期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1. 2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场平安着陆，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，展现了中国航天科技的新高度.下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(　　)

2.以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是(　　)

A.2，3，4 B.3，4，5 C.5，13，14 D.2，2，

3.一次函数y＝kx＋k的图象可能是(　　)

4.[2023·兰州]如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝(　　)

(第4题)

A.2 B.2.5 C.3 D.3.5

5.[2022·威海]如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为(0，2)，(3，0)，(1，4).若MN∥PQ，则点N的坐标可能是(　　)

(第5题)

A.(2，3) B.(3，3) C.(4，2) D.(5，1)

6.[2022·宁波]如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点，若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为(　　)

(第6题)

A.2 B.3 C.2 D.4

7.如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为(　　)

(第7题)

A.5 B.6 C.7 D.8

8.[2023·苏州]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC·EF的值为(　　)

(第8题)

A. B.9 C.15 D.30

9.某校现有学生2 000人，为了提高学生的防诈骗意识，学校组织全体学生进行了一次防诈骗安全知识测试.现抽取部分学生的测试成绩作为样本，进行整理后分成5组，并绘制出如图所示的频数分布直方图，则下列说法正确的是(　　)

(第9题)

A.每个小组的组距是5 B.样本容量是50

C.抽取的样本中分数在80～90分的有6人 D.抽取的样本中分数在70～80分的人数最多

10. 如图为一块光学直棱镜，其截面为Rt△ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm.现将一束单色光从AC边上的点O射入，折射后到达AB边上的点D处，恰有CD⊥AB，再经过反射后(即∠CDE＝∠ODC)，从点E沿垂直于BC的直线射出，则光线在棱镜内部经过的路径OD＋DE的总长度为(　　)

(第10题)

A.12 cm B.6 cm C.(4 ＋4)cm D. cm

二、填空题(每题3分，共24分)

11.[2023·长沙南雅中学期中]函数y＝ 中，自变量x的取值范围是　　　　.

12. 在卡塔尔世界杯上，来自中国制造的主体育场馆“大金碗”——卢塞尔体育场(图①)，融合了许多黑科技，球场顶棚采用环保膜材料，膜的材料结构是由许多正六边形交织而成的，在正六边形ABCDEF(图②)中，∠ABC为　　　　°.

(第12题)

13.[2023·滨州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为　　　　.

(第13题)

14.已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分别是3，7，18，x，10，则第四组的频数为　　　　，频率为　　　　.

15.[2023·怀化二中期中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E，F分别为DB，BC的中点，若AB＝8，则EF＝　　　　.

(第15题)

16. 如图，一束光线从点A(－2，5)出发，经过y轴上的点B(0，1)反射后经过点C(m，n)，则2m－n的值是　　　　.

(第16题)

17.今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用时间为t(min)，所走的路程为s(m)，s与t之间的函数关系如图所示.下列四种说法：①小明中途休息用了20 min；②小明休息前爬山的平均速度为70 m/min；③小明在上述过程中所走的路程为6 600 m；④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度.其中正确的是　　　　.(填序号)

(第17题)

18.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，连接AE，设点B关于直线AE的对称点为点B'，且点B'在正方形内部，连接EB'并延长交边CD于点F，过点E作EG⊥AE交射线AF于点G，连接CG，若BE＝17，则CG的长为　　　　.

(第18题)

三、解答题(19，20题每题9分，其余每题12分，共66分)

19.[2023·永州]如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.

(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由.

(2)求证：四边形ABCD是菱形.

20.如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格上，其中点C的坐标为(1，2).

(1)写出点A，B的坐标；

(2)将△ABC先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到△A'B'C'，请你画出平移后的△A'B'C'.

21.超速行驶是常见的违法行为之一，其危害性相当大，每年都会有因超速引起的交通事故发生.为此，我国加大了对超速行驶的处罚，并实施了新的交通法规保证人民的生命安全.如图，一条公路在某直线路段MN限速60 km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小汽车从点A到达点B行驶了5s.已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200 m，此车超速了吗？请说明理由.(参考数据： ≈1.41， ≈1.73)

22. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.

(1)求A，B两种食材的单价；

(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.

23.[2023·杭州十三中模拟]第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某校为了了解学生对“杭州亚运会”相关知识的掌握情况，对全校学生进行了一次测试，并随机抽取了若干名学生的测试成绩进行整理，绘制了如图所示的不完整的频数直方图和扇形统计图.

请根据统计图的信息，解答下列问题：

(1)求样本容量，并补充全频数直方图.

(2)在抽取的这些学生中，圆圆的测试成绩为85分，你认为85分一定是这些学生成绩的中位数吗？请说明理由.

24.[2023·长沙南雅中学期中]如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC＝12，∠ACO＝30°.

(1)求点B的坐标.

(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求四边形ADCE的周长.

(3)若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点O，F，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

一、1.D　2.B　3.B

4.C 【点拨】∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC＝∠BAD＝90°.

在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，

∴BF＝ CE＝5.

∴BG＝BF＝5.

在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，

由勾股定理得AG＝ ＝3.故选C.

5.C　6.D

7.B 【点拨】∵PD⊥OA，∴∠PDO＝90°.

∵OD＝8，OP＝10，∴PD＝ ＝6.

∵∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE＝PD＝6.

8.D 【点拨】如图，连接AC，EF.

∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，

∴AC＝ ＝ ＝3 ，

∴B(9，3).

又∵OE＝BF＝4，

∴易得E(4，0)，F(5，3).

EF＝ ＝ .

∴AC·EF＝3 × ＝30.

故选D.

9.D

10.B 【点拨】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.

∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，

∴∠DCB＝30°，∠DCA＝60°.

在Rt△BCD中，BD＝ BC＝4 cm，CD＝ BD＝4 cm.

∵DE⊥BC，∴∠BDE＝30°，

∴BE＝ BD＝2 cm，DE＝ BE＝2 cm，∠CDE＝60°.

∵∠CDE＝∠ODC，∴∠ODC＝60°＝∠DCA，

∴△OCD是等边三角形，∴OD＝CD＝4 cm，

∴OD＋DE＝4 ＋2 ＝6 (cm).

二、11.x≥3　12.120

13. 【点拨】如图，过点A作AN⊥BD于点N，过点B作BM⊥AC于点M，

∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°.

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝ BD，OA＝ AC，AC＝BD.

∴OB＝OA.

∵S_△AOB＝ OB·AN＝ OA·BM，∴AN＝BM.

∵AE＝BF，∴Rt△ANE≌Rt△BMF(HL).

∴FM＝EN，BN＝AM.

设FM＝EN＝x.

∵AF＝1，BE＝3，∴BN＝3－x，AM＝1＋x.

易得3－x＝1＋x.∴x＝1.∴FM＝1.

∴AM＝2.

∵AB＝5，∴BM＝ ＝ .

∴BF＝ ＝ ＝ .

14.12；0.24

15.2 【点拨】根据直角三角形的性质求出CD，再根据三角形中位线定理计算即可.

16.－1 【点拨】∵点A(－2，5)关于y轴的对称点为A'(2，5)，

∴反射光线所在直线过点B(0，1)和A'(2，5).

设A'B的表达式为y＝kx＋1.

∴5＝2k＋1，∴k＝2，∴A'B的表达式为y＝2x＋1.

∵反射后经过点C(m，n)，∴2m＋1＝n，∴2m－n＝－1.

17.①②④

18.17 【点拨】如图，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠EHG＝90°.

∵点B关于直线AE的对称点为点B'，

∴AB＝AB'，BE＝B'E，又∵AE＝AE，

∴△ABE≌△AB'E(SSS)，

∴∠BAE＝∠B'AE，∠AB'E＝∠B＝90°，

∴∠D＝∠AB'F＝90°.

又∵AD＝AB＝AB'，AF＝AF，

∴Rt△ADF≌Rt△AB'F(HL)，

∴∠DAF＝∠B'AF，∴∠EAF＝ ∠BAD＝45°.

又∵EG⊥AE，∴△AEG是等腰直角三角形，

∴AE＝GE.

易得∠BAE＋∠AEB＝∠HEG＋∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠HEG.

又∵∠B＝∠EHG＝90°，∴△ABE≌△EHG(AAS)，

∴GH＝BE＝17，AB＝EH＝BC，∴CH＝BE＝17，

∴在Rt△CHG中，CG＝ ＝ ＝17 .

三、19.(1)【解】△AOB是直角三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，

∴OB＝OD＝ BD＝4.

∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，

∴OA²＋OB²＝AB²，

∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.

(2)【证明】由(1)可知，∠AOB＝90°.

∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形.

20.【解】(1)由题意得，点A的坐标为(2，－1)，点B的坐标为(4，3).

(2)如图所示，△A'B'C'即为所求.

21.【解】此车没有超速.理由如下：

如图，过点C作CH⊥MN，交MN于点H.

∵∠CBN＝60°，

∴∠BCH＝30°.

∴BH＝ BC＝ ×200＝100(m).

在Rt△BCH中，由勾股定理得CH＝ ＝ ＝100 (m).

∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100 m.

∴AB＝100 －100≈73(m).

∴此车的速度约为 m/s.

∵60 km/h＝ m/s， ＜ ，∴此车没有超速.

22.【解】(1)设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得

解得

故A种食材的单价是每千克38元，B种食材的单价是每千克30元.

(2)设A种食材购买m千克，则B种食材购买(36－m)千克，总费用为w元，由题意得

w＝38m＋30(36－m)＝8m＋1 080.

∵m≥2(36－m)，36－m＞0，∴24≤m＜36，

∵8＞0，∴w随m的增大而增大，

∴当m＝24时，w有最小值，为8×24＋1 080＝1 272.

故当A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，最少为1 272元.

23.【解】(1)样本容量是10÷20％＝50.

补全频数直方图如下：

(2)不一定是这些学生成绩的中位数.

理由：将50名学生知识测试成绩从小到大排列，第25，26名学生的成绩都在分数段80≤a＜90中，平均数不一定是85分，因为第25，26名学生的成绩的平均数才是整组数据的中位数，所以85分不一定是这些学生成绩的中位数.

24.【解】(1)∵∠ACO＝30°，AO⊥CO，AC＝12，

∴AO＝6.由勾股定理得OC＝ ＝6 ，

∴B(6 ，6).

(2)由折叠的性质得AD＝CD，AF＝CF.

∵四边形OABC是矩形，∴AB∥OC，∴∠EAF＝∠DCF.

∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE≌△CFD，∴AE＝CD.

∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形.

∵AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形.

设CD＝x＝AD，则OD＝6 －x.

∵在Rt△AOD中，AD²＝AO²＋OD²，

∴x²＝6²＋(6 －x)²，解得x＝4 ，

∴四边形ADCE的周长＝4CD＝16 .

(3)存在.由(1)可知，A(0，6)，C(6 ，0).

易知点F为AC的中点，

∴F(3 ，3)，OF＝ AC＝6＝OA.

∵∠OAC＝90°－∠ACO＝60°，

∴△AOF是等边三角形，

∴∠AOF＝60°，∴∠FOC＝30°.

①

Ⅰ.若点M在x轴上，

如图①，当OM为对角线时，

设M(m，0)，N(a，b)，

则

∴ ∴N(m－3 ，－3).

∵∠FOC＝30°，

∴FM＝ OM，

∴OF＝ ＝ OM，

∴6＝ OM，∴OM＝4 ，即m＝4 ，

∴N( ，－3).

当OM为边时，点N在y轴上，FN∥x轴，

∴N(0，3).

②

Ⅱ.若点M在y轴上，

如图②，当OM为对角线时，

设M(0，n)，N(c，d).

则

∴

∴N(－3 ，n－3).

∵∠AOF＝60°，

∴∠OMF＝30°，∴OM＝2OF＝12，

即n＝12，∴N(－3 ，9).

当OM为边时，点N在x轴上，FN∥y轴，∴N(3 ，0).

综上，点N的坐标为( ，－3)或(3 ，0)或(－3 ，9)或(0，3).