期末综合素质评价(一)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1. [2023·北京]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2. [2023·杭州上城区期中]下列运算正确的是( )
A. －＝ B. ＝3
C. －＝ D. ＝－1
3. [2023·宁波期中]已知m是一元二次方程x2＋2x－5＝0的一个根，则m2＋2m＋5的值为( )
A. 3 B. －10 C. 0 D. 10
4. 调查某少年足球队18位队员的年龄，得到数据结果如表：
年龄/岁 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
人数 |
2 |
6 |
7 |
2 |
1 |
则该足球队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A. 13岁、12岁 B. 13岁、14岁
C. 13岁、13岁 D. 13岁、15岁
5. 下列说法中不正确的是( )
A. 四个角相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
6. [2023·天津南开区三模]若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1
C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3
7. 如图，在▱ABCD 中，连结 AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )
A. B. 2 C. 2 D. 4
(第7题) (第8题)
8. 如图，池塘边有一块长为20 m，宽为10 m的矩形土地，现在将其余三面留出宽都是x m的小路，中间余下的矩形部分作菜地，若菜地的面积为24 m2，则可列方程为( )
A. (20－2x)(10－x)＝20×10－24
B. (20－2x)(10－x)＝24
C. (20－2x)(10－2x)＝24
D. (20－2x)(10－2x)＝20×10－24
9. [2023·台州温岭市模拟]如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第二象限的图象经过点B，且OA2－AB2＝8，则k的值是( )
A. －8 B. －4 C. 4 D. 8
(第9题) (第10题) (第14题)
10. [2023·青岛一模]如图，已知正方形ABCD的边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E. 连结EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是( )
A. 18 B. 4 C. 14. 4 D. 6
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11. [2023·宁波镇海区期中]二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.
12.关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋3＝0有两个实数根，则k的取值范围是________.
13.[2023·杭州北苑实验中学]已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则这组数据的方差为________.
14.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝________°.
15.如图，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且AB∥y轴，P是y轴上的任意一点，则△PAB的面积为________.
(第15题) (第16题)
16. [2023·绍兴改编]如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD, BC上的动点. 下列四个结论：
①存在无数个▱MENF; ②存在无数个矩形MENF;
③存在无数个菱形MENF; ④存在两个正方形MENF.
其中正确的结论是________(填序号).
三、解答题(本题有8小题，共66分)
17. (6 分)计算：
(1)－6 ＋； (2) ×.
18. (6分)解方程：
(1) (x－3)2＋2x(x－3)＝0； (2)x2－3x－1＝0.
19. (6分) [2023·杭州上城区期末]已知点A(2，3)，B(b，－2)都在反比例函数y＝(k≠0)的图象上.
(1)求反比例函数表达式及点B的坐标；
(2)当y＞6时，求x的取值范围.
20. (8分) [2023·宁波北仑区期中]某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品. 当每件商品售价为40元时，一月份的销售量为256件. 二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高. 在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件. 已知二、三月份这两个月的月增长率相同.
(1)求二、三月份这两个月的月增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，月销售量增加5件，当每件商品降价多少元时，商场获利4 250元？
21. (8分)[教材P107目标与评定T19变式]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当AD＝5，DC＝2时，求FG的长.
22. (10分) [2023·河南]蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利. 不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势. 樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析数据如下：
a. 配送速度得分(满分10分)：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b. 服务质量得分统计图(满分10分)：
c. 配送速度和服务质量得分统计表：
|
配送速度得分 |
服务质量得分 |
||
平均数 |
中位数 |
平均数 |
方差 |
|
甲 |
7. 8 |
m |
7 |
S2甲 |
乙 |
8 |
8 |
7 |
S2乙 |
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的m＝________，S2甲________S2乙(填“>”“＝”或“<”).
(2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由.
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息(列出一条即可)?
23. (10分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化. 学生的注意力指数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB，BC为线段，CD为双曲线的一部分).
(1)上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第________分钟时学生的注意力更集中；
(2)一道数学题，需要讲18分钟，为了使学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请说明理由.
2
4.
(12 分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4
cm，BC＝8
cm，点P从点D出发沿DA向点A运动，运动到点A即停止，同时，点Q从点B出发沿BC向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1
cm/s. 连结PQ，AQ，CP.
设点P，Q运动的时间为t
s.
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
答案
一、1. A 2. A 3. D
4. C 【点拨】该足球队队员的年龄中，13岁出现的次数最多，故众数为13岁. 这组数据共有18个，数据按从小到大的顺序排列后，中位数为第9个数据和第10个数据的平均数，∴中位数为＝13(岁).
5. B 【点拨】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形.
6. B 【点拨】∵点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，
∴y1＝2，y2＝－1，y3＝－，∴y2＜y3＜y1.
7. C 【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝45°.
∴∠ABC＝45°＝∠ACB，∴∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴BC＝＝＝2.
8. B 【点拨】∵其余三面留出宽都是x m的小路，
∴菜地的长为(20－2x)m，宽为(10－x)m，
由题意得(20－2x)(10－x)＝24.
9. B 【点拨】设点B的坐标为(a，b)，
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD.
∵OA2－AB2＝8，∴2AC2－2AD2＝8，即AC2－AD2＝4，
∴(AC＋AD)(AC－AD)＝4，∴(OC＋BD)·CD＝4，
∴|ab|＝4，∴k＝±4.
∵反比例函数的图象位于第二象限，∴k＜0，∴k＝－4.
10. C 【点拨】如图，过点C作CF⊥ED于点F.
∵
四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE＋∠FDC＝90°.
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF＝DE，∠DFC＝90°，
∴∠FDC＋∠DCF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF.
∵DE⊥AP，∴∠AED＝90°＝∠DFC.
在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF(AAS)，
∴DE＝CF，∴DF＝CF.
∵∠CFD＝90°，CD＝6，∴DF2＋CF2＝CD2，
即DF2＋(2DF)2＝62，解得DF2＝7. 2，
∴S△CDE＝＝2DF2＝2×7. 2＝14. 4.
二、11. x≥－2 12. k≤且k≠1
13. 2 【点拨】由题意得×(1＋5＋2＋4＋x)＝3，解得x＝3，∴方差为×[(1－3)2＋(5－3)2＋(2－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2]＝2.
14. 55 【点拨】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.
∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠OCD，
∴∠DEC＝∠OCD＝∠ODC.
设∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，则∠COD＝180°－2x.
又∵∠COD＝∠DEC＋∠EDO，
∴180°－2x＝x＋15°，解得x＝55°，即∠DEC＝55°.
15. 1 【点拨】如图，延长BA交x轴于点H，连结OB，OA. ∵AB∥y轴，点P在y轴上，∴∠BHO＝90°，
S
△PAB＝S△OAB.
根据题意得S△AHO＝＝1，
S△BOH＝＝2，
∴S△AOB＝S△BOH－S△AHO＝2－1＝1，
∴S△PAB＝S△OAB＝1.
16. ①②③ 【点拨】如图，连结AC，与BD相交于点O，连结MN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.
∵
BE＝DF，∴OE＝OF，只要MN过点O，可得OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形.
∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个▱MENF，故①正确；只要MN＝EF，MN过点O，则四边形MENF就是矩形.
∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF就是菱形.
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；若MN＝EF，MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误.
三、17. 【解】(1)原式＝2－2＋4 ＝4 .
(2)原式＝－2 ＝－.
18. 【解】(1)(x－3)2＋2x(x－3)＝0，
x2－6x＋9＋2x2－6x＝0，x2－4x＋3＝0，
(x－1)(x－3)＝0，x1＝1, x2＝3.
(2) x2－3x－1＝0，则a＝1，b＝－3，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝9＋4＝13＞0，
∴x＝，解得x1＝，x2＝.
19. 【解】(1)将点A(2，3)的坐标代入y＝，
得3＝，解得k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
把点B(b，－2)的坐标代入y＝，得－2＝，
解得b＝－3，∴点B的坐标为(－3，－2).
(2)当y＞6时，>6，∴0＜x＜1.
20. 【解】(1)设二、三月份这两个月的月增长率为x，根据题意得256(1＋x)2＝400，
解得x1＝＝25%，x2＝－(不合题意舍去).
答：二、三月份这两个月的月增长率为25%.
(2)设每件商品降价m元，
根据题意得(40－25－m)(400＋5m)＝4 250，
解得m1＝5，m2＝－70(不合题意舍去).
答：当每件商品降价5元时，商品获利4 250元.
21. (1)【证明】∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO.
∵O是DF的中点，∴OF＝OD.
在△OEF和△OGD中，
∴△OEF≌△OGD(ASA)，∴EF＝GD，
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)【解】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∵E是AC的中点，∴DE＝AC.
在Rt△ACD中，AD＝5，DC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴DE＝AC＝，由(1)可知四边形DEFG是平行四边形，∴FG＝DE＝.
22. 【解】(1)7. 5；<
(2)∵配送速度得分甲和乙的平均数相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，∴小丽应选择甲公司. (答案不唯一，言之有理即可)
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况. (答案不唯一，言之有理即可)
23. 【解】(1)5
(2)能. 理由：设线段AB的表达式为yAB＝kx＋b，
把点(10，50)和(0，30)的坐标代入得，
解得
∴线段AB的表达式为yAB＝2x＋30；
设双曲线CD的函数表达式为yCD＝，
把点(20，50)的坐标代入得，50＝，∴a＝1 000，
∴双曲线CD的函数表达式为yCD＝；
将y＝40代入yAB＝2x＋30，得2x＋30＝40，
解得x＝5；
将y＝40代入yCD＝，得＝40，
解得x＝25.
∵25－5＝20(分钟)>18 分钟，∴教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题.
24. 【解】(1)由题意得，BQ＝t cm，DP＝t cm，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝8 cm，
∴AD＝BC＝8 cm，∴AP＝(8－t)cm.
当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，
即t＝8－t，解得t＝4，
∴当t＝4时，四边形ABQP是矩形.
(2)易得∠B＝90°，∵AB＝4 cm，BQ＝t cm，
∴AQ2＝AB2＋BQ2＝42＋t2.
当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ＝QC，
即42＋t2＝(8－t)2，解得t＝3，
∴当t＝3时，四边形AQCP是菱形.
(3)由(2)可知当t＝3时，BQ＝3 cm，
∴CQ＝BC－BQ＝5 cm，
∴C菱形AQCP＝4CQ＝4×5＝20(cm)，S菱形AQCP＝CQ·AB＝5×4＝20(cm2).