期末综合素质评价(二)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1. [2023·绍兴嵊州市期末]要使二次根式有意义，则x不可能是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. [2023·永州]企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是( )
3. [2023·北京房山区期末]用配方法解方程x2＋4x－1＝0，配方后得到的方程是( )
A. (x＋2)2＝5 B. (x－2)2＝5
C. (x＋4)2＝3 D. (x－4)2＝3
4. 如果反比例函数y＝的图象经过点(1，n2＋1)，那么这个函数的图象位于( )
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一、二象限 D. 第三、四象限
5. [2023·温州鹿城区期中]一组数据：2，2，2，3，4，8，12，若加入一个整数n，一定不会发生变化的统计量是( )
A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差
6. [2023·丽水]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列结论不一定成立的是( )
A.
AB∥DC B. AD＝BC
C. ∠ABC＝∠ADC
D. ∠DBC＝∠BAC
7. [2023·杭州西湖区期末]随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前价格的. 这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为( )
A. 25% B. 37. 5% C. 50% D. 75%
8. [2023·杭州期中]设实数的整数部分为m，小数部分为n，则(2m＋n)(2m－n)的值是( )
A. 2 B. －2 C. 2－2 D. 2－2
9. [2023·湖州模拟]如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y＝(x<0)的图象上，菱形OABC的面积为12，则k的值为 ( )
A. －6 B. 6 C. －3 D. 3
10. 如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF⊥EF，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝2，EF＝4，则BD的长为( )
A. B. 5 C. D. 6
(第9题) (第10题) (第16题)
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11.计算：×＝________.
12. [2023·温州乐清市期末]老师对甲、乙两名同学近六次数学测试成绩进行统计分析，已知甲的方差是2. 2，甲的成绩比乙的成绩更稳定，则乙的方差可能是________.
13.一个多边形所有内角都是135°，则这个多边形的边数为______.
14. [2023·杭州拱墅区月考]如果x＝1是关于x的一元二次方程(k2－5k＋6)x2＋(2k＋1)x－5＝0的一个根，那么k的值为________.
15.已知反比例函数y1＝，y2＝－(k>0)，当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a－4，则k＝________.
16.[2022·山西]如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连结EF交边AD于点G. 过点A作AN⊥EF，垂足为M，交边CD于点N. 若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为________.
三、解答题(本题有8小题，共66分)
17. (6分)计算：
(1)×÷； (2) .
18. (6分)已知反比例函数y＝的图象经过点A(－2，－3).
(1)求这个函数的表达式；
(2)请判断点B(1，6)，点C(－3，2)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.
19. (6分) [2023·温州模拟]如图，在▱ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE＝CF，DE＝AF. 求证：▱ABCD是矩形.
20. (8分)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)k取最大整数值时，解方程x2－4x＋k＝0.
21. (8分) [2023·宁波第七中学期中]如图，在8×8的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C在格点上，每一个小正方形的边长为1.
(1)在图中作△ABC关于点C成中心对称的三角形；
(2)在图中以AB为边作一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积是△ABC的4倍.
22. (10分)某校为培养学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣，开展了学生数学说题比赛，分别从八年级和九年级学生中各选出10名选手参赛，成绩(单位：分)如下：
八年级：85 85 90 75 90 95 80 85 70 95
九年级：80 95 80 90 85 75 95 80 90 80
数据整理分析如下：
|
平均数/分 |
中位数/分 |
众数/分 |
方差 |
|
||||
八年级 |
85 |
a |
85 |
60 |
|||||
九年级 |
85 |
82. 5 |
b |
45 |
|||||
根据以上统计信息，回答下列问题：
(1)表中a＝________，b＝________；
(2)九年级的小红参加了本次说题比赛，已知她的成绩是中等偏上，则小红的成绩最低可能为________分；
(3)根据以上数据，你认为在此次说题比赛中，哪个年级的成绩更好？请选择适当的统计量说明理由.
23. (10分) [2023·温州一模]某科研单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的矩形ABCD空地建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道(小道的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)，剩余的地方种植花草.
(1)如图①，要使种植花草的面积为532 m2，求小道的宽度；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图②，△AEQ，△BGF，△CMH，△DPN均为全等的直角三角形，其中AE＝BF＝CM＝DN，设EF＝HG＝MN＝PQ＝a m，纵向道路和横向弯折道路的宽度都为2 m，且纵向道路出口位于MN和EF之间，横向弯折道路出口位于PQ和HG之间.
①求剩余的种植花草区域的面积(用含有a的代数式表示)；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/m2，建造花草区域的总成本为42 000元，求a的值.
24. (12分)已知DE是△ABC的中位线，点M为射线ED上的一个动点(不与点E重合)，作MF∥AC交AB边于点F，连结EF.
(1)如图①，当点M与点D重合时，求证：四边形CEFM是平行四边形；
(2)如图②，∠B＝45°，BC＝4，点M在线段ED上运动，当四边形CEFM是菱形时，BF＝2AF，求菱形CEFM的面积；
(3)如图③，∠B＝45°，在ED的延长线上(可以与点D重合)存在一点M，使得四边形CEFM为矩形，求∠ACB的度数范围.
答案
一、1. A 2. C 3. A 4. A 5. A 6. D
7. C 【点拨】设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降x，根据题意得(1－x)2＝，解得x1＝0. 5＝50%，x2＝1. 5(不合题意，舍去)，即这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降50%.
8. A 【点拨】∵1＜＜2，
∴的整数部分为m＝1，小数部分为n＝－1，
∴(2m＋n)(2m－n)＝4m2－n2＝4×12－(－1)2＝4－(3－2＋1)＝2.
9. A 【点拨】过点C作CD⊥BO于点D，在菱形OABC中，OC＝BC，∴OD＝BD.
∵菱形OABC的面积为12，∴△OCB的面积为6，
∴△OCD的面积为3，
∴＝3，∴＝6. 易得k＜0，∴k＝－6.
1
0.
B 【点拨】如图，连结AC，过点A作AG⊥CF，交CF的延长线于点G，则∠G＝90°.
∵AE⊥EF ，CF⊥EF，
∴∠AEF＝∠EFG＝
90°＝∠G，
∴四边形AEFG是矩形，
∴FG＝AE＝1，AG＝EF＝4，∴CG＝CF＋FG＝2＋1＝3. 在Rt△ACG中，由勾股定理，得AC＝＝5. ∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC＝5.
二、11. 2 12. 3(答案不唯一) 13. 8 14. 1
15. 2 【点拨】∵反比例函数y1＝(k>0)，
∴在每个象限内，y1随x的增大而减小.
∵当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，
∴当x＝1时，y1＝k＝a.
∵反比例函数y2＝(k>0)，∴在每个象限内，y2随x的增大而增大.
∵当1≤x≤3时，函数y2的最小值为a－4，
∴当x＝1时，y2＝－k＝a－4，∴k＝4－a，
∴a＝4－a，解得a＝2. ∴k＝2.
16. 4 【点拨】如图，连结AE，AF，EN.
∵
四边形ABCD是正方形，∴
AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADF＝90°＝∠B.
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形.
又∵AM⊥EF，∴AN垂直平分EF，∴EN＝FN＝DN＋DF＝CD－CN＋DF. 设AB＝BC＝CD＝AD＝a，
则EN＝a－8＋5＝a－3，EC＝BC－BE＝a－5，
在Rt△ECN中，∵EN2＝EC2＋CN2，∴(a－3)2＝(a－5)2＋82，解得a＝20，∴AD＝20，DN＝CD－CN＝20－8＝12，在Rt△ADN中，∵AN2＝AD2＋DN2，∴AN＝＝＝4 .
三、17. 【解】(1)原式＝＝＝4.
(2)原式＝＝＝＝.
18. 【解】(1)把点A(－2，－3)的坐标代入y＝，
得k＝－2×(－3)＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)点B在这个反比例函数的图象上，点C不在这个反比例函数的图象上.
理由：∵1×6＝6，－3×2＝－6，∴点B在反比例函数图象上，点C不在反比例函数图象上.
19. 【证明】∵BE＝CF，∴BE＋BC＝CF＋BC，即BF＝CE. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABF＋∠DCE ＝180°.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(SSS)，∴∠ABF＝∠DCE ＝90°，
∴▱ABCD是矩形.
20. 【解】(1)∵一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根，
∴(－4)2－4k＝16－4k＞0, ∴k＜4.
(2)∵k取符合条件的最大整数，
∴k＝3，∴原方程为x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.
21. 【解】(1)如图，△DEC即为所作.
(2)如图，▱ABDE即为所作.
22. 【解】(1)85；80 (2)85
(3)八年级成绩更好，因为八、九年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数、众数都比九年级要高，所以八年级的成绩更好. (答案不唯一)
23. 【解】(1)设小道的宽度为x m，
依题意得(30－2x)(20－x)＝532. 解得x1＝1, x2＝34.
∵34＞20，∴x＝1.
答：小道的宽度为1 m.
(2)①剩余的种植花草区域的面积为(30－4)(20－2)－4××(30－a)×(20－a)＝－a2＋25a＋168(m2).
②由题意得100×(－a2＋25a＋168)＝42 000，
则a2－50a＋504＝0，
解得a1＝14, a2＝36(舍去). 故a＝14.
24. (1)【证明】∵DE是△ABC的中位线，点M与点D重合，∴点M为BC的中点，点E为AC的中点.
又∵MF∥AC，∴MF是△ABC的中位线，
∴FM＝AC＝EC，
∴四边形CEFM是平行四边形.
(2)【解】连结CF，交DE于点G.
∵四边形CEFM是菱形，∴CF⊥DE.
易得DE∥AB，∴∠BFC＝∠DGC＝90°.
∵DE∥AB，MF∥AC，
∴四边形FMEA是平行四边形，∴ME＝AF.
在Rt△BFC中，∠B＝45°，BC＝4，
∴BF＝CF＝2.
∵BF＝2AF，∴ME＝AF＝，
∴菱形CEFM的面积＝CF·ME＝×2 ×＝2.
(3)【解】如图①，∵点M在ED的延长线上(可以与点D重合)，四边形CEFM为矩形，
∴∠ACB≤∠MCE＝90°.
随着∠ACB的减小，点F逐渐向点B接近，当点F与点B重合时，∠ACB的度数最小.
如图②，当点F与点B重合时，四边形CEFM是矩形，∴BC＝ME. 易得四边形MFAE是平行四边形，
∴ME＝AF，∴BC＝AF＝AB.
∵∠B＝45°，
∴∠ACB＝∠BAC＝×(180°－45°)＝67. 5°，
∴67. 5°≤∠ACB≤90°.