期末综合素质评价
一、选择题(每题3分，共24分)
1．【2023·徐州三模】下列语句所描述的事件是随机事件的是( )
A．两点确定一条直线
B．清明时节雨纷纷
C．没有水分，种子发芽
D．太阳从东方升起
2．【2023·本溪】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3．若式子＋有意义，则x满足的条件是( )
A．x≠3且x≠－3 B．x≠3且x≠4
C．x≠4且x≠－5 D．x≠－3且x≠－5
4．【2023·北京二十四中期中】下列计算正确的是( )
A．＝－3 B．×＝ C．()2＝4 D．÷＝2
5
．【2023·杭州】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝( )
A． B．
C． D．
6．(教材P132练习T2)点(－5，y1)，(－3，y2)，(3，y3)都在反比例函数y＝(k＞0)的图像上，则( )
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
7．代数式÷的值为F，则F为整数值的个数有( )
A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个
8．如图，点E是正方形ABCD内的一个动点，且AD＝EB＝8，BF＝2，则DE＋CF的最小值为( )
A
．10
B．3
C．7
D．
二、填空题(每题3分，共30分)
9．【2023·泰州高港区二模】函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
10．计算：(＋1)(－1)＝________．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是________．
12.某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1 000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x(cm)的统计图，则此时该基地高度不低于300 cm的“无絮杨”品种苗约有________棵．
13．【2023·北京二模】反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图像如图所示，已知点A的坐标为(3，1)，写出一个满足条件的k的值为________．
14. 若关于x的分式方程＝1的解为负数，则m的取值范围为 ________．
15．【2023·成都二模】当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学实验活动．如图，在边长为3 cm的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为________．
16．【2023·滨州】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为________．
17．【2023·深圳】如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝(k≠0)的图像恰好经过点C，则k＝________．
18．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F.下列四个判断：①OE平分∠BOD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．其中，判断正确的是________(填序号)．
三、解答题(19～26题每题6分，27～28题每题9分，共66分)
19．计算：
(1)x÷× ； (2)(－2)2＋.
20．解方程：
(1)－＝1; (2)－1＝.
21．【2023·福建】先化简，再求值：÷，其中x＝－1.
22．【2023·泰州二模】今年五一文旅消费强势爆发，旅游数据创新高，国家文旅部公布的5年来全国“五一”假期旅游数据见下表：
年份 |
接待游客(亿人次) |
同比增长率 |
旅游收入(亿元) |
同比增长率 |
2019 |
1.95 |
13.70% |
1 200.0 |
16.10% |
2020 |
1.15 |
－41.03% |
480.0 |
－60.00% |
2021 |
a |
100.00% |
1 152.0 |
140.00% |
2022 |
1.6 |
－30.43% |
660.0 |
－42.71% |
2023 |
2.74 |
71.25% |
b |
125.00% |
知识链接：同比增长率＝(当年发展水平－上一年同期水平)÷上一年同期水
平×100%，如2023年的接待游客同比增长率＝(2.74－1.6)÷1.6×100%＝71.25%，2020年的旅游收入同比增长率＝(480－1 200)÷1 200×100%＝－60.00%.
(1)求表中的数据a；
(2)请补全如下的接待游客人数与年份的折线统计图；
(3)小明说“在接待游客人数和旅游收入两个方面2023年全国‘五一’假期已全面超越2019年全国‘五一’假期”，你同意他的说法吗？请说明你的理由．
23．【2023·徐州】随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为12 km，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少10 min，求甲路线的行驶时间．
24．【2023·永州】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.
(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
(2)求证：四边形ABCD是菱形．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点．
(1)求y1，y2对应的函数表达式；
(2)过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；
(3)根据函数图像，直接写出关于x的不等式k1x＋b＜的解集．
26．如图，已知在△ABC中，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求四边形ABCF的周长．
27．【2023·北京燕山二模】△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为边AB的中点，点E在线段CD上，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接CF.
(1)如图①，当点E与点D重合时，求证：CF＝AE；
(2)当点E在线段CD上(与点C，D不重合)时，依题意补全图②；用等式表示线段CF，ED，AD之间的数量关系，并证明．
28．【2023·南京竹山中学月考】[概念认识]有一组对角都是直角的四边形叫做“对直角四边形”．
[数学理解]
(1)下列有关“对直角四边形”的说法正确的是________(填写序号)；
①对直角四边形是轴对称图形；②对直角四边形的对角互补；③对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角；④对直角四边形的对角线互相垂直．
(2)如图①，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝20，BC＝24，CD＝7，AD＝15.
求证：四边形ABCD是对直角四边形；
[问题解决]
(3)如图②，在对直角四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，若CA平分∠BCD．求证AB＝AD．
答案
一、1．B 2．A 3．B 4．B
5．D 【点拨】∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴∠ABC＝90°，AO＝BO.
∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形．
∴∠BAO＝60°.∴∠ACB＝30°.∴AC＝2AB.
∴BC＝AB.∴＝.
6．B
7．B 【点拨】÷＝·(x＋6)＝＝＝1＋.
∵代数式÷的值为F，且F为整数，
∴为整数，且x≠2.
∴x－2的值为1，8，4，－1，－8，－2，－4，共7个，
∴F为整数值的个数有7个．
8．A 【点拨】如图，取BG＝BF＝2，连接EG，CE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝8，
∴CG＝BC－BG＝6.
∵EB＝8，BF＝2，
∴EF＝6.
在△BGE和△BFC中，
∴△BGE≌△BFC(SAS)．
∴∠BEG＝∠BCF，∠BGE＝∠BFC.∴∠EGC＝∠CFE.
∵BE＝BC＝8，∴∠BEC＝∠BCE，即∠FEC＝∠GCE.
∴∠FCE＝∠GEC.
又∵CG＝EF＝6，∠EGC＝∠CFE，∴△GEC≌△FCE.
∴EG＝CF.∴DE＋CF＝DE＋EG.
∴当E，G，D三点共线时，DE＋CF＝DE＋EG取得最小值，最小值为DG的长．
在Rt△CDG中，DG＝＝10，即DE＋CF的最小值为10.
二、9．x＞－3 10．4 11．(3，0) 12．280
13．1(答案不唯一) 14．m＞1且m≠3
15．2.7 cm2 【点拨】∵经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，∴估计点落在区域内白色部分的概率为1－0.7＝0.3.∴估计区域内白色部分的总面积约为3×3×0.3＝2.7(cm2)．
16． 【点拨】如图，过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，
∴
∠ANO＝∠ANB＝∠BMA＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD.∴OB＝OA.
∵S△AOB＝OB·AN＝OA·BM，∴AN＝BM.
∵AE＝BF，∴Rt△ANE≌Rt△BMF(HL)．∴FM＝EN.
∵AN＝BM，AB＝BA，∴Rt△ABN≌Rt△BAM(HL)．∴BN＝AM.
设FM＝EN＝x.
∵AF＝1，BE＝3，∴BN＝3－x，AM＝1＋x.
∴3－x＝1＋x.∴x＝1.∴FM＝1，AM＝2.
∵AB＝5，∴BM＝＝.
∴BF＝＝＝.
17．4 【点拨】如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.
∵BA⊥OA，CB⊥OB，∴∠OAB＝∠OBC＝90°.
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝，
∴OB＝2AB＝2，BC＝OC，∠COE＝90°－30°－30°＝30°.
在Rt△OBC中，OB2＋BC2＝OC2，∴12＋OC2＝OC2.
∴OC＝4(负值已舍去)．∴CE＝OC＝2，∴OE＝＝2.
∴点C(2，2)，∴k＝2×2＝4.
18．①③④ 【点拨】①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED.
又∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正确．
②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，
∴∠ABD＝×(180°－45°)＝67.5°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°.
∴∠ABD＋∠ADB＝90°.
∴∠ADB＝90°－67.5°＝22.5°，故②错误．
③易知OE⊥BD，∴∠OEB＝90°.
∴∠BOE＋∠OBE＝90°.
∵∠BDA＋∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA.
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°＝∠BOD.
∴AO＝AD.∴△AOF≌△ADB(ASA)．
∴AF＝AB.
连接BF，∵∠BAD＝90°，∴BF＝AF.
∵BE＝DE，OE⊥BD.∴DF＝BF.
∴DF＝AF，故③正确．
④根据题意作出图形，如图所示．
∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG.∴∠AOG＝∠OAG.
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°.∴∠FAG＝67.5°.
∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED.
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°.
∴∠EAG＝∠EAD＋∠FAG＝90°.
∵∠AGE＝∠AOG＋∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°＝∠AGE.∴AE＝AG.
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确．
综上，判断正确的是①③④.
三、19．【解】(1)原式＝ ＝
－x ＝－x·x2y2＝－x3y2；
(2)原式＝3－4 ＋4＋2 ＝7－2 .
20．【解】(1)方程两边同乘x－1，得3x＋2＝x－1.
解这个方程，得x＝－.
检验：当x＝－时，x－1≠0，
∴x＝－是原方程的解．
(2)方程两边同乘(x－2)2，得x(x－2)－(x－2)2＝4.
解这个方程，得x＝4.
检验：当x＝4时，(x－2)2≠0，
∴x＝4是原方程的解．
21．【解】原式＝·＝－·＝－，
当x＝－1时，原式＝－＝－.
22．【解】(1)a＝1.15×(1＋100%)＝2.3.
(2)补全折线统计图如图：
(3)同意．理由如下：
由题意知b＝660.0×(1＋125%)＝1 485，
∵2.74＞1.95，1 485＞1 200，
∴2023年全国“五一”假期已全面超越2019年全国“五一”假期．
23．【解】设甲路线的行驶时间为x min，则乙路线的行驶时间为(x＋10)min，
由题意得＝×，解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：甲路线的行驶时间为20 min.
24．(1)【解】△AOB是直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4.
∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.
(2)【证明】由(1)可知，∠AOB＝90°.∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
25．【解】(1)∵直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点，
∴3＝，解得k2＝－6.
∴双曲线y2的表达式为y2＝－.
把B(m，－2)代入y2＝－，得－2＝，解得m＝3，
∴B(3，－2)．
把点A(－2，3)和B(3，－2)的坐标代入y1＝k1x＋b，得解得
∴直线y1的表达式为y1＝－x＋1.
(2)过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D.
∵BP∥x轴，∴AD⊥x轴，BP⊥y轴．∵A(－2，3)，B(3，－2)，
∴BP＝3，AD＝3－(－2)＝5.
∴S△ABP＝BP·AD＝×3×5＝.
(3)－2＜x＜0或x＞3.
26．(1)【证明】∵在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC.
∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED.
∴△AFD≌△CED(AAS)．∴AF＝EC.
又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵DE⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
(2)【解】如图，过点A作AG⊥BC于点G.
由(1)知四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝AF＝CF＝2.∵∠FAC＝30°，
∴∠FAE＝2∠FAC＝60°.
∵AF∥BC，∴∠AEB＝∠FAE＝60°.
∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGE＝90°.
∴∠GAE＝30°.∴GE＝AE＝1，∴AG＝.
∵∠B＝45°，∴∠BAG＝90°－45°＝45°＝∠B.
∴BG＝AG＝.∴BC＝BG＋GE＋CE＝＋1＋2＝＋3，AB＝.
∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF＋AF＝＋＋3＋2＋2＝＋
＋7.
27．(1)【证明】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为边AB的中点，
∴CD⊥AD，AD＝CD.
∵将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AF＝AE，∠FAE＝90°.
∵点E与点D重合，∴AF⊥AD，AF＝AD.
∴AF∥CD，且AF＝CD.
∴四边形AFCD为平行四边形．
∴CF＝AD，即CF＝AE.
(2)【解】依题意补全图形，如图所示．
线段CF，ED，AD之间的数量关系为CF＝ED＋AD.
证明：如图，过点F作FG⊥AB，交DA的延长线于点G，则∠FGA＝90°.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为边AB的中点，
∴CD⊥AB，AD＝CD.
∴∠FGA＝∠ADE＝90°.∴FG∥CD.
∵将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AF＝AE，∠FAE＝90°.
∴∠FAG＋∠EAD＝90°.∵∠FAG＋∠GFA＝90°，
∴∠GFA＝∠EAD.∴△FAG≌△AED(AAS)．
∴AG＝ED，FG＝AD＝CD.
易证四边形FGDC为矩形，
∴CF＝DG＝AG＋AD＝ED＋AD.
28．(1)②③
(2)【证明】如图①，连接BD.
∵∠A＝90°，AB＝20，AD＝15，
∴BD＝＝＝25.
在△BCD中，CD＝7，BC＝24，
∵CD2＋BC2＝72＋242＝252＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，且∠C＝90°.
∴四边形ABCD是对直角四边形．
(3)【证明】如图②，过点A作AE⊥CD，AF⊥BC，分别交CD的延长线，BC于点E，F，
∴∠1＝∠2＝∠3＝90°.
又∵CA平分∠BCD，∴AE＝AF.
在四边形AFCE中，∠1＝∠3＝∠BCD＝90°，∴∠EAF＝90°.
又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF－∠DAF＝∠BAD－∠DAF.
∴∠DAE＝∠BAF.∴△DAE≌△BAF (ASA)．
∴AD＝AB.