期末全真模拟卷（3）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．如果式子
有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故选：A．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下列四个银行标志中，是中心对称图形的标志是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
3．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
4．下列选项中的计算，正确的是（ ）
A．
＝±4 B．3
﹣
＝3 C．
＝﹣5 D．
＝
【分析】根据算术平方根的定义判断A，根据二次根式的加减法法则判断B，根据二次根式的性质判断C，根据二次根式的除法法则判断D．
【解答】解：A选项，
＝4，故该选项计算错误；
B选项，3
﹣
＝2
，故该选项计算错误；
C选项，原式＝|﹣5|＝5，故该选项计算错误；
D选项，原式＝
＝
，故该选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减乘除运算，二次根式的性质与化简，注意算术平方根与平方根的区别．
5．用配方法解x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣4）2＝5 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝1
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0，
移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．对于反比例函数y＝﹣
，当y＞2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．﹣4＜x＜0 D．x＜﹣4或x＞0
【分析】根据k＝﹣8＜0得：反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，当y＞2时，函数的图象在第二象限内，求出临界点即可得出x的取值范围．
【解答】解：∵k＝﹣8＜0，
∴反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵当y＝2时，x＝﹣4，
∴x的取值范围为﹣4＜x＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，在描述反比例函数的性质时，必须强调“在每一象限内”．
8．如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE．测得DE的长为6米，则B，C两地相距（ ）
A．9米 B．10米 C．11米 D．12米
【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC．
【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝
BC，
∴BC＝2DE＝2×6＝12（米），
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．为了美化环境，温州市某乡村加大对绿化的投资.2018年用于绿化投资100万元，2020年用于绿化投资144万元，设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A．100x2＝144 B．100（1+x）＝144
C．100（1+x）2＝144 D．100（1+2x）＝144
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2018年用于绿化投资100万元，2020年用于绿化投资144万元”，可得出方程．
【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得：
100（1+x）2＝144．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，将线段EF向右平移m个单位，使得点E落在CD上，F落在BC上，已知AE+EF+CF＝24，CD＝10，则m的值为（ ）
A．6 B．4
﹣2 C．4
D．2
+2
【分析】过点E作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，利用一线三垂直模型证明△AME≌△ENF，列出关于m的方程，求出m即可．
【解答】解：过点E作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，
∵E在正方形的对角线上，
∴EM＝EE'＝m，
∴AM＝10﹣m，EN＝10﹣m，
∵∠FEN+∠AEM＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，
∴∠AEM＝∠EFN，
在△AME和△ENF中，
，
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴FN＝ME＝m，
∴
，
解得m＝
，
故选：B．
【点评】本题主要考查正方形的性质，关键是要作辅助线构造一线三垂直模型，证明全等的三角形，才能列出关于m的方程，从而求出m的值．
二．填空题（共8小题）
11．某班甲、乙、丙、丁4名同学3次数学考试成绩的平均数都是95分，方差分别是S甲2＝3.6，S乙2＝4.6，S丙2＝6.3，S丁2＝7.3，则这4名同学3次数学考试成绩最稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12．要使二次根式
有意义，则x的取值范围是
x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 y＝﹣2（x+1）2+3 ．
【分析】根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【解答】解：y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+8﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+3．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2+3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
14．已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是
，则该方程的另一个根是
﹣4 ．
【分析】设另一根是x2，直接利用根与系数的关系可得到关于x2的方程，则可求得答案．
【解答】解：设方程的另一根为x2，
∵一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是
，
∴
x2＝
．
解得x2＝﹣4．
故答案是：﹣4．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣
，x1•x2＝
．
15．如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴正轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线，与反比例函数y＝
（x＞0）的图象相交于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，依次连结OB1、B1B2、OB2、B2B3、OB3、…、OBn、BnBn+1、OBn+1，记△OB1B2的面积为S1，△OB2B3的面积为S2，△OBnBn+1面积为Sn，则S1＝ 6 ，Sn＝ 
．
【分析】设OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝m，可知B1（m，
）、B2（2m，
），B3（3m，
），B4（4m，
），、…、Bn+1{（n+1）m，
}，再由三角形的面积和对应的梯形的面积的关系可得出S1、S2、S3、…、Sn的值，故可得出结论．
【解答】解：设OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝m，
∴B1（m，
）、B2（2m，
），B3（3m，
），B4（4m，
），…，Bn+1{（n+1）m，
}，
∵过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线，与反比例函数y＝
（x＞0）的图象相交于点B2、B3、…、Bn、Bn+1，
∴S1＝S△OA1B1﹣S△OA2B2+S梯形A1B1B2A2＝S梯形A1B1B2A2，
S2＝S
，
S3＝
，
…、
Sn＝S
，
∴S1＝
＝6，
S2＝
（
+
）•m＝
，
S3＝
（
+
）•m＝
，
S4＝
（
+
）•m＝
，
…、
Sn＝
+
＝
，
故答案为6，
．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16．如图，点A，D在反比例函数y＝
的图象上，AB，CD都与y轴垂直，分别交y轴于点B，C．已知点A的坐标（1，m），BC＝
，CD＝
，则该反比例函数表达式是
y＝
．
【分析】根据题意求得D的坐标为（
，m﹣
），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝1•m＝
（m﹣
），即可求得k＝4．
【解答】解：∵点A的坐标（1，m），
∴OB＝m，
∵BC＝
，CD＝
，
∴OC＝m﹣
，
∴D（
，m﹣
），
∵点A，D在反比例函数y＝
的图象上，
∴k＝1•m＝
（m﹣
），
解得m＝4，
∴k＝m＝4，
∴y＝
，
故答案为y＝
．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，表示出D的坐标是解题的关键．
17．如图，在▱ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．若∠ACB＝45°，AE＝1，BE＝4，则BF＝ 5 ．
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF＝1，然后利用∠ACB＝45°得到BE＝CE＝4，从而得到EF＝3，然后利用勾股定理求得BF的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF＝1，
∵∠ACB＝45°，BE＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴EF＝EC﹣CF＝4﹣1＝3，
∴BF＝
＝
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
18．如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ①②③ ．
①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2
；④DE⊥AC．
【分析】过点E作EF∥AB，由∠AED＝75°得AB∥CD，再由AB＝CD得四边形ABCD为平行四边形；由这是一副三角板且∠AED＝75°得∠BEC＝∠AEC，再证明△AEC≌△BEC得AC＝BC，再由AE＝BE可知CE垂直平分AB；延长CE交AB于G，AB2＝6结合②的结论求出BG、CG，由勾股定理得BC2＝5+2
；假设DE⊥AC，结合②必有菱形ABCD，即有∠ABE＝
∠ABC＝30°，这与题设矛盾，由此知DE⊥AC错误．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF＝45°，
∵∠AED＝75°，
∴∠FED＝∠AED﹣∠AEF＝30°，
∴∠FED＝∠EDC，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故①正确；
∵∠AED＝75°，∠DEC＝60，
∴∠AEC＝135°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC，
在△AEC与△BEC中，
，
∴△AEC≌△BEC（SAS），
∴AC＝BC，
∵AE＝BE，
∴CE垂直平分AB，故②正确；
延长CE交AB于G，由②知：CG⊥AB，
∵AE＝BE，EG⊥AB，
∴AG＝BG＝GE，
∵AB2＝6，
∴AB＝
，AG＝BG＝GE＝
，
∵AB＝CD，
∴CD＝
，
∵∠EDC＝30°，
∴CE＝
ED，
∵EC²+CD²＝ED²，
∴CE＝
，
∵BG²+CG²＝BC²，
∴BC2＝5+2
，故③正确；
假设DE⊥AC，
∵∠DEC＝60°，
∴∠ACE＝30°，
由②知：∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴平行四边形ABCD为菱形，
如图，连接BD，必然有BD⊥AC，
∴E必然在BD上，
∴∠ABE＝
∠ABC＝30°，
这与∠ABE＝45°矛盾，不合题意，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题是三角形旋转变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、菱形的判定，过点E作EF∥AB证明AB∥CD、证明△AEC≌△BEC、延长CE交AB于G在△CBG中使用勾股定理是本题全程关键．
三．解答题（共8小题）
19．化简：
（1）
×
；
（2）（3﹣
）（
+1）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合二次根式的除法运算法则分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2
×3
＝6×2
＝12；
（2）原式＝3
﹣3﹣
+3
＝2
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x2﹣7x+1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，
∴x＝
＝
，
解得：x1＝
，x2＝
．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
21．某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100盏，每盏台灯的利润为12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出20盏．若要实现每天销售获利1400元，则每盏台灯降价多少元？
【分析】设每盏台灯降价x元，则每盏台灯的利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）盏，利用每天的销售利润＝每盏台灯的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设每盏台灯降价x元，则每盏台灯的利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）盏，
依题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1400，
整理得：x2﹣7x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
答：每盏台灯降价2或5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．某校组织“党史知识”学习比赛活动，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．学校将八年级一班和二班的学习比赛活动的成绩整理并绘制成如下的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）二班比赛成绩D级人数是 5 人．
（2）将下面表格补充完整：
-
班级 成绩
平均数
中位数
众数
一班
88.75
90
100
二班
89
90
100
【分析】（1）根据一班的成绩统计可知一共有40人，因为每班参加比赛的人数相同，用总人数乘以二班比赛成绩D级人数的百分比即可得出答案，
（2）根据平均数、中位数的概念，结合一共有40人，即可得出答案．
【解答】解：（1）一班人数有：15+10+10+5＝40（人），
∵每班参加比赛的人数相同，
∴二班有40人，
∴二班比赛成绩D级人数是40×（1﹣40%﹣25%﹣22.5%）＝5（人），
故答案为：5；
（2）∵一班有40人，
∴将一班的成绩从小到大排列，第20、第21个数都是90分，
∴一班中位数为
＝90（分），
∴由扇形统计图可知：
二班A级学生＝40×40%＝16（人），
B级学生＝40×22.5%＝9（人），
C级学生＝40×25%＝10（人），
二班平均数＝
＝89（分）．
将表格补充完整：
-
班级 成绩
平均数
中位数
众数
一班
88.75
90
100
二班
89
90
100
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、中位数与平均数．
23．已知点A在反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象上，Rt△OAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角边AC⊥x轴，交x轴于点C，把Rt△OAC绕AC中点M逆时针旋转180°，得到△BCA，四边形OABC的面积为4
，边BC与反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）图象交于点E．
（1）求该反比例函数的表达式．
（2）当∠AOC＝60°时，求点E的坐标．
（3）若直线y＝mx+2与y＝
（k＞0，x＞0）有2个交点，求m的取值范围．
【分析】（1）根据旋转变换的性质求出△AOC的面积为2
，根据反比例函数系数k的几何意义计算即可；
（2）根据正切的定义得到AC＝
OC，根据三角形的面积公式求出OC、AC，得到点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，2
），利用待定系数法求出直线BC的解析式，解方程组求出点E的坐标；
（3）根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：（1）∵把Rt△OAC绕AC中点M逆时针旋转180°，得到△BCA，
∴△OAC≌△BCA，
∵四边形OABC的面积为4
，
∴△AOC的面积为2
，
设点A的坐标为（a，b），
则
ab＝2
，
∴k＝ab＝4
，
∴反比例函数的表达式为：y＝
；
（2）在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，tan∠AOC＝
，
则
＝
，即AC＝
OC，
∵△AOC的面积为2
，
∴
×OC×AC＝2
，即
×OC×
OC＝2
，
解得：OC＝2，
∴AC＝2
，
∴点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，2
），
∴直线BC的解析式为：y＝ax+b，
则
，
解得：
，
∴直线BC的解析式为：y＝
x﹣2
，
解方程组
，得
，
，
∵点E在第一象限，
∴点E的坐标为（
+1，
﹣
）；
（3）由mx+2＝
，整理得：mx2+2x﹣4
＝0，
由题意得：Δ＝22﹣4m×（﹣4
）＝4+16
m＞0，
解得：m＞﹣
，
由题意得：m＜0，
∴直线y＝mx+2与y＝
（k＞0，x＞0）有2个交点，m的取值范围是﹣
＜m＜0．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质、旋转变换的性质、一元二次方程根的判别式的应用，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是解题的关键．
24．如图：在平行四边形ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC＝BC，求证：四边形ACED为菱形．
【分析】（1）利用AAS判定两三角形全等即可；
（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC＝AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠1，
又∵DE∥AC
∴∠2＝∠E，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE；
（2）方法一、∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
由DE∥AC，
∴ACED为平行四边形，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB，
由AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
又∵∠B＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AC＝AD，
∴四边形ACED为菱形．
方法二、∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
由DE∥AC，
∴ACED为平行四边形，
由（1）知△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE，
又∵AC＝BC，
∴AC＝CE，
∴四边形ACED为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝
（x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b，3），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（3）若点M是反比例函数y＝
（x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）把A和B分别代入y＝﹣x+5，得：a＝2，b＝3，再把A（3，2）代入
，得：k＝6，故反比例函数解析式为
；
（2）由于CD∥AB，可设CD的解析式为y＝﹣x+m，由OD＝1得D的坐标为（1，0），将D代入直接CD解析式得：y＝﹣x+1，得C的坐标为（0，1），由A，B，C，D可算出
，由AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形，过点B作BE⊥y轴于点E得E，由△BEC和△COD都等腰直角三角形证出∠BCD＝90°，即可得平行四边形ABCD是矩形；
（3）分∠MAD＝90°或∠AMD＝90°两种情况计算，当∠MAD＝90°时，通过作辅助线构造△MAQ≌△ADP得PD＝AQ＝2，QM＝AP，设M的坐标为（5，n），由M在反比例函数得5n＝6，得n＝1.2，得M（5，1.2）；当∠AMD＝90°时，同理可求．
【解答】解：（1）把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5，
得：a＝2，b＝3，
把A（3，2）代入
，得：k＝6，
∴反比例函数解析式为
；
（2）∵CD∥AB，
∴设CD的解析式为y＝﹣x+m，
∵OD＝1，D在x轴的正半轴上，
∴D的坐标为（1，0），
以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：
将D代入直接CD解析式得：y＝﹣x+1，
∴C的坐标为（0，1），
∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
∴
，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如图，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），
∴BE＝CE＝2，
∴△BEC和△COD都等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠OCD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（3）①当∠MAD＝90°时，
过点A作直线l∥x轴，过点M作MQ⊥直线l于点Q，过点D作DP⊥直线l于点P，
∵∠MAD＝90°，
∴∠MAQ+∠PAD＝90°，
∵DP⊥直线l于点P，
∴∠PAD+∠PDA＝90°，
∴∠AQM＝∠PDA，
在△MAQ与△ADP中，
，
∴△MAQ≌△ADP（AAS），
∴PD＝AQ＝2，QM＝AP，
设M的坐标为（5，n），
∴5n＝6，则n＝1.2，
∴M（5，1.2）；
②当∠AMD＝90°时，同理，过点M作直线l∥y轴，过点A作AP⊥直线l于点P，过点D作DQ⊥直线l于点Q，
可得：△MAP≌△DMQ，
∴PM＝DQ，QM＝AP，
设M的坐标为（3+n，n），
∴n（3+n）＝6，
解得：
，
（舍去），
∴
，
综上所述：M的坐标为（5，1.2），
．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法、矩形的判定、全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，连结CP．
（1）求证：△ADP≌△CDP；
（2）如图2，延长AP交线段DC于点Q，交BC的延长线于点G，点M是GQ的中点，连结CM．求证：PC⊥MC；
（3）如图3，延长AP交射线DC于点Q，交BC于点G，点M是GQ的中点，连结CM．若PM＝2，∠BAP＝30°．求AB的长．
【分析】（1）由正方形的性质得∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，再由SAS证明△ADP≌△CDP即可；
（2）由全等三角形的性质得∠DAP＝∠DCP，即∠DCP＝∠DAG，再由平行线的性质得∠DAG＝∠G，则∠DCP＝∠G，然后由直角三角形斜边上的中线性质得CM＝QM，则∠MCQ＝∠MQC，证出∠DCP+∠MCQ＝90°，即可得出结论；
（3）由直角三角形斜边上的中线性质得GM＝CM＝QM，则∠MCQ＝∠Q，再证△CGM为等边三角形，得CG＝GM，∠CGM＝∠MCG＝60°，然后证△ABP≌△CBP（SAS），得∠BAP＝∠BCP＝30°，证CG＝PG，得CG＝PG＝GM＝1，设AB＝x，则BG＝x﹣1，由含30°角的直角三角形的性质得AG＝2BG＝2x﹣2，最后由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS）；
（2）证明：由（1）得：△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
即∠DAG＝∠DCP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD//BG，
∴∠DAG＝∠G，
∴∠DCP＝∠G，
∵∠QCG＝90°，M为GQ中点，
∴CM＝
GQ＝QM，
∴∠MCQ＝∠MQC，
∵∠G+∠MQC＝90°，
∴∠DCP+∠MCQ＝90°，
即∠PCM＝90°，
∴PC⊥MC；
（3）解：∵M为QG的中点，∠QCG＝90°，
∴GM＝CM＝QM，
∴∠MCQ＝∠Q，
∵AB//CQ，
∴∠BAP＝∠Q＝30°，
∴∠MCQ＝30°，
∴∠CMG＝∠Q+∠MCQ＝30°+30°＝60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG＝GM，∠CGM＝∠MCG＝60°，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABP＝∠CBP，AB＝BC，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP＝∠BCP＝30°，
∴∠GPC＝∠CGM﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠GPC＝∠BCP，
∴CG＝PG，
∴CG＝PG＝GM＝
PM＝
×2＝1，
设AB＝x，则BG＝x﹣1，
在Rt△ABG中，∠BAG＝30°，
∴AG＝2BG＝2x﹣2，
由勾股定理得：AG2＝AB2+BG2，
即：（2x﹣2）2＝x2+（x﹣1）2，
解得：x＝
或x＝
（不合题意舍去），
∴AB的长为：
．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明△ADP≌△CDP是解题的关键，属于中考常考题型．