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得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( C )
sup7()sup7()sup7()sup7()
2．不等式3x－2＞1的解集在数轴上表示正确的是( A )
sup7()sup7()sup7()sup7()
3．不等式组的最小整数解是( B )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．已知一等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( C )
A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50°
5．如图，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一直线上，那么旋转角为( C )
A．55° B．70° C．125° D．145°
sup7() sup7() sup7()
6．如图，直线y＝ax＋b与直线y＝mx＋n交于点P(－2，－1)，则根据图象可知不等式ax＋b＞mx＋n的解集是( A )
A．x＞－2 B．x＜－2 C．－2＜x＜0 D．x＞－1
7．(2022·邵阳)若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的最大值是( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．(2022·海南)如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是( B )
A．80° B．100° C．120° D．140°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在BC边上，过点E的直线l∥BC，则∠1的度数为( B )
A．15° B．20° C．25° D．30°
sup7() sup7() sup7()
10．如图，等边△ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6.则正确的结论有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(河南中考)不等式组的最小整数解是__－2__．
12．如图，以△ABC的顶点B为圆心，以BA的长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠CAD＝__34°__．
13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定的角度后点B′恰好与点C重合，则平移的距离为__2__．
sup7() sup7() sup7()
14．(2022·盘锦)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A′B′C′，当点A的对应点A′落在边AB上时，点C′在BA的延长线上，连接BB′，若AA′＝1，则△BB′D的面积是____．
15．如图，等边△ABC的边长是4，M是高CD所在直线上的一动点，连接MB，将线段BM绕点B按逆时针方向旋转60°得到线段BN，连接DN，则在点M运动过程中线段DN长度的最小值是__1__．
三、解答题(共75分)
16．(10分)解下列不等式(组)，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)10－3(x＋6)≤1；
解：x≥－3，在数轴上
表示其解集略
(2)
解：解不等式x－3(x＋1)＞3，
得x＜－3，解不等式
－≤1，得x≤2，
∴不等式组的解集为x＜－3，
在数轴上表示其解集略
17．(9分)已知关于x，y的方程组当m为何值时，x＞y?
解：解方程组得又∵x＞y，∴＞，解得m＞3，∴当m＞3时，x＞y
18．(9分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3).
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，请画出平移后的△A1B1C1的图形；
(2)若△ABC和△A2B2C2，关于原点O成中心对称，请写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
(3)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，请画出旋转后的图形△A3B3C3.
解：(1)如图所示的△A1B1C1即为所求作
(2)点A2(3，－5)，点B2(2，－1)，点C2(1，－3)
(3)如图所示的△A3B3C3即为所求作
19．(9分)如图，锐角△ABC的两条角平分线BD，CE相交于点O，连接AO，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若∠ABC＝75°，求∠BAO的度数．
解：(1)证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠ECB.又∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ECB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形
(2)延长AO交BC于点F，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是BC的垂直平分线，∴AF⊥BC，∴∠BAO＝∠BAC＝(180°－∠ABC－∠ACB)＝(180°－2∠ABC)＝(180°－2×75°)＝15°
20．(9分)(2022·平顶山三模)正值樱桃上市时节，某水果店分两次购进红樱桃和黄樱桃两种水果进行销售，两次购进同一种水果的进价相同，具体情况如下表所示：
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购进的数量/斤 |
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红樱桃 |
黄樱桃 |
购进所需费用/元 |
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第一次 |
30 |
40 |
720 |
第二次 |
40 |
30 |
680 |
(1)求红樱桃和黄樱桃每斤的进价；
(2)水果店决定红樱桃以每斤10元出售，黄樱桃以每斤15元出售．为满足市场需要，需购进红樱桃和黄樱桃两种共200斤，且红樱桃的数量不少于黄樱桃数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
解：(1)设红樱桃和黄樱桃每斤的进价分别为x元、y元，根据题意，得解得∴红樱桃和黄樱桃每斤的进价分别为8元、12元
(2)∵红樱桃每斤获利10－8＝2(元)，黄樱桃每斤获利15－12＝3(元)，2＜3，∴购进的红樱桃越少获利越多．设购进红樱桃m斤，则购进黄樱桃(200－m)斤．根据题意，得m≥4(200－m)，解得m≥160，∴m最小值＝160，此时200－m＝40，∴获利最大的进货方案为购进红樱桃160斤，购进黄樱桃40斤，最大利润为2×160＋3×40＝440(元)
21．(9分)如图，△ABC是等边三角形，将它绕顶点A顺时针旋转90°至等边△ADE的位置，AF平分∠CAE，连接CD，CF，
(1)求∠ADC的度数；
(2)求证：CF⊥AD.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝60°.又∵△ABC绕点A顺时针旋转90°至等边△ADE的位置，∴∠BAD＝90°，AD＝AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠ACD＝(180°－∠CAD)＝75°
(2)证明：设AD交CF于点G，∵∠CAD＝30°，∠DAE＝60°，∴∠CAE＝90°.又∵AF平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠CAF－∠CAD＝15°，∠AFE＝180°－∠E－∠FAE＝75°.又∵AE＝AC，AF＝AF，∴△CAF≌△EAF(SAS)，∴∠CFA＝∠AFE＝75°，∴∠AGF＝180°－∠CFA－∠DAF＝90°，∴CF⊥AD
22．(10分)【问题】如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且BD＝BA，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接AF，当∠B＝30°，∠BAF＝90°时，求∠DAC的度数．
【探究】若把“【问题】”中的条件“∠B＝30°”去掉，其他条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由．
【拓展】若把“【问题】”中的条件“∠B＝30°”去掉，再将“∠BAF＝90°”改为“∠BAF＝α”，其余条件不变，则∠DAC＝________.
解：【问题】∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)＝×(180°－30°)＝75°.∵EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠CAF＝∠C.又∵∠B＋∠AFB＋∠BAF＝30°＋∠AFB＋90°＝180°，∴∠AFB＝60°.又∵∠AFB＝∠C＋∠CAF＝2∠C，∴∠C＝30°，∴∠CAD＝∠ADB－∠C＝75°－30°＝45°
【探究】不会，理由如下：∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)＝90°－∠B.∵EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠CAF＝∠C.又∵∠B＋∠AFB＋∠BAF＝∠B＋∠AFB＋90°＝180°，∴∠AFB＝90°－∠B.又∵∠AFB＝∠C＋∠CAF＝2∠C，∴∠C＝45°－∠B，∴∠CAD＝∠ADB－∠C＝90°－∠B－(45°－∠B)＝45°
【拓展】α 【解析】∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)＝90°－∠B.∵EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠CAF＝∠C.又∵∠B＋∠AFB＋∠BAF＝∠B＋∠AFB＋α＝180°，∴∠AFB＝180°－α－∠B.又∵∠AFB＝∠C＋∠CAF＝2∠C，∴∠C＝90°－α－∠B，∴∠CAD＝∠ADB－∠C＝90°－∠B－(90°－α－∠B)＝α
23．(10分)在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧)，设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE.
(1)如图①，当△ADE在起始位置时，试猜想PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
(2)如图②，当α＝90°时，点D落在AB边上，(1)中的结论是否还成立？为什么？
(3)如图③，当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值．
图① 图② 图③
解：(1)PC＝PE，PC⊥PE，理由如下：延长EP交BC于点F，易证△FBP≌△EDP(AAS)，∴PF＝PE，BF＝DE.又∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，∴△EFC是等腰直角三角形．又∵EP＝FP，∴∠PCE＝∠CEP＝45°，PC⊥PE，∴PC＝PE
(2)成立，理由如下：过点B作BF∥DE，交EP的延长线于点F，连接CE，CF，易证△FBP≌△EDP(AAS)，∴BF＝DE，PE＝PF.又∵DE＝AE，∴BF＝AE.∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，∴ED∥AC，EA∥BC，∴FB∥AC，∴∠FBC＝∠ACB＝90°，∴∠CBF＝∠CAE.在△FBC和△EAC中，∵∴△FBC≌△EAC(SAS)，∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，∴∠FCE＝∠FCB＋∠BCE＝∠ACE＋∠BCE＝∠ACB＝90°，∴△FCE是等腰直角三角形．又∵EP＝FP，∴∠PCE＝∠CEP＝45°，CP⊥EP，∴CP＝EP
(3)如图，过点B作BF∥DE，交EP的延长线于点F，连接CE，CF，过点E作EH⊥AC交CA的延长线于点H，易得EH∥BC，当α＝150°时，∠EAC＝α＝150°，∴∠EAH＝30°，∴∠AEH＝60°，∴直线EH与DE的夹角为30°.又∵BF∥DE，EH∥BC，∴直线BF与BC的夹角为30°，∴∠FBC＝180°－30°＝150°＝∠EAC，∴同(2)可证得△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝CE.在Rt△AHE中，∵∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，∴HE＝，AH＝.又∵AC＝BC＝3，∴CH＝3＋，∴EC2＝CH2＋HE2＝10＋3，∴EF2＝(EC)2＝2EC2＝20＋6，∴PC2＝EF2＝＝