期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.下列根式中不是最简二次根式的是(　C　)

A. B. C. D.

2.函数y＝ 中，自变量x的取值范围是(　C　)

A.x≥1 B.x＞1 C.x≥1且x≠2 D.x≠2

3.(母题：教材P34习题T1)下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(　A　)

A.1.5，2，3 B.7，24，25 C.6，8，10 D.9，12，15

4.[2023·广东实验中学期中]下列计算结果正确的是(　D　)

A.3＋4 ＝7 B. － ＝ C. × ＝ D. ÷ ＝3

5.[2023·大庆]下列说法正确的是(　C　)

A.一个函数是一次函数就一定是正比例函数

B.有一组对角相等的四边形一定是平行四边形

C.两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等

D.一组数据的方差一定大于标准差

6.对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论错误的是(　D　)

A.若两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在该函数图象上，且x₁＜x₂，则y₁＞y₂

B.函数的图象不经过第三象限

C.函数的图象向下平移4个单位长度后得到y＝－2x的图象

D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)

7. “双减”政策落实后，同学们更加重视课堂学习了，小明和小颖两个人每周做一次数学自我测试，如图是记录了两个人9次测试成绩的折线图，从稳定的角度看两个人的成绩，下列说法正确的是(　B　)

A.小明成绩更稳定 B.小颖成绩更稳定

C.小明、小颖成绩一样稳定 D.无法判断

8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为E.已知∠BCE＝4∠DCE，则∠COE的度数为(　A　)

(第8题)

A.36° B.45° C.60° D.67.5°

9.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－ x＋4的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，点P的坐标为(m＋1，m－1)，且点P在△ABO的内部，则m的取值范围是(　A　)

A.1＜m＜3 B.1＜m＜5

C.1≤m≤5 D.m＜1或m＞3

10.[2023·宜宾]如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为(　C　)

(第10题)

A.3( －1) B.3(3 －2) C.6( －1) D.6(3 －2)

二、填空题(每题3分，共24分)

11.已知点P(a，b)在一次函数y＝4x＋3的图象上，则代数式4a－b－2的值等于　－5　.

12.[2023·北京四中期中]已知a，b，c分别为Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，a和b满足 ＋(b－3)²＝0，则c的长为　 　.

13.[2023·凉山州]如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是　(4，2)　.

(第13题)

14.某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分，85分，90分，综合成绩按笔试、试讲、面试的占比为2∶2∶1，则该位教师的综合成绩为　90分　.

15.函数y＝kx与y＝6－x的图象如图所示，则k＝　2　.

(第15题)

16.[2022·辽宁]如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4 ，则四边形CEDF的周长是　16　.

(第16题)

17.将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中(如图)，设筷子露在水杯外面的长度为h cm，则h的取值范围是　11≤h≤12　.

(第17题)

18.[2022·武汉]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF.过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K.若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是　80　.

(第18题)

三、解答题(19题8分，22题10分，其余每题12分，共66分)

19.计算：(1)( － ＋ )÷ ；(2)( －2)^{2 024}( ＋2)^{2 024}－ × －(π－1)⁰.

　【解】(1)原式＝(3 －2 ＋ )÷ ＝2 ÷ ＝ ；

　(2)原式＝[( －2)( ＋2)]^{2 024}－ －1＝(－1)^{2 024}－ －1＝1－ －1＝－ .

20.(母题：教材P99习题T9)如图，直线y＝kx＋6分别与x轴，y轴交于点E，F，已知点E的坐标为(－8，0)，点A的坐标为(－6，0).

(1)求k的值；

(2)若点P(x，y)是该直线上的一个动点，当△OPA的面积为27时，求点P的坐标.

　【解】(1)将点E(－8，0)的坐标代入y＝kx＋6，得－8k＋6＝0，解得k＝ .

(2)由(1)知k＝ ，∴直线EF的解析式为y＝ x＋6.

∵点A的坐标为(－6，0)，∴OA＝6.

∵点P的坐标为(x，y)，∴点P到OA的距离为｜y｜.

由题意得S_△OAP＝ ×6·｜y｜＝27，解得y＝±9.

∵y＝ x＋6，∴ x＋6＝9或 x＋6＝－9，解得x＝4或x＝－20.

∴当△OPA的面积为27时，点P的坐标为(4，9)或(－20，－9).

21. 超速行驶是常见的违法行为之一，其危害性相当大，据相关数据统计，每年因超速引起的交通事故达到30％.为此，我国加大了对超速行驶的处罚，并实施了新的交通法规保证人民的生命安全.如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60 km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小汽车从点A到达点B行驶了5 s，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200 m，此车超速了吗？请说明理由.(参考数据： ≈1.41， ≈1.73)

【解】此车没有超速.理由如下：

如图，过点C作CH⊥MN，交MN于点H.

∵∠CBN＝60°，∴∠BCH＝30°.∴BH＝ BC＝ ×200＝100(m).

在Rt△BCH中，由勾股定理得CH＝ ＝ ＝100 (m).

∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100 m.∴AB＝100 －100≈73(m).

故此车的速度约为 m/s.∵60 km/h＝ m/s， ＜ ，∴此车没有超速.

22.[2023·苏州]某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程.为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”“良好”“优秀”3个等级，依次记为2分，6分，8分(比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分).学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图所示的条形统计图.

(1)这32名学生在培训前得分的中位数对应等级为　合格　.(填“合格”“良好”或“优秀”)

(2)求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少分.

(3)利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？

　【解】(2)培训前的平均分为(25×2＋5×6＋2×8)÷32＝3(分)；培训后的平均分为(8×2＋16×6＋8×8)÷32＝5.5(分).5.5－3＝2.5(分)，

∴培训后比培训前的平均分提高了2.5分.

(3)样本中培训后检测等级为“良好”的比例为 ＝ ＝0.50；样本中培训后检测等级为“优秀”的比例为 ＝ ＝0.25.

∴估计培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是320×(0.50＋0.25)＝240.

23.如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s，0≤t≤5.

(1)AE＝　t　cm，EF＝　(5－2t)或(2t－5)　cm；

(2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形；

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形？

(2)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝90°.

∴AC＝ ＝ ＝5(cm)，∠GAF＝∠HCE.　

∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG＝ AB，CH＝ CD.∴AG＝CH.

易知AE＝CF，∴AF＝CE.∴△AFG≌△CEH(SAS).∴GF＝HE.

同理，GE＝HF.∴四边形EGFH是平行四边形.

(3)【解】如图，连接GH，由(2)可知四边形EGFH是平行四边形.

∵点G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，∴GH＝BC＝4 cm.

∴当EF＝GH＝4 cm时，四边形EGFH是矩形.分两种情况：

①AE＝CF＝t cm，EF＝(5－2t)cm，此时5－2t＝4，解得t＝0.5.

②AE＝CF＝t cm，EF＝(2t－5)cm，此时2t－5＝4，解得t＝4.5.

∴当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形.

24. 党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命，某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车.根据调查发现，购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元.

(1)求A，B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元.

(2)该交通管理局计划出资1 128万元，准备购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的购买方案.

【解】(1)设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元.

依题意得 解得

答：A型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元.

(2)设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车(30－m)辆.

依题意得36m＋40(30－m)≤1 128，解得m≥18.又∵m≤20，∴18≤m≤20.

设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，

依题意得w＝36m＋40(30－m)＝－4m＋1 200.

∵－4＜0，∴w随m的增大而减小.

∴当m＝20时，w取得最小值，此时30－m＝30－20＝10.

∴最省钱的购买方案为购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆.

期末综合素质评价

一、1.C

2.C 【点拨】函数自变量的取值范围一般从下列几个方面考虑：（1）当所给式子是整式时，自变量一般可取全体实数；（2）当所给式子是分式时，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数，注意不能随意约分；（3）当所给式子是偶次根式时，被开方数为非负数；（4）当所给式子含有负指数和零次数时，负指数幂和零次幂的底数都不能为0.遇到以上复合形式时，需列不等式组，使所有式子同时有意义，且要注意“或”和“且”的含义.

3.A　4.D

5.C 【点拨】A.一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；

B.有两组对角分别相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；C.两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；D.一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意.故选C.

6.D 【点拨】∵－2＜0，∴当x₁＜x₂时，y₁＞y₂，A正确；画出图象可知B正确；y＝－2x＋4向下平移4个单位长度得到y＝－2x＋4－4＝－2x，C正确；令y＝0，解得x＝2，则函数图象与x轴的交点坐标是（2， 0），D错误.

7.B

8.A 【点拨】令∠DCE＝x，则∠BCE＝4x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，OD＝OC，∴4x＋x＝90°，∴x＝18°.∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°.∴∠ODC＋∠DCE＝90°＝∠BCE＋∠DCE.∴∠ODC＝∠BCE＝4x＝72°.

∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝72°.∴∠COE＝180°－2×72°＝36°.

9.A 【点拨】易知A（8，0），B（0，4）.

∵点P在△ABO的内部，

∴0＜m＋1＜8，0＜m－1＜4，m－1＜－ （m＋1）＋4.

∴1＜m＜3.

10.C 【点拨】∵四边形ABCD是边长为6的正方形，

∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.

又∵DM＝DM，

∴△ADM≌△CDM（SAS）.

∴∠DAM＝∠DCM.

∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM.

∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.

又∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°，

∴∠DAM＝30°.

设PD＝x，则AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x，

∴AD＝ ＝ x＝6，解得x＝2 .

∴PM＝6－x＝6－2 ，AP＝2x＝4 .

∴AM＝AP－PM＝4 －（6－2 ）＝6（ －1）.

故选C.

二、11.－5　

12. 【点拨】首先利用算术平方根以及任意一个数的偶次方的非负性，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0，从而求出a和b的值，再利用勾股定理可求出c的值.

13.（4，2）【点拨】如图，延长BC交y轴于点D.

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴BC＝OA，BC∥OA.

∵OA⊥y轴，∴BC⊥y轴.

∵A（3，0），C（1，2），

∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2.

∴BD＝CD＋BC＝1＋3＝4.∴B（4，2）.

14.90分　15.2

16.16 【点拨】由题意得四边形CEDF是菱形，即可求得答案.

17.11≤h≤12

18.80 【点拨】由题易知△DCF≌△ACB，∴∠BAC＝∠FDC，∠CFD＝∠CBA，DF＝AB.

∵CJ⊥AB，∴∠CJB＝90°.

∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°.

∴∠BCJ＋∠CBA＝90°＝∠CDI＋∠CBA.

∴∠BCJ＝∠CDI.

又∵∠BCJ＝∠ICD，∴∠CDI＝∠ICD.∴DI＝CI.

同理可得CI＝IF，∴I为斜边DF的中点.

∴DF＝2×5＝10＝AB.

取AB的中点Q，连接CQ，∵CJ＝4，CQ＝5，∴QJ＝3.

∴AJ＝8.又∵四边形ABHL是正方形，∴AL＝AB＝10.

易得四边形AJKL是矩形，∴四边形AJKL的面积为8×10＝80.

三、19.【解】（1）原式＝（3 －2 ＋ ）÷ ＝2 ÷ ＝ ；

（2）原式＝[（ －2）（ ＋2）]^{2 024}－ －1＝（－1）^{2 024}－ －1＝1－ －1＝－ .

20.【解】（1）将点E（－8，0）的坐标代入y＝kx＋6，得－8k＋6＝0，解得k＝ .

（2）由（1）知k＝ ，

∴直线EF的解析式为y＝ x＋6.

∵点A的坐标为（－6，0），∴OA＝6.

∵点P的坐标为（x，y），∴点P到OA的距离为｜y｜.

由题意得S_△OAP＝ ×6·｜y｜＝27，解得y＝±9.

∵y＝ x＋6，∴ x＋6＝9或 x＋6＝－9，

解得x＝4或x＝－20.

∴当△OPA的面积为27时，点P的坐标为（4，9）或（－20，－9）.

已知与直线有关的三角形的面积求点的坐标时，通常先根据解析式表示出点的坐标然后根据三角形的面积公式求解，若不明确交点的具体位置，在表示线段的长度时需要用绝对值表示，否则会漏解.

21.【解】此车没有超速.理由如下：

如图，过点C作CH⊥MN，交MN于点H.

∵∠CBN＝60°，∴∠BCH＝30°.

∴BH＝ BC＝ ×200＝100（m）.

在Rt△BCH中，由勾股定理得CH＝ ＝ ＝100 （m）.

∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100 m.

∴AB＝100 －100≈73（m）.

故此车的速度约为 m/s.

∵60 km/h＝ m/s， ＜ ，∴此车没有超速.

22.【解】（1）合格

（2）培训前的平均分为（25×2＋5×6＋2×8）÷32＝3（分）；

培训后的平均分为（8×2＋16×6＋8×8）÷32＝5.5（分）.

5.5－3＝2.5（分），

∴培训后比培训前的平均分提高了2.5分.

（3）样本中培训后检测等级为“良好”的比例为 ＝ ＝0.50；样本中培训后检测等级为“优秀”的比例为 ＝ ＝0.25.

∴估计培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是320×（0.50＋0.25）＝240.

23.（1）t；（5－2t）或（2t－5）

（2）【证明】∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝90°.

∴AC＝ ＝ ＝5（cm），∠GAF＝∠HCE.　

∵G，H分别是AB，DC的中点，

∴AG＝ AB，CH＝ CD.∴AG＝CH.

易知AE＝CF，∴AF＝CE.

∴△AFG≌△CEH（SAS）.∴GF＝HE.

同理，GE＝HF.

∴四边形EGFH是平行四边形.

（3）【解】如图，连接GH，由（2）可知四边形EGFH是平行四边形.

∵点G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，

∴GH＝BC＝4 cm.

∴当EF＝GH＝4 cm时，四边形EGFH是矩形.分两种情况：

①AE＝CF＝t cm，EF＝（5－2t）cm，此时5－2t＝4，

解得t＝0.5.

②AE＝CF＝t cm，EF＝（2t－5）cm，此时2t－5＝4，

解得t＝4.5.

∴当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形.

24.【解】（1）设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元.

依题意得 解得

答：A型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元.

（2）设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车（30－m）辆.

依题意得36m＋40（30－m）≤1 128，解得m≥18.

又∵m≤20，∴18≤m≤20.

设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，

依题意得w＝36m＋40（30－m）＝－4m＋1 200.

∵－4＜0，∴w随m的增大而减小.

∴当m＝20时，w取得最小值，此时30－m＝30－20＝10.

∴最省钱的购买方案为购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆.