【324334】2024八年级数学下学期期末真题检测02卷（含解析）（新版）浙教版

期末真题检测02卷

班级___________姓名___________学号____________分数____________

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：150分

一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（湖北武汉·八年级期中）若代数式 有意义，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解即可．

【详解】

解： 二次根式 有意义，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键．

2．（重庆市渝北区五校2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题）下列计算正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式加法判定A；根据二次根式乘法法则计算并判定B；根据二次根式减法法则计算并判定C；根据二次根式除法法则计算并判定D．

【详解】

解：A、 ，不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；

B、 ，故此选项不符合题意；

C、 ，故此选项符合题意；

D、 ，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查二次根式加减乘除法运算，熟练掌握二次根式加减乘除法运算法则是解题的关键．

3．（山东临沂·二模）下列冬奥运会图形中，是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．（浙江温州·八年级期中）若关于x的方程 有一个根为 ，则 的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

把 代入方程得 ，然后解关于 的一次方程即可；

【详解】

解：把 代入方程得 ，

解得 ，

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值．

5．（贵州铜仁·八年级期中）一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数不可能是（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和求出减去一个角后的多边形的边数即可判断．

【详解】

解：由题意得，

，解得 ，

由于减去一个角后边数为6，则这个多边形不可能为四边形，

故选A．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的边数与内家和的关系是解题的关键．

6．（浙江杭州·八年级期中）已知数据x₁，x₂，…xn的平均数是2，则3x₁－2，3x₂－2，…，3xn－2的平均数为（       ）

A．2 B．0 C．6 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据数据：x₁，x₂，…，xn的平均数是2，得出数据3x₁，3x₂，…3xn的平均数是3×2＝6，再根据每个数据都减2，即可得出数据：3x₁-2，3x₂-2，…3xn-2的平均数．

【详解】

解：∵数据x₁，x₂，…，xn的平均数是2，

∴数据3x₁，3x₂，…3xn的平均数是3×2＝6，

∴数据3x₁-2，3x₂-2，…，3xn-2的平均数是6-2＝4．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是算术平均数的求法，一般地设有n个数据， ，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．

7．（贵州遵义·二模）已知x₁，x₂是一元二次方程x²+3x−1=0的两个实数根，则x₂²+2x₂−x₁的值为（       ）

A．4 B．1 C．－2 D．－1

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到x₂²=-3x₂+1，则原式可表示为-（x₁+x₂）+1，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-3，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：∵x₂是一元二次方程x²+3x−1=0的根，

∴x₂²+3x₂-1=0，

∴x₂²=-3x₂+1，

∴x₂²+2x₂−x₁=-3x₂+1+2x₂−x₁=-（x₁+x₂）+1，

∵x₁，x₂是一元二次方程x²+3x−1=0的两个实数根，

∴x₁+x₂=-3，

∴原式=-（-3）+1=4．

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则x₁+x₂=- ，x₁x₂= ．

8．（河北·八年级期中）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ．若 ， ，则 （       ）

A． B．13 C．5 D．6.5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据勾股定理求得对角线 的长，根据矩形的性质求得 的长，根据三角形中位线定理即可求得 的长．

【详解】

四边形 是矩形，

, , ，

，

，

，

点 ， 分别是 ， 的中点，

∴ 是三角形AOD的中位线，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形中位线定理，掌握以上知识是解题的关键．

9．（山东济南·三模）函数 与 在同一坐标系内的图象可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分别讨论 和 时，一次函数和反比例函数的性质及图像特征，即可得到答案．

【详解】

解：若 ，则 ，一次函数单调递减且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递减，过二、三、四象限；反比例函数图像在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求．

若 ，则 ，一次函数单调递增且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递增，过一、三、四象限；反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求．

故选：C．

【点睛】

本题考查一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质；熟练掌握相关知识是解题的关键．

10．（江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如图，点 、 、 、 分别是四边形 边 、 、 、 的中点．则下列说法：

①若 ，则四边形 为矩形；

②若 ，则四边形 为菱形；

③若四边形 是平行四边形，则 与 互相平分；

④若四边形 是正方形，则 与 互相垂直且相等．

其中正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形，矩形的判定，平行四边形和正方形的性质进行逐一判断即可．

【详解】

解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，

∴EH是△ABD的中位线，

∴ ， ，

同理 ，

∴EH=GF，GH=EF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

①若AC⊥BD，则EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形，故①正确；

②若AC=BD，则EH=GF=GH=EF，则四边形EFGH是菱形，故②正确；

③若四边形EFGH是平行四边形，并不能推出AC与BD互相平分，故③错误，；

④若四边形EFGH是正方形，则EF⊥EH，AC⊥BD，故④正确；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，熟知中点四边形的知识是解题的关键．

二、填空题（本大题有6个小题，每小题5分，共30分）

11．（江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）若关于 的方程 是一元二次方程，则 ________．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．

【详解】

解：∵关于x的方程 是一元二次方程，

∴k−1≠0且|k|＋1＝2，

解得：k＝−1，

故答案为：−1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．

12．（河北·二模）用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有两个角小于90°”时，应先假设__________．

【答案】三角形三个内角中最多有一个角小于90°

【解析】

【分析】

由反证法的基本步骤知应先提出与结论相反的假设．

【详解】

解：用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有两个角小于90°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角中最多有一个角小于90°．

故答案为：三角形三个内角中最多有一个角小于90°．

【点睛】

本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．

13．（山东潍坊·三模）若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则化简 ________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据一次函数的位置确定a和b的值，然后化简二次根式求值．

【详解】

解：∵若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

∴a＜0，b＞0，

∴b-a＞0，

∴ ，

故答案为-b．

【点睛】

本题主要考查一次函数和图象和性质，熟记一次函数的图象和性质是解题的关键．

14．（甘肃武威·八年级期中）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

由三角形中位线定理可得DE的长，再由直角三角形斜边上中线的性质可得DF的长，则可得EF的长．

【详解】

解：∵DE为△ABC的中位线，

∴DE＝ BC＝5，

∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，

∴DF＝ AB＝3，

∴EF＝DE﹣DF＝2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理与直角三角形斜边上中线的性质，掌握这两个知识点是本题的关键所在．

15．（陕西铜川·一模）已知点 是反比例函数 图象上的点，若 ，则 的大小关系是 _______ ．（填“>”“=”或“<”）

【答案】＜

【解析】

【分析】

根据反比例函数的增减性直接可得答案．

【详解】

解：∵k≤0

∴﹣|k|＜0，

∴反比例函数 的图像位于二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，

∵x₁＜x₂＜0，

∴y₁＜y₂，

故答案为：＜．

【点睛】

此题考查了反比例函数的性质及应用，解题的关键是掌握y＝ （k≠0），当k＞0时，图像位于一、三象限内，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图像位于二、四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大．

16．（江西吉安·九年级期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD边上，若△BCE是等腰三角形，则线段DE的长为______．

【答案】2.5或2或3

【解析】

【分析】

分三种情况：①BE＝EC，此时点E是BC的中垂线与AD的交点；②BE′＝BC，在直角△ABE′中，利用勾股定理求得AE′的长度，然后求得DE′的长度即可；③与第②种情况关于 点对称， ，在 中，利用勾股定理求得 的长度即可．

【详解】

解：分三种情况讨论，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝5，

当BE＝EC时，点E是BC的中垂线与AD的交点，DE＝ AD＝2.5；

②当BC＝BE′＝5时，在Rt△ABE′中，AB＝4，

则AE′＝ ，

∴DE′＝AD−AE′＝5−3＝2；

一③当 时，在 中，CD＝4，

则 ，

∴ ；

综上所述，线段DE的长为2.5或2或3，

故答案是：2.5或2或3．

【点睛】

本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

三、解答题（本大题有8个小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）

17．（浙江温州·八年级期中）（1）计算： ；

（2）解方程： ．

【答案】（1） ；（2） ，

【解析】

【分析】

（1）根据二次根式的化简和乘法运算，然后合并即可；

（2）利用因式分解法解方程．

【详解】

解：（1）原式

；

（2）因式分解得 ，

即 或 ，

∴ ， ．

【点睛】

本题考查了二次根式得混合运算与一元二次方程得解法，熟练掌握相关方法是解题的关键．

18．（内蒙古呼和浩特·二模）如图，在 中， ，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD，交BC的延长线于点F．

(1)求证：四边形DCFE是平行四边形；

(2)若四边形DCFE的周长是18，AC的长为6，求线段AB、BC的长．

【答案】(1)见解析

(2)AB=10，BC=8

【解析】

【分析】

（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF，即可求证；

（2）根据平行四边形的性质，可得DE=CF，CD=EF，从而得到 ，再由三角形中位线定理可得BC=2DE，再由直角三角形的性质可得AB=2CD，从而得到AB+BC=2（DE+CD）=18，再由勾股定理可得 ，即可求解．

(1)

证明∶∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE∥BC，即DE∥CF，

∵EF∥CD，

∴四边形DCFE是平行四边形；

(2)

解：∵四边形DCFE是平行四边形，

∴DE=CF，CD=EF，

∵四边形DCFE的周长是18，

∴ ，

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴BC=2DE，

∵∠ACB=90°，

∴AB=2CD，

∴AB+BC=2（DE+CD）=18，

∵AC=6，

∴ ，即 ，

∴AB-BC=2，

∴AB=BC+2，

∴AB+BC=BC+BC+2=18，

∴BC=8，

∴AB=10．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．

19．（浙江杭州·八年级期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

【答案】(1)20%

(2)50元/个

【解析】

【分析】

（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；

（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．

(1)

设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，依题意得：

，

解得 ， （不合题意，舍去）．

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

(2)

设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：

，

整理得 ，

解得 （不合题意，舍去）， ，

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．

【点睛】

本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．

20．（浙江衢州·二模）学校组织七、八年级全体学生开展了“防诈骗”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分）．收集数据：七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．

整理数据：

分数	80	85	90	95	100
七年级	2	2	3	2	1
八年级	1	2	4	a	1

分析数据：

	平均数	中位数	众数	方差
七年级	89	b	90	39
八年级	c	90	d	30

根据以上信息回答下列问题：

(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；

(2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；

(3)该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？

【答案】(1) ， ， ，

(2)八年级成绩较好，理由见解析

(3)390名

【解析】

【分析】

（1）通过八年级抽取人数10人，即可得到a，根据中位数、平均数、众数的定义得到b、c、d；

（2）由于中位数和众数相同，通过分析平均数和方差即可得到答案；

（3）根据抽取的人中，不低于90分的比例即可得到两个年级共多少名学生达到“优秀”．

(1)

解： ，

七年级成绩按从小到大顺序排列为80，80，85，85，90，90，90，95，95，100，

∴中位数 ，

平均数 ，

八年级成绩90出现次数最多，因此众数 ，

∴ ， ， ， ；

(2)

解：八年级成绩较好．理由如下，

七、八年级成绩的众数和中位数相同，但是八年级的平均成绩比七年级的高，且从方差看，八年级的方差更小，成绩更稳定，

综上，八年级成绩较好．

(3)

解：七年级抽取的10人中，不低于90分的有6人，

八年级抽取的10人中，不低于90分的有7人，

（人）

∴估计两个年级共390名学生达到“优秀”．

【点睛】

本题考查了中位数、众数、方差、平均数，以及样本估计总体，审清题中数据并了解基本的定义是解题的关键．

21．（浙江杭州·八年级期中）已知关于x的一元二次方程：x²﹣（2k＋1）x＋4（k－ ）＝0．

(1)求证：这个方程总有两个实数根；

(2)若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

(3)若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．

【答案】(1)见解析

(2)10

(3)0或3

【解析】

【分析】

（1）先计算△，化简得到Δ=（2k-3）²，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；

（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长；

（3）方程的两个实数根之差等于3，所以 ，解方程即可得k值．

(1)

Δ=（2k+1）²-4×1×4（k- ）

=4k²-12k+9

=（2k-3）²，

∵无论k取何值，（2k-3）²≥0，

故这个方程总有两个实数根；

(2)

由求根公式得 ，

∴x₁=2k-1，x₂=2．

∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，

设b=2k-1，c=2，

当a，b为腰时，则a=b=4，即2k-1=4，计算得出k= ，

此时三角形周长为4+4+2=10；

当b，c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，构不成三角形，

故此种情况不存在．

综上所述，△ABC周长为10．

(3)

∵方程的两个实数根之差等于3，

∴ ，

解得：k=0或3．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，求根公式，根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的知识，有一定综合性，熟悉以上考点是解题关键．

22．（上海同济大学附属存志学校八年级期中）如图1，在平行四边形 中， 的平分线交直线 于点E，交直线 于点F．

(1)当 时，G是 的中点，联结 （如图2），请直接写出 的度数______．

(2)当 时， ，且 ，分别联结 、 （如图3），求 的度数．

【答案】(1)45°

(2)60°

【解析】

【分析】

（1）连接CG，BG，证△DCG≌△BEG（SAS），得到BG=DG，∠CDG=∠EBG，再证△BGD是直角三角形，即得△BGD是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性质求解；

（2）延长AB、FG相交于H，连接DH，先证四边形ADFH是平行四边形，再证平行四边形ADFH是菱形，得∠HDF= ∠ADF=60°，△DGF≌△DBH（SAS），得∠GDF=∠BDH，即可得∠BDG=∠HDF，可求解．

(1)

解：∵平行四边形 ， ，

∴四边形 为矩形，

∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，

∴∠ECF=90°，

连接CG，BG，如图2，

∵G是EF的中点，

∴CG=EG=GF，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=45°，

∴∠BAE=∠BEA=45°，

∴BE=AB，

∴BE=CD，

∴∠FEC=∠BEA=45°，

∴∠BEG=135°，

∴∠EFC=∠FEC=45°，

∴∠GCF=∠EFC=45°，

∴∠DCG=135°，

∴∠DCG=∠BEF，

在△DCG和△BEG中，

，

∴△DCG≌△BEG（SAS），

∴BG=DG，∠CDG=∠EBG，

∵∠CDG+∠GDB+∠CBD=90°，

∴∠EBG+∠GDB+∠CBD=90°，

∴∠BGD=90°，

∴△BGD是等腰直角三角形，

∴∠BDG=45°；

故答案为：45°；

(2)

解：延长AB、FG相交于H，连接DH，如图，

∵FG CE，

∴AD HF，

∵AH DF，

∴四边形ADFH是平行四边形，

∵∠ABC=120°，

∴∠DAB=60°，∠ADC=∠ABC=120°，

∵AF平分∠DAB，

∴∠BAF=∠DAF=30°，

∵AH DF，

∴∠DFA=∠BAF=∠DAF=30°，

∴DA=DF，∠AEB=∠FEC=30°，

∴平行四边形ADFH是菱形，CE=CF，

∴∠HDF= ∠ADF=60°，

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，

∴FG=HB，

在△DGF和△DBH中，

，

∴△DGF≌△DBH（SAS），

∴∠GDF=∠BDH，

∴∠BDG=∠HDF=60°．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键．

23．（广东·执信中学二模）如图，一次函数 的图像与y轴交于点A，与反比例函数 的图像交于点 ．

(1)求b，k的值．

(2)点C是线段AB上一点（不与A，B里合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接OC，OD，若 的面积为8，求点C的坐标．

(3)将（2）中的 沿射线AB平移一定的距离后，得到 ，若点O的对应点 恰好落在该反比例函数的图像上，求此时点D的对应 的坐标．

【答案】(1)b=2，k=-1

(2)C（-2，-2）

(3) 的坐标（-2- ，6+ ）

【解析】

【分析】

(1)把B（-6，0）代入反比例函数解析式 中，确定b值，到B的坐标，再将其代入一次函数解析式即可确定k值．

(1)

把B（-6，b）代入反比例函数解析式 中，

得 ，

∴ B（-6，2），

∴ ，

解得k=-1．

(2)

∵点C在直线y=-x-4上，

∴设点C(m，-m-4),其中m＜0，

∵过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，

∴点D(m， ),其中m＜0，

∴CD= -(-m-4)=

∵ 的面积为8，

∴ ，

整理，得 ，

解得m=-2，

∴点C(-2，-2) ．

(3)

∵ 沿射线AB平移一定的距离后，得到 ，且点O的对应点 ，

∴ ，

∵直线AB的解析式为y=-x-4，

∴ 的解析式为y= -x，

设点 (n，-n) ，其中n＜0，

∵点O的对应点 恰好落在该反比例函数的图像上，

∴ ，

解得n= ，n= （舍去），

故平移规律是向左平移 个单位长度，再向上 个单位长度，

∵点D(-2，6)，

∴ 的坐标（-2- ，6+ ）．

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的综合，平移的规律，熟练掌握待定系数法，平移规律是解题的关键．

24．（上海·八年级专题练习）已知：如图，正方形ABCD的边长为1，动点E、F分别在边AB、对角线BD上（点E与点A、B都不重合）且AE＝ DF．

(1)设DF＝x，CF²＝y，求：y与x的函数关系式，并写出定义域；

(2)求证：FC＝FE；

(3)是否存在以线段AE、DF、CF的长为边的直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)存在，

【解析】

【分析】

（1）根据已知得出FG＝DG＝ x，GC＝1﹣ x，在Rt△FCG中，利用CF²＝CG²+FG²得出即可；

（2）延长GF交AB于H，易证矩形AHGD，再利用SAS证明Rt△FCG≌Rt△EFH即可得出答案；

（3）分别讨论①若CF为斜边以及②若AE为斜边得出答案即可．

(1)

解：过F作FG⊥DC于G，

则∠FGD＝∠FGC＝90°   

∵正方形ABCD中，BD是对角线，

∴∠BDG＝45°，

∵∠FGD＝90°，DF＝x，

∴FG＝DG＝ x，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴GC＝1﹣ x，

在Rt△FCG中，

CF²＝CG²+FG²＝（1﹣ x）²+（ x）²＝x²﹣ x+1，

∴y＝x²﹣ x+1（0＜x＜ ）；

(2)

延长GF交AB于H，

∵∠A＝∠ADG＝∠DGH＝90°，

∴四边形AHGD是矩形，

∴AH＝DG＝ x，

∵AE＝ x，

∴HE＝ x，

∴GF＝HE，

CG＝FH，

∵∠CGF＝∠FHE＝90°，

∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），

∴FC＝FE，

(3)

∵AE＝ DF，

∴DF＜AE，

∴若存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形，则DF不可能为斜边，

①若CF为斜边，则x²+（ x）²＝x²﹣ x+12x²+ x﹣1＝0，

x＝ ，x＝ （负值舍去），

②若AE为斜边，则x²+x²﹣ x+1＝（ x）²，解得：x＝ ，

∵0＜x＜ ，

∴舍去

综上所述当x＝ 时，存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形．

【点睛】

此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定以及勾股定理应用等知识，根据已知得出熟练利用勾股定理得出是解题关键．