期中测试
(时间：100分钟 满分：120分)
1．(2023·大庆)搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( C )
2．老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y<0，其中不等式有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．在平面直角坐标系中，将点A(1，－2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是( A )
A．(－1，1) B．(－1，－2) C．(－1，2) D．(1，2)
4．(2023·内蒙古)关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为( B )
A.3 B．2
C．1 D．0
5．(2023·雅安)不等式组的解集是( D )
A．－1＜x＜1 B．－1≤x＜1 C．－1＜x≤3 D．－1≤x＜3
6．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( D )
A．2 km B．3 km C．2 km D．4 km
sup7() sup7() sup7()
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若EA＝2，则BE＝( C )
A．3 B．4 C．6 D．8
8．如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x>ax＋3的解集是( D )
A．x＞2 B．x<2 C．x>－1 D．x<－1
9．如图，AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AC＝2CP.甲、乙两人想在AB上取D，E两点，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：甲作∠ACP，∠BCP的平分线，分别交AB于D，E两点，则D，E即为所求；乙作AC，BC的垂直平分线，分别交AB于D，E两点，则D，E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( A )
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
sup7() sup7() sup7()
10．两个大小不同的等腰直角三角板如图1放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.下列说法不正确的是( B )
A．△ADC≌△AEB B．△DCE是等腰三角形
C．DC＝BE D．DC⊥BE
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，x和5分别是天平上两边的砝码，请用“＞”或“＜”填空：x__<__5.
sup7() sup7() sup7()
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为__2.4__．
13．一次生活常识竞赛一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣2分，小明有2题没答，竞赛成绩要超过74分，则小明至多答错__2__道题．
14．如图，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′.若AC＝2，则图中阴影部分的面积为____．
15．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为__66或126__cm2.
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16．(8分)(2023·济南)解不等式组：并写出它的所有整数解．
解：解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x＜3，在数轴上表示不等式①②的解集如下：
∴原不等式组的解集是－1＜x＜3，∴它的所有整数解有：0，1，2
17．(9分)(2023·荆州)如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE.求证：CD＝CE.
证明：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，∴∠DBC＝30°，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，∵∠CDE＋∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴CD＝CE
18．(9分)两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
解，如图，点C1，C2即为所求
19．(9分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
解：(1)△A1B1C和△A2B2C2如图所示
(2)旋转中心的坐标为(1.5，3)
20．(9分)当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1.
解：依题意得－＞1，去分母，得3(x＋3)－2(2x－1)＞6，去括号，得3x＋9－4x＋2＞6，移项，得3x－4x＞6－2－9，合并同类项，得－x＞－5，系数化为1，得x＜5
21．(10分)如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
解：(1)∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC
(2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°
22．(10分)(绵阳中考)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 |
梨子 |
菠萝 |
苹果 |
车厘子 |
批发价格(元/kg) |
4 |
5 |
6 |
40 |
零售价格(元/kg) |
5 |
6 |
8 |
50 |
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300 kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88 kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
解：(1)设第一天，该经营户批发了菠萝x kg，苹果y kg，依题意得解得∴利润为(6－5)×100＋(8－6)×200＝500(元).答：这两种水果获得的总利润为500元 (2)设购进m kg菠萝，则购进kg苹果，依题意得解得88≤m＜100.又∵m，均为正整数，∴m可以为88，94，∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，方案1：购进88 kg菠萝，210 kg苹果；方案2：购进94 kg菠萝，205 kg苹果
23．(11分)如图1，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，点C在DE上，点B在DF上．
(1)求重叠部分△BCD的面积；
(2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30°，DE交BC于点M，DF交AB于点N.
①求证：DM＝DN；
②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积；若不发生变化，请说明理由；
(3)如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度(0<α<90)，DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结论，不需要说明理由)
解：(1)∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠ACB＝45°.又∵∠EDF＝90°，D为AC中点，且AC＝2，∴∠ACB＝∠CBD＝45°，CD＝AC＝1.∴CD＝BD＝1.∴S△BCD＝CD·BD＝
(2)①连接BD，则∠CDB＝90°.由(1)知BD＝CD，∠C＝∠NBD＝45°.又∵∠CDB＝∠EDF＝90°，∴∠CDM＋∠MDB＝∠MDB＋∠BDN.∴∠CDM＝∠BDN.∴△CDM≌△BDN(ASA).∴DM＝DN
②不发生变化．理由：由①知△CDM≌△BDN，∴S△CDM＝S△BDN.∴S四边形BNDM＝S△BMD＋S△BDN＝S△BMD＋S△CDM＝S△BCD＝.故此条件下重叠部分的面积不变，为
(3)DM＝DN的结论仍成立，重叠部分的面积不会变