

∵方程①、②只有一个方程有实数根，

∴此时方程①没有实数根，

（ 3）设a是方程①和②的公共根，

∴（1+ ）a²+（k+2）a﹣1＝0 ③，

a²+（2k+1）a﹣2k﹣3＝0④，

由（③﹣④）×2得ka²＝2（k﹣1）a﹣4k﹣4⑤，

由④得：a²＝﹣（2k+1）a+2k+3⑥，

将⑤、⑥代入，原式＝ka²+4ak﹣2k+3a²+5a＝2（k﹣1）a﹣4k﹣4+4ak﹣2k﹣3（2k+1）a+6k+9+5a＝5．

【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b²﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b²﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

20．（锡林浩特市校级模拟）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

	平均分（分）	中位数（分）	众数（分）	方差（分2）
初中部	a	85	b	s初中2
高中部	85	c	100	160

（1）根据图示计算出a、b、c的值；

（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？

（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s_初中²，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．

【分析】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可；

（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；

（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．

【解答】解：（1）初中5名选手的平均分 ，众数b＝85，

高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80；

（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，

故初中部决赛成绩较好；

（3） ，

∵ ，

∴初中代表队选手成绩比较稳定．

【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为 ，则方差S²＝ [（x₁﹣ ）²+（x₂﹣ ）²+…+（x_n﹣ ）²]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

21．（海淀区校级期末）为了从甲乙两名选手中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下两个统计图表：

	平均数	中位数	方差	命中10环的次数
甲	7	7	2.8	0
乙	7	7.5	5.4	1

（1）请补全上述图表；

（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？请说明你的理由．

【分析】（1）根据折线统计图列举出甲乙两人的成绩，即可求出甲的中位数与方差，乙的平均数；

（2）根据方差比较大小，即可做出判断．

【解答】解：（1）甲的成绩为：9，6，7，6，3，7，7，8，8，9；

乙的成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，

将甲成绩按照从小到大顺序排列得：3，6，6，7，7，7，8，8，9，9，则甲的中位数为7，

方差为 [（3﹣7）²+2×（6﹣7）²+3×（7﹣7）²+2×（8﹣7）²+2×（9﹣7）²]＝2.8；

将乙成绩按照从小到大顺序排列得：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，则乙的中位数为7.5，

乙的平均数为 ×（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）＝7；

甲、乙射击成绩统计表：

	平均数	中位数	方差	命中10环的次数
甲	7	7	2.8	0
乙	7	7.5	5.4	1

（2）由甲的方差小于乙的方差，得到甲胜出．

故答案为：7；2.8；7；7.5．

【点评】此题考查了折线统计图，算术平均数，中位数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．

22．（宿州期末）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）

甲	95	82	88	81	93	79	84	78
乙	83	75	80	80	90	85	92	95

（1）请你计算这两组数据的平均数、中位数；

（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．

【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法分别计算即可，

（2）从平均数、中位数、方差以及数据的变化趋势分析．

【解答】解： （分）， （分）．

将甲工人成绩从小到大排序处在第4、5位的平均数为（82+84）÷2＝83分，因此甲的中位数是83分，

将乙工人成绩从小到大排序处在第4、5位的平均数为（83+85）÷2＝84分，因此乙的中位数是84分，

答：甲、乙两组数据的平均数都是85分，中位数分别为83分、84分．

（2） ，

．

①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；

②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；

③从方差来看，因为 ，所以甲的成绩较稳定；

④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；

⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．

综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．

【点评】考查平均数、中位数、方差的意义及计算方法，从多角度分析数据的发展趋势是一项基本的能力．

23．（嘉兴期中）甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如右图所示．根据图中信息，回答下列问题：

（1）甲的平均数是　8　，乙的中位数是　7.5　．

（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？

【分析】（1）根据平均数和中位数的定义解答即可；

（2）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．

【解答】解：（1）甲的平均数＝ （6+10+8+9+8+7+8+10+7+7）＝8，

乙的射击成绩由小到大排列为：7，7，7，7，7，8，9，9，9，10，位于第5、第6位的数分别是7，8，所以乙的中位数是（7+8）÷2＝7.5；

故答案为：8；7.5；

（2）乙的平均数＝ （7×5+8+9×3+10）＝8，

S_甲²＝ [（6﹣8）²+3×（7﹣8）²+2×（8﹣8）²+（9﹣8）²+2×（10﹣8）²]＝1.6，

S_乙²＝ [5×（7﹣8）²+（8﹣8）²+3×（9﹣8）²+（10﹣8）²]＝1.2，

∵S_乙²＜S_甲²，

∴乙运动员的射击成绩更稳定．

【点评】此题考查了方差、平均数和中位数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

24．（绍兴期中）八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如表（10分制）：

甲	7	8	9	7	10	10	9	10	10	10
乙	10	8	7	9	8	10	10	9	10	9

（1）甲队成绩的中位数是　9.5　分，乙队成绩的众数是　10　分；

（2）计算甲、乙队的平均成绩和方差，试说明成绩较为整齐的是哪一队？

【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可解决．

（2）根据平均数、方差的定义就是即可．

【解答】解：（1）甲队成绩的中位数是9.5分，乙队成绩的众数是10分．

故答案分别为9.5，10．

（2）甲队 ＝ ＝9，s²＝ [（9﹣7）²+（9﹣8）²+（9﹣9）²+（9﹣7）²+（9﹣10）²+（9﹣10）²+（9﹣9）²+（9﹣10）²+（9﹣10）²+（9﹣10）²]＝1.4

乙队 ＝ ＝9，s²＝ [（9﹣10）²+（9﹣8）²+（9﹣7）²+（9﹣9）²+（9﹣8）²+（9﹣10）²+（9﹣10）²+（9﹣9）²+（9﹣10）²+（9﹣9）²]＝1，

乙队的方差小，所以乙队成绩较为整齐．

【点评】本题考查方差、中位数、众数等知识，记住这些知识是解决问题的关键，方差越小成绩越稳定，属于中考常考题型．

25．（博兴县期末）下表是某校九年级（1）班20名学生某次数学测验的成绩统计表：

成绩（分）	60	70	80	90	100
人数（人）	1	5	x	y	2

（1）若这20名学生的平均分是84分，求x和y的值；

（2）这20名学生的本次测验成绩的众数和中位数分别是多少？

【分析】（1）根据平均分为84分，总人数为20人，列方程组求解；

（2）根据众数和中位数的概念求解．

【解答】解：（1）由题意得， ，

解得： ，

即x的值为1，y的值为11；

（2）∵成绩为90分的人数最多，故众数为90，

∵共有20人，

∴第10和11为学生的平均数为中位数，

中位数为： ＝90．

【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

26．（金华期中）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．

（1）试判断B′E与DC的位置关系，并说明理由；

（2）如果∠C＝128°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）由折叠得：∠AB′E＝∠B＝∠D＝90°，再根据同位角相等两直线平行可得B′E∥CD；

（2）根据平行线的性质求得∠B′EB，由折叠的性质得∠AEB＝∠AEB′，即可求得结论．

【解答】（1）B′E∥DC，

证明：由折叠得：∠AB′E＝∠B＝∠D＝90°，

∴B′E∥DC；

（2）解：∵B′E∥DC，∠C＝128°，

∴∠B′EB＝128°，

由折叠得：∠AEB＝∠AEB′＝ ×128°＝64°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，知道翻折变换前后的两个图形全等是解题的关键．

27．（嘉兴期中）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）∠ABC+∠ADC＝　180　°；

（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；

（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝ ∠CDN，∠CBE＝ ∠CBM），试求∠E的度数

【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE＝ ∠ADC，∠CBF＝ ∠CBM，然后求出∠CDE＝∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE＝∠C＝90°，最后根据垂直的定义证明即可；

（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

【解答】（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，

∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°×2＝180°；

故答案为：180°；

（2）解：延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE＝ ∠ADC，∠CBF＝ ∠CBM，

又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，

∴∠CDE＝∠CBF，

又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE＝∠C＝90°，

∴DG⊥BF，

即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM＝180°，

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE＝ ×180°＝45°，

延长DC交BE于H，

由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE+∠E，∠BCD＝∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD＝∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E＝90°﹣45°＝45°

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．

28．（杜尔伯特县期末）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数．

【分析】连接AC，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理，可以求得∠BCD的度数；连接BD，根据平行线的性质和三角形的内角和定理可以求得∠CDE的度数．

【解答】解：连接AC．

∵AF∥CD，

∴∠ACD＝180°﹣∠CAF，

又∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，

∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝180°﹣∠CAF+180°﹣∠B﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣80°＝160°．

连接BD．

∵AB∥DE，

∴∠BDE＝180°﹣∠ABD．

又∵∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD，

∴∠CDE＝∠BDC+∠BDE＝180°﹣∠ABD+180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝360°﹣80°﹣160°＝120°．

【点评】本题需要能够熟练运用平行线的性质和三角形的内角和定理进行求解．

29．（绍兴期中）如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1.1：1：0.5：1．求它的四个内角的度数．

【分析】设一份是x，用同一个未知数表示出各个角，根据四边形的内角和定理列方程求解．

【解答】解：设四边形的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为1.1x，x，0.5x，x，则

1.1x+x+0.5x+x＝360°，

解得x＝100°．

则1.1x＝110°，0.5x＝50°．

故∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为110°，100°，50°，100°．

【点评】本题考查了四边形的内角和定理，多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．

30．（衢州期中）如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．

（1）图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；

（2）图甲中的点A向下移到BE上时（如图乙）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？试说明理由

（3）把图乙中的点C向上移动到BD上时（如图丙所示），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？试说明理由．

【分析】（1）根据三角形的外角的性质，可得∠1，∠2，根据三角形的内角和定理，可得答案；

（2）根据三角形的外角的性质，可得∠1，∠2，根据三角形的内角和定理，可得答案；

（3）根据三角形的外角的性质，可得∠1，∠2，根据三角形的内角和定理，可得答案．

【解答】解：（1）如图：

由三角形外角的性质，得

∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2．

由三角形的内角和定理，得∠A+∠1+∠2＝180°，

等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180゜；

（2）如图：

由三角形外角的性质，得∠C+∠E＝∠1，∠A+∠D＝∠2，

由三角形的内角和定理，得∠B+∠1+∠2＝180°，

等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180゜；

（3）∵∠ECD是△BCE的一个外角，

∴∠ECD＝∠B+∠E（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），

∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD＝∠CAD+∠ACD+∠D＝180°，

故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，没有变化．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了三角形外角的性质，三角形的内角和定理．

31．（蔚县期中）请你根据如图所示的阿宝与仙鹤的对话，解答下列问题．

（1）仙鹤为什么说多边形内角和的度数不可能是1340°；

（2）若图中仙鹤所提到的外角的度数为40°，请分别求仙鹤所画的多边形的内角和的度数与外角和的度数．

【分析】（1））多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此可知多边形的内角和是180°的倍数；

（2）求出少加的内角的度数，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵多边形内角和为（n﹣2）•180°，

∴1340°不能整除180°，

故多边形内角和的度数不可能是1340°；

（2）∵1340°﹣40°＝1300°，180°﹣40°＝140°，

∴1300°+140°＝1440°，

∴仙鹤所画的多边形的内角和的度数为1440°，外角和的度数为360°．

【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和；熟记多边形内角和定理和外角和定理是关键．

32．（拱墅区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．

（1）求证：AB＝AE；

（2）若 ＝m（0＜m＜1），AC＝4 ，连接OE；

①若m＝ ，求平行四边形ABCD的面积；

②设 ＝k，试求k与m满足的关系．

【分析】（1）根据▱ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；

（2）①根据 ＝m＝ ，可得AB＝ BC，证明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积；

②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S_△AOD＝S_△BOC，S_△BOC＝ S_△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠EAD＝60°

∴△ABE是等边三角形，

∴AB＝AE；

（2）解：①∵ ＝m＝ ，

∴AB＝ BC，

∴AE＝BE＝ BC，

∴AE＝CE，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠AEB＝60°，

∴∠ACE＝∠CAE＝30°，

∴∠BAC＝90°，

当AC＝4 时，AB＝4，

∴平行四边ABCD的面积＝2S_△ABC＝2× AB•AC＝4×4 ＝16 ；

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S_△AOD＝S_△BOC，S_△BOC＝ S_△BCD，

∵△ABE是等边三角形，

∴BE＝AB＝mBC，

∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，

设BC边上的高为h，BC的长为b，

∴S_△BCD＝ ×bh，S_△OBE＝ × ×mb＝ ，

∴S_{四边形OECD}＝S_△BCD﹣S_△OBE＝ ﹣ ＝（ ﹣ ）bh，

∵S_△AOD＝ ×b＝ ，

∴ ＝（ ﹣ ）bh× ＝k，

∴2﹣m＝k，

∴m+k＝2．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．

33．（长兴县模拟）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．

（1）求证：△ABC≌△EAD；

（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

【分析】（1）先证明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；

（2）先根据等腰三角形的性质可得∠BAE＝50°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．

【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，

∴∠EAD＝∠AEB，

又∵AB＝AE，

∴∠B＝∠AEB，

∴∠B＝∠EAD，

在△ABC和△EAD中，

，

∴△ABC≌△EAD（SAS）．

（2）解：∵AB＝AE，

∴∠B＝∠AEB，

∴∠BAE＝50°，

∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，

∵△ABC≌△EAD，

∴∠AED＝∠BAC＝75°．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．

34．（南岗区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当AE＝CE时，求四边形AECF的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，求出BE＝DF，根据全等三角形的判定推出即可；

（2）求出△ABE是等边三角形，求出高AH的长，再求出面积即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，

∵点E、F分别是BC、AD的中点，

∴BE＝ BC，DF＝ AD，

∴BE＝DF，

在△ABE和△CDF中

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：作AH⊥BC于H，

∵BC＝2AB＝4，E为BC中点，

∴AB＝BE＝CE＝2，

∵AE＝EC，

∴AE＝AB＝BE＝CE＝2，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴AH＝AB×sin60°＝2× ＝ ，

∴四边形AECF的面积是CE×AH＝2× ＝2 ．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

35．（青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：AB＝AF；

（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；

（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠AFC＝∠DCG，

∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，

∴△AGF≌△DGC，

∴AF＝CD，

∴AB＝AF．

（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．

理由：∵AF＝CD，AF∥CD，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠BCD＝120°，

∴∠FAG＝60°，

∵AB＝AG＝AF，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG＝GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG＝CG，∵AG＝GD，

∴AD＝CF，

∴四边形ACDF是矩形．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

36．（柯桥区期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s＝ （其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积s．

【分析】根据题目中的公式即可解答本题．

【解答】解：由题意可得，

三角形的三边长分别为5，6，7，

则该三角形的面积s＝ ＝ ＝ ＝ ．

【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确二次根式的化简的方法．

37．（巩义市期中）已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0．

（1）判断这个一元二次方程的根的情况；

（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝（2k﹣3）²≥0，由此即可得出该方程有两个实数根；

（2）分3为底边长及腰长两种情况考虑：①当3为底边长是，由Δ＝0可求出k值，将其代入原方程可求出三角形的腰长，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积；②当3为腰长时，将x＝3代入原方程可求出k值，代入k值可求出等腰三角形的底边长度，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积．综上即可得出结论．

【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]²﹣4×4（k﹣ ）＝4k²﹣12k+9＝（2k﹣3）²≥0，

∴该方程有两个实数根；

（2）①当3为底边长时，Δ＝（2k﹣3）²＝0，

∴k＝ ，

此时原方程为x²﹣4x+4＝0，

解得：x₁＝x₂＝2．

∵2、2、3能组成三角形，

∴三角形的周长为2+2+3＝7，三角形的面积为 ×3× ＝ ；

②当3为腰长时，将x＝3代入原方程，得：9﹣3×（2k+1）+4（k﹣ ）＝0，

解得：k＝2，

此时原方程为x²﹣5x+6＝0，

解得：x₁＝2，x₂＝3．

∵2、3、3能组成三角形，

∴三角形的周长为2+3+3＝8，三角形的面积为 ×2× ＝2 ．

综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为 或2 ．

【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）分3为底边长及腰长两种情况考虑．

38．（嵊州市期中）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用15750元，请问：

（1）该单位这次去旅游，员工有没有超过20人？

（2）该单位这次共有多少员工去旅游？

【分析】（1）先根据共支付给旅行社旅游费用15750元，确定旅游的人数的范围；

（2）根据每人的旅游费用×人数＝总费用，设该单位这次共有x名员工去旅游．即可由对话框，超过20人的人数为（x﹣20）人，每人降低10元，共降低了10（x﹣20）元．实际每人收了[600﹣10（x﹣20）]元，列出方程求解．

【解答】解：（1）设该单位这次共有x名员工去旅游．

因为600×20＝12000＜15750，所以员工人数一定超过20人．

（2）设该单位这次共有x名员工去旅游，根据题意列方程得：

[600﹣10（x﹣20）]x＝15750．

整理得x²﹣80x+1575＝0，

即（x﹣45）（x﹣35）＝0，

解得x₁＝45，x₂＝35．

当x₁＝45时，600﹣10（x﹣20）＝350＜420，故舍去x₁；

当x₂＝35时，600﹣10（x﹣20）＝450＞420，符合题意．

答：该单位这次共有35名员工去旅游．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于420元来判断，得到满足题意的x的值．

39．（杭州期中）利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？

【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；

（2）根据降价后甲乙每天分别卖出：（500+ ×100）件，（300+ ×100）件，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可

【解答】解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，

根据题意得： ，

解得： ，

答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；

（2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．

∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时，

甲乙每天分别卖出：（500+ ×100）件，（300+ ×100）件，

∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3﹣2＝1元，5﹣3＝2元，

每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；

w＝（1﹣m）×（500+ ×100）+（2﹣m）×（300+ ×100），

＝﹣2000m²+2200m+1100，

∴1700＝﹣2000m²+2200m+1100，

解：m＝0.6或0.5

∴当m定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数最值求法的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．

40．（嘉兴）已知方程a（2x+a）＝x（1﹣x）的两个实数根为x₁，x₂，设 ．

（1）当a＝﹣2时，求S的值；

（2）当a取什么整数时，S的值为1；

（3）是否存在负数a，使S²的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把a＝﹣2代入方程，求得方程的两根，进而求得S的值．

（2）S的值为1，则方程一定有两根非负的实数，即△≥0，且两根的和大于0，两根的积大于或等于0，根据一元二次方程根与系数的关系即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，再根据S的值为1，即S²＝x₁+x₂+2 ＝1﹣2a+2|a|＝1．即可确定a的值；

（3）S²的值不小于25，即S²＝x₁+x₂+2 ＝1﹣2a+2|a|≥25．结合（2）中求得的a的范围，即可求得a的取值范围．

【解答】解：（1）当a＝﹣2时，原方程化为x²﹣5x+4＝0．

解得x₁＝4，x₂＝1．

∴S＝2+1＝3．

（2）S＝ + ，s²＝x₁+x₂+2 ．

∴a（2x+a）＝x（1﹣x）．

整理得：x²+（2a﹣1）x+a²＝0．

当x²+（2a﹣1）x+a²＝0时△≥0．

∴（2a﹣1）²﹣4a²≥0．

解得a≤0.25．

∵x₁+x₂＝1﹣2a，x₁×x₂＝a²．

S²＝x₁+x₂+2 ＝1﹣2a+2|a|＝1．

当a≥0，1﹣2a+2a＝1，有1＝1．

当a＜0时，1﹣2a﹣2a＝1，有a＝0（不合设定，舍去）．

当0≤a≤0.25时，S的值为1．

∵a为整数，

∴a＝0时，S的值为1．

（3）S²＝x₁+x₂+2 ＝1﹣2a+2|a|≥25．

∴只有当a＜0时，有1﹣2a﹣2a≥25．

解得a≤﹣6．

∴a≤﹣6时，S²的值不小于25．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，（2）（3）求a的值或a的取值范围，都是依据S²＝x₁+x₂+2 ＝1﹣2a+2|a|转化为方程或不等式问题．

41．（永嘉县校级期中）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　∠A+∠B＝∠C+∠D　；

（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　540　度

（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可；

（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，由已知条件∠1＝∠2，∠3＝∠4，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B．

【解答】解：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°．

（3）∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，

如图3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

①+②得：

∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，

即2∠P＝∠D+∠B．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题．

42．（香洲区校级模拟）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）

【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．

【解答】解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；

（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；

（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，

所以当截去5个角时增加了180×5度，

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．

【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．

43．（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）

①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．

②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．

③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．

（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．

【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；

②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；

③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；

（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）设新多边形的边数为n，

则（n﹣2）•180°＝2520°，

解得n＝16，

①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，

②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，

③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，

故原多边形的边数可以为15，16或17．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．

44．（2013春•滨江区期末）如图，分别延长▱ABCD的边CD，AB到E，F，使DE＝BF，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH．求证：CG∥AH．

【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA证得：△DEG≌△BFH，根据对应边相等证得DG＝BH，从而得出AG＝CH，判断出四边形AGCH是平行四边形，继而得出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∠ADC＝∠ABC，

∴∠E＝∠F，∠EDG＝∠FBH，

在△DEG与△BFH中，∵ ，

∴△DEG≌△BFH（ASA），

∴DG＝BH，

∴AD﹣DG＝BC﹣BH，即CH＝AG，

又∵AG∥CH，

∴四边形AGCH为平行四边形，

∴CG∥AH．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，一般证明两直线平行都会寻找内错角、同位角或同旁内角，本题的解答确是利用的平行四边形，同学们注意掌握这一种思路．

45．（大连）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB＝90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME＝PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．

【解答】解：（1）DE∥BC，DE＝BC，DE⊥AC．

（2）如图4，如图5．

（3）方法一：

如图6，

连接BE，

∵PM＝ME，AM＝MB，∠PMA＝∠EMB，

∴△PMA≌△EMB．

∵PA＝BE，∠MPA＝∠MEB，

∴PA∥BE．

∵平行四边形PADC，

∴PA∥DC，PA＝DC．

∴BE∥DC，BE＝DC，

∴四边形DEBC是平行四边形．

∴DE∥BC，DE＝BC．

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，

∴DE⊥AC．

方法二：

如图7，连接BE，PB，AE，

∵PM＝ME，AM＝MB，

∴四边形PAEB是平行四边形．

∴PA∥BE，PA＝BE，

余下部分同方法一：

方法三：

如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，

∵平行四边形PADC，

∴AN＝NC，PN＝ND．

∵AM＝BM，AN＝NC，

∴MN∥BC，MN＝ BC．

又∵PN＝ND，PM＝ME，

∴MN∥DE，MN＝ DE．

∴DE∥BC，DE＝BC．

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC．

∴DE⊥AC．

（4）如图9，DE∥BC，DE＝BC．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．

46．（宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．

（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S_{四边形AEFB}　＝　S_{四边形DEFC}（填“＞”“＜”“＝”）；

（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；

（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．

【分析】（1）根据知识背景即可求解；

（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；

（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．

【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S_{四边形AEFB}＝S_{四边形DEFC}；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

故答案为：＝．

【点评】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系．

47．（绍兴校级期中）阅读下面问题：

＝ ﹣1； ＝ ﹣ ； ＝ ﹣2．

猜测：（1） 的值；

（2） （n为正整数）的值．

（3）根据你的猜测计算：

+ + +…+ + 的值．

【分析】（1）根据观察，可发现规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案；

（2）根据观察，可发现规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案；

（3）根据规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案．

【解答】解：（1）原式＝ ﹣ ；

（2）原式＝ ﹣ ；

（3）原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣

＝10﹣1＝9．

【点评】本题考查了分母有理化，发现规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差是解题关键．

48．（嵊州市校级期中）已知△ABC中，AB＝1，BC＝4 ，CA＝ ．

（1）分别化简4 ， 的值；

（2）并在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）；

（3）求△ABC最长边上的高．

【分析】（1）根据二次根式的化简方法进行化简；

（2）根据勾股定理计算边长的方法，在网格中表示AC、BC的长；

（3）由图中可以看出BC边上的高为面积为1的边长为 的边上的高，利用三角形的面积公式可求解．

【解答】解：（1）4 ＝2 ， ＝ ；

（2）如图所示

（2）∵△ABD的面积为1，BC＝2 ，

∴BC边上的高为1×2÷2 ＝ ．

【点评】本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长为二次根式的方法，培养学生动手操作能力．

49．（东台市校级期末）按要求解决下列问题：

（1）化简下列各式：

＝　2　， ＝　4 　， ＝　6 　， ＝　10 　，…

（2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．

【分析】（1）题只需将各式分母有理化即可．

（2）将二次根式进行分母有理化，通过（1）观察得出规律．

【解答】解：（1） ＝2， ＝ ＝4 ， ＝ ＝6 ， ＝ ＝10 ；

（2）由（1）中各式化简情况可得 ．

证明如下： ＝ ＝2n ．

【点评】本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式是解决此类问题的关键．

50．（杭州期中）某专业街有店面房共195间，2010年平均每间店面房的年租金为10万元；由于物价上涨，到2012年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元．

（1）求2010年至2012年平均每间店面房年租金的平均增长率；

（2）据预测，当每间的年租金定为12.1万元时，195间店面房可全部租出；若每间的年租金每增加1万元，就要少租出10间．该专业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用1.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．问当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该专业街的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为2305万元？

【分析】（1）设2010年至2012年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据2010年及2012年平均每间店面房的年租金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；

（2）设当每间店面房的年租金上涨y万元时，该专业街的年收益为2305万元，根据收益＝租金﹣各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）设2010年至2012年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，

根据题意得：10（1+x）²＝12.1，

解得：x₁＝10%，x₂＝﹣2.1（不合题意舍去）．

答：2010年至2012年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%．

（2）设当每间店面房的年租金上涨y万元时，该专业街的年收益为2305万元，

根据题意得：（12.1+y﹣1.1）（195﹣10y）﹣0.5×10y＝2305，

整理得：y²﹣8y+16＝0，

解得：y₁＝y₂＝4．

答：当每间店面房的年租金上涨4万元时，该专业街的年收益为2305万元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据收益＝租金﹣各种费用列出关于y的一元二次方程．