期末综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．【2023·济南期末】若＝，则等于( )
A． B． C． D．
2．【2023·滨州滨城区期中】如表是代数式ax2＋bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2＋bx＝12的根是( )
x |
… |
－3 |
－2 |
－1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
ax2＋bx |
… |
12 |
6 |
2 |
0 |
0 |
2 |
6 |
12 |
… |
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝－1，x2＝2
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝4
3．【2023·滨州邹平市月考】用配方法解方程2x2＋3＝7x时，方程可变形为( )
A．(x－)2＝ B．(x－)2＝
C．(x－)2＝ D．(x－)2＝
4．【2023·德州期末】如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若∠AOE＝128°，则∠COD的度数为( )
A．28° B．38° C．52° D．62°
5．下列各式与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
6．【2023·重庆】如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为( )
A．4 B．9 C．12 D．13.5
7．【2023·东营东营区月考】表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简 －＋的结果是( )
A．－2a B．－2b C．0 D．2a－2b
8．【2023·济宁邹城市期末】如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，B′，若OA′＝2OA，则图形乙的面积是图形甲的面积的( )
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
9．【新定义题】定义运算：a☆b＝ab2－ab－1，例如：3☆4＝3×42－3×4－1，则方程1☆x＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
10．【2023·丽水】如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为( )
A． B．1 C． D．
11．【2023·泰安泰山区一模】矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝( )
A．1 B． C． D．
12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，DE，AF交于点G，AF的中点为H，连接BG，DH.给出下列结论：①AF⊥DE； ②DG＝；③HD∥BG；④△ABG与△DHF相似．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共18分)
13．【2022·济宁】若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
14．若＝＝，则＝________．
15．若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为________．
16．【2023·济南历下区期末】如图，等边三角形ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12 cm2，图中阴影部分的面积为________cm2.
17．【2023·苏州改编】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，AC·EF的值为________．
18．如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，G是AE上的一点，∠EGF＝45°，则GF＝________．
三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)
19．计算：
(1)－()2＋(π＋)0－＋|－2|.
(2)＋3－÷×.
20．【2023·临沂兰山区期末】解下列方程：
(1)(2x－1)2＝(3－x)2.
(2)x2－4x－7＝0.
21．已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实根，方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1－1)(x2－1)＝－1，求k的值．
22．【2023·滨州改编】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为(2，2)，点D是边OC上的动点，过点D作 DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S.
(1)用x表示线段DF.
(2)求S关于x的函数表达式．
23．为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛上合示范区某工厂生产的某种零件按供需要求分为8个档次．若生产第一档次(最低档次)的产品，一天可生产38件，每件的利润为12元，每提高一个档次，每件的利润增加3元，每天的产量将减少2件．请解答下列问题，设产品的档次(每天只生产一个档次的产品)为x，若该产品一天的总利润为756元，求这天生产产品的档次x的值．
24．【2023·温州】如图，已知矩形ABCD，点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，GE＝GH.
(1)求证：BE＝CF.
(2)当＝，AD＝4时，求EF的长．
25．【2023·杭州】如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.
(1)若ED＝，求DF的长．
(2)求证：AE·CF＝1.
(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG＝ED，求ED的长．
答案
一、1．D 【点拨】∵＝，∴＝.
2．D 【点拨】由表中数据得，当x＝－3时，ax2＋bx＝12；当x＝4时，ax2＋ bx＝12，所以方程ax2＋bx＝12的解为x1＝－3，x2＝4.
3．D 【点拨】∵2x2＋3＝7x，∴2x2－7x＝－3，
∴x2－x＝－，∴x2－x＋＝－＋，
∴(x－)2＝.
4．C 【点拨】∵将长方形和直角三角形的直角顶点O重合，
∴∠AOC＝∠DOE＝90°.
∵∠AOE＝128°，∴∠COE＝∠AOE－∠AOC＝128°－90°＝38°，
∴∠COD＝∠DOE－∠COE＝90°－38°＝52°.
5．C 【点拨】∵＝，＝6，＝5，＝4，＝4，
∴与是同类二次根式的是.
6．B 【点拨】∵△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝，∴当AB＝6时，DE＝9.
7．A 【点拨】由数轴可知a＜0，b＞0，a－b＜0，
∴原式＝－a－b－(a－b)＝－a－b－a＋b＝－2a.
8．C 【点拨】由题意可得，甲乙两图形相似，且相似比为，根据相似图形的面积比是相似比的平方可得，图形乙的面积是图形甲的面积的4倍．
9．A
1
0．D 【点拨】如图，连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AB＝，
∴OA＝＝＝，∴AC＝2OA＝.
1
1．C 【点拨】如图，延长GH交AD于点P.∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝
∠CGF＝90°，AD＝BC＝2，GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH.又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，
∴△APH≌△FGH(ASA)，∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD－ AP＝1.∵CG＝2，CD＝1，∴DG＝1，∴GH＝PG＝×＝.
12．B 【点拨】∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD.∵E和F分别为BC和CD的中点，∴DF＝EC，∴△ADF≌△DCE(SAS)， ∴∠AFD＝∠DEC，∠FAD＝∠EDC.∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠EDC＋ ∠AFD＝90°，∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；∵AD＝4，DF＝ CD＝2，∴AF＝＝＝2，又∵S△ADF＝AD·DF＝AF·DG，∴DG＝＝，故②错误；∵H为AF的中点，∴HD＝HF＝AF＝，∴∠HDF＝∠HFD.∵AB∥DC，∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG.∵AG＝＝，AB＝4，∴＝＝，∴△ABG∽△DHF，故④正确；由④可知∠ABG＝∠DHF.∵AB≠AG，∴∠ABG和∠AGB不相等，∴∠AGB≠∠DHF，∴HD与BG不平行，故③错误．综上所述①④正确．
二、13．x≥3 【点拨】根据题意，得x－3≥0，解得x≥3.
14．13 【点拨】设＝＝＝k(k≠0)，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝13.
15．k≥1.5且k≠2 【点拨】∵关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有实数根，∴解得k≥1.5且k≠2.
16．4 【点拨】易知△AHM∽△ABC.∵AH＝HK＝KB，S△ABC＝12 cm2，∴＝()2＝()2＝，∴S△AHM＝S△ABC＝×12＝(cm2)．又易知△AKN∽△ABC， ∴＝()2＝()2＝，∴S△AKN＝S△ABC＝×12＝(cm2)，∴S阴影＝ S△AKN－S△AHM＝－＝4(cm2)，∴图中阴影部分的面积为4 cm2.
17．30 【点拨】如图，连接AC，EF，则AC＝＝＝3. ∵四边形OABC为矩形，∴B(9，3)．又∵OE＝BF＝4，∴E(4，0)，F(5，3)．
∴EF＝＝，∴AC·EF＝3×＝30.
18． 【点拨】如图，连接BF，交AE于点H.∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°.∵点E，F分别是边BC，CD的中点，∴BE＝CF，在△ABE与△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF.∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠AEB＋∠EBH＝90°.∴∠BHE＝90°，∴∠GHF＝90°.
∵∠FGH＝45°，∴△FGH是等腰直角三角形，∵AB＝BC＝2，∴AE＝BF＝＝.∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BH，∴BH＝＝，∴HG＝HF＝BF－BH＝－＝，∴GF＝＝.
三、19．【解】(1)－()2＋(π＋)0－＋|－2|
＝－3＋1－3＋2－＝－3.
(2)＋3－÷×
＝2＋2－××4
＝2＋2－8
＝2－6.
20．【解】(1)(2x－1)2＝(3－x)2，(2x－1)2－(3－x)2＝0，[(2x－1)＋(3－x)][(2x－1)－(3－x)]＝0，∴x＋2＝0或3x－4＝0，∴x1＝－2，x2＝.
(2)x2－4x－7＝0，x2－4x＝7，x2－4x＋4＝7＋4，即(x－2)2＝11，∴x－2＝±，∴x1＝2＋，x2＝2－.
21．【解】∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实根，∴Δ＝32－4(k－2)≥0，解得k≤.∵方程的两个实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝－3，
x1x2＝k－2.∵(x1－1)(x2－1)＝－1，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝－1，∴k－2＋3＋1＝－1，解得k＝－3，符合题意．故所求k的值为－3.
22．【解】(1)如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC.
∵顶点A的坐标为(2，2)，
∴OG＝2，AG＝2，∴OA＝＝4，
∴＝，∴∠OAG＝30°，∴∠AOG＝60°.
∵四边形OABC是菱形，
∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥BO，AO＝OC，
∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°.
∵DE⊥OB，∴DE∥AC，∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
∴△EOD是等边三角形，∴ED＝OD＝x.
∵DF∥OB，∴△CDF∽△COB，∴＝.
∵A(2，2)，AO＝4，∴B(6，2)，
∴OB＝＝4，
∴＝，∴DF＝(4－x)．
(2)∵DF＝(4－x)，
∴S＝－x2＋2x(0≤x≤4)．
23．【解】∵该工厂生产产品的档次(每天只生产一个档次的产品)为x，∴每件产品的利润为12＋3(x－1)＝(9＋3x)元，一天可生产38－2(x－1)＝(40－2x)件产品．根据题意得(9＋3x)(40－2x)＝756，整理得x2－17x＋66＝0，解得x1＝6，x2＝11(不符合题意，舍去)．∴这天生产产品的档次x的值为6.
24．(1)【证明】∵HF⊥EF，∴∠HFE＝90°.
∵GE＝GH，∴FG＝EH＝GE＝GH，∴∠E＝∠GFE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴BF＝CE，∴BF－BC＝CE－BC，即BE＝CF.
(2)【解】∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝4.∵∠HFE＝∠DCB＝90°， ∠HEF＝∠DEC，
∴△ECD∽△EFH，∴＝，∴＝.
∵＝，∴＝.
设BE＝CF＝x，则EC＝x＋4，
EF＝2x＋4，∴＝，解得x＝1，∴EF＝6.
25．(1)【解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1，
∴∠DEF＝∠CBF，∠EDF＝∠BCF，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝，∴＝，∴DF＝.
(2)【证明】∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠F.
又∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABE∽△CFB，
∴＝，∴AE·CF＝AB·BC＝1.
(3)【解】设EG＝ED＝x，则AE＝AD－ED＝1－x，BE＝BG＋GE＝BC＋GE＝1＋x.
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴1＋(1－x)2＝(1＋x)2，
∴x＝，∴ED＝.