期末检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.＝( B )
A．±3 B．3 C．± D．
2．下列计算正确的是( B )
A．3＋＝3 B．×＝3 C．÷＝3 D．＋＝
3．(2023·湘西州)某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重(单位：kg)如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是( D )
A．42，36 B．42，42 C．40，40 D．42，40
4．如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为( A )
5．直线y＝2x－3与y＝ax(a≠0)的交点不可能在第几象限( B )
A．一 B．二 C．三 D．四
6．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.若AB＝4，AC＝6，BD＝10，则AD的长是( D )
A．8 B．2 C．10 D．2
sup7() sup7() sup7() sup7()
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a，b为直角边，a＋b＝14，c＝10，则Rt△ABC的面积为( A )
A．24 B．36 C．48 D．60
8．同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1与y＝ax＋3的图象如图所示，则满足x＋1＞ax＋3的x的取值范围是( A )
A．x＞1 B．x＜1 C．x＜－2 D．x＞－2
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，OH的长为3，则S菱形ABCD＝( B )
A．12 B．24 C．36 D．48
10．如图，正方形ABCD的边长为4，E是对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接FG，ED.下列结论中：①DE＝FG；②DE⊥FG；③S△ADE＝S四边形AFGE；④DE的最小值为2，其中正确的命题有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是__a≥－2__．
12．四边形ABCD中，若AB∥CD，请补充一个条件：__AB＝CD或AD∥BC__，使它是平行四边形．
13.＝__－2__．
14．已知Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，则图中阴影部分面积为__24__．
sup7() sup7()
15．如图，一次函数y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B.点C的坐标为(2，3)，若点D在直线y＝2x＋4上，点E在x轴上，若以B，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，则点E的坐标为__(，0)或(－，0)__．
三、解答题(共75分)
16．(10分)计算：
(1)3－6＋2；
解：原式＝6－2＋8＝12
(2)(－)(＋)－(2－)2.
解：原式＝6－2－(4－4＋3)＝4－7＋4＝4－3
17．(9分)如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4∶3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．
解：设客船的速度为4x海里/时，则货船的速度为3x海里/时，由题意得4x－3x＝5，解得x＝5，∴客船的速度为20海里/时，则货船的速度为15海里/时，∵货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，∴AC＝20×2＝40(海里)，AB＝15×2＝30(海里)，又∵BC＝50海里，∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴180°－90°－80°＝10°，∴客船航行的方向为北偏东10°
18．(9分)某校开展了安全知识宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行测试，其中抽测的八年级学生成绩如下：
818384858687878889909292939595959999100100
对七、八年级参加测试学生成绩整理如下：
年级人数分数 |
80≤x＜85 |
85≤x＜90 |
90≤x＜95 |
95≤x≤100 |
七年级 |
4 |
6 |
2 |
8 |
八年级 |
3 |
a |
4 |
7 |
对两组数据分析如下：
年级 |
平均数 |
中位数 |
众数 |
方差 |
七年级 |
91 |
89 |
97 |
40.9 |
八年级 |
b |
c |
95 |
33.2 |
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝__6__，b＝__91__；
(2)样本数据中七年级甲同学和八年级乙同学的分数都是90分，把七、八年级这20名同学的分数按从高到低的顺序排列，__甲__(填“甲”或“乙”)同学的成绩在本年级靠前；
(3)从样本数据的分析来看，分数较整齐的是__八__年级；
(4)若规定90分及以上为优秀，该校八年级有300人，估计八年级优秀等次有多少人？
解：(4)300×＝165(人)，答：估计八年级优秀等次有165人
19．(9分)如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，EF交AC于点O.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AC＝8，EF＝6，求BC的长．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵EF垂直平分AC，∴AF＝FC，AE＝EC，∴∠FAC＝∠FCA，∴∠FCA＝∠ACB，∵∠FCA＋∠CFE＝90°，∠ACB＋∠CEF＝90°，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴AF＝FC＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形 (2)∵四边形AECF是菱形，∴OC＝AC＝4，OE＝EF＝3，∴CE＝＝＝5，设BE的长为x，则BC的长为5＋x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2－BC2，即AB2＝82－(x＋5)2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2－BE2，即AB2＝52－x2，则有82－(x＋5)2＝52－x2，解得x＝，则BC＝
20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
(1)求k，b的值；
(2)若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD＝S△BOC，求点D的坐标．
解：(1)当x＝1时，y＝3x＝3，∴点C的坐标为(1，3).将A(－2，6)，C(1，3)代入y＝kx＋b，得解得 (2)当y＝0时，有－x＋4＝0，解得x＝4，∴点B的坐标为(4，0).设点D的坐标为(0，m)(m＜0)，∵S△COD＝S△BOC，即－m＝××4×3，解得m＝－4，∴点D的坐标为(0，－4)
21．(9分)端午节前夕某商家计划购进A，B两种型号的粽子共300盒进行销售，A型粽子进价35元/盒，售价50元/盒，B型粽子进价40元/盒，售价60元/盒．根据以往销售经验，A型粽子的购进数量x(盒)不高于B型粽子的数量，不少于B型粽子数量的一半，设该商家售完这批粽子获利y(元).
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)实际采购时，A型粽子进价每盒降低了a元(0＜a＜10)，B型粽子进价不变，两种粽子售价不变，购进的粽子能全部卖完，商家如何采购这两种型号的粽子才能获利最大？
解：(1)由题意得y＝(50－35)x＋(60－40)(300－x)，整理得y＝－5x＋6000，∵A型粽子的购进数量x(盒)不高于B型粽子的数量，不少于B型粽子数量的一半，∴，解得则原不等式组的解集为100≤x≤150，即y与x的函数关系式为：y＝－5x＋6000，x的取值范围是100≤x≤150 (2)由题意得：y＝(50－35＋a)x＋(60－40)(300－x)，整理得：y＝(a－5)x＋6000，∵0＜a＜10，∴当0＜a＜5时，A型粽子采购100盒，B型粽子采购200盒能获利最大；当5≤a＜10时，A型粽子采购150盒，B型粽子采购150盒能获利最大
22．(10分)如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D为边BC上一动点，四边形ADEG是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F.
(1)判断BD与CG的数量关系，并证明；
(2)求证：DF2＝BD2＋CF2；
(3)若BD＝4，求AE的值．
解：(1)BD＝CG，理由如下：∵四边形ADEG是正方形，∴AD＝AG，∠DAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAG，∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAG，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABD和△ACG中，∴△ABD≌△ACG(SAS)，∴BD＝CG (2)如图，连接GF，∵四边形ADEG是正方形，∴∠FAG＝∠FAD＝45°，在△GAF和△DAF中，∴△GAF≌△DAF(SAS)，∴GF＝DF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由(1)知：△ABD≌△ACG，∴∠ACG＝∠B＝45°，∴∠FCG＝∠ACB＋∠ACG＝90°，在Rt△FCG中，GC2＋CF2＝FG2，∴DF2＝BD2＋CF2 (3)如图，连接DG，∵AB＝AC＝6，在Rt△ABC中，BC＝＝＝12，∵BD＝4，∴DC＝BC－BD＝12－4＝8，由(1)知：GC＝BD＝4，由(2)知：∠DCG＝90°，在Rt△DCG中，DG＝＝＝4，∵四边形ADEG是正方形，∴AE＝DG＝4
23．(10分)(1)【阅读理解】如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴上，已知B点坐标为(a，b)，且a，b满足a2－20a＋100＋＝0，将矩形OABC沿着AD折叠，点O的对应点E恰好落在BC边上，则B点坐标为__(10，6)__，CE＝__2__；
(2)【问题探究】若点M沿线段EA从点E向点A以每秒1个单位长度的速度运动至点A，设运动时间为t秒，当△EBM为等腰三角形时，求t的值；
(3)【拓展延伸】直线y＝kx＋m与DE平行，当它与矩形OABC有公共点时，求出m的取值范围．
解：(2)①当EM＝EB时，△EBM是等腰三角形，由(1)可知BE＝8，∴EM＝8，∴t＝8÷1＝8；②当BM＝EM时，∠BEM＝∠EBM，∵∠BEM＋∠BAM＝∠EBM＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠BAM，∴BM＝AM，∴点M运动到EA的中点，∴EM＝EA＝5，∴t＝5÷1＝5；③当BM＝BE时，点M在不在线段EA上，此种情况不合题意，舍去．综上所述：t＝8或5 (3)设D(0，n)，则DO＝DE＝n，CD＝6－n，在Rt△CDE中，CD2＋CE2＝DE2，∴(6－n)2＋22＝n2，解得n＝，∴D(0，)，∵E(2，6)，设DE的解析式为y＝k1x＋c，则解得∴y＝x＋，∵y＝kx＋m与DE平行，∴k＝k1＝，当y＝x＋m过点C(0，6)时，m＝6，当y＝x＋m过点A(10，0)时，m＝－，∴当直线y＝kx＋m与DE平行，且与矩形有公共点时，m的取值范围为－≤m≤6