期末检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2022·牡丹江)在下列图形中，不是轴对称图形的是( B )
2．若分式的值为零，则x的值是( A )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
3．(2022·娄底)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( C )
4．(贺州中考)下列各式分解因式正确的是( A )
A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2
B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2
C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)
D．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)(x＋y)
5．(甘孜州中考)若x＝4是分式方程＝的根，则a的值为( A )
A．6 B．－6 C．4 D．－4
6．(2022·朝阳)将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为( B )
A．100° B．80° C．70° D．60°
sup7() sup7() sup7()
7．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1，1).将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2，2)，则点B′的坐标为( A )
A．(－5，4) B．(4，3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)
8．(2022·绥化)有一个容积为24 m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟x m3，由题意列方程，正确的是( A )
A．＋＝30 B．＋＝24 C．＋＝24 D．＋＝30
9．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①当x＜3时，y1＞0；②当x＜3时，y2＞0；③当x＞3时，y1＜y2，正确的个数是( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AG⊥BC于点G，CF⊥AB于点F，AG，CF交于点H，CF，DA的延长线交于点E，给出下列结论：①AC＝AG；②∠D＝∠CHG；③CH＝CD；④若点F是AB的中点，则BG＝(－1)GC；其中正确的结论有( A )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(2022·哈尔滨)把多项式xy2－9x分解因式的结果是__x(y＋3)(y－3)__．
12．(巴中中考)不等式组的整数解是x＝__－4__．
13．(张家界中考)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为__15°__．
sup7() sup7() sup7() sup7()
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为____．
15．如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为____．
16．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动过程中，以P，D，Q，B四点组成平行四边形的次数有__3__次．
三、解答题(共72分)
17．(8分)(1)解方程：－1＝；
解：去分母，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，去括号，得x2＋2x－x2－2x＋x＋2＝3，合并同类项，得x＝1，检验：当x＝1时，x－1＝0，不合题意，应舍去，∴原方程无解
(2)(2022·怀化)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤3，∴原不等式组的解集是2＜x≤3，其解集在数轴上表示如下：
18．(6分)(2022·江西)以下是某同学化简分式(－)÷的部分运算过程：
解：原式＝[－]· ①
＝[－]· ②
＝· ③
…
(1)上面的运算过程中第__③__步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
解：(2)原式＝[－]·＝[－]·＝·＝·＝
19．(7分)(2022·广西)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F(不写作法，保留作图痕迹)；
(3)连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB(SSS) (2)如图①所示
(3)如图②，∵EF垂直平分BD，∠DBE＝25°，∴EB＝ED，∴∠DBE＝∠BDE＝25°，∵∠AEB是△BED的外角，∴∠AEB＝∠DBE＋∠BDE＝25°＋25°＝50°
20．(6分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；
(2)将△A1B1C向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2.
解：画图略
21．(7分)(黄冈中考)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE，∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，∴∠ADE＝∠ABF，∴△ABF≌△EDA
(2)延长FB交AD于H.∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB，∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD，∵AD∥BC，∴FB⊥BC
22．(8分)(2022·益阳)在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%.
(1)甲、乙两人操控A，B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
解：(1)设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割(1－40%)x亩水稻，依题意，得－＝0.4，解得x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴(1－40%)x＝(1－40%)×10＝6.答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻
(2)设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意，得3%×10y＋2%×6×≤2.4%×100，解得y≤4.答：最多安排甲收割4小时
23．(8分)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1＝∠2.
(1)若CF＝2，AE＝3，求BE的长；
(2)求证：∠CEG＝∠AGE.
解：(1)∵点F为CE的中点，∴CE＝CD＝2CF＝4.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝
(2)延长AG，BC交于点H.∵∠2＝∠1，∠ECG＝∠DCF，CE＝CD，∴△CEG≌△CDF(AAS)，∴CG＝CF.∵CD＝CE＝2CF，∴CG＝GD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠CHG，∠ADG＝∠HCG.∴△ADG≌△HCG(AAS)，∴AG＝HG.∵∠AEH＝90°，∴EG＝AG＝HG，∴∠CEG＝∠H.∵∠AGE＝∠CEG＋∠H，∴∠AGE＝2∠CEG，即∠CEG＝∠AGE
24．(10分)【发现】 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
【验证】 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个数为n，写出它们的平方和，并说明平方和是5的倍数；
【延伸】 (3)任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
解：【验证】 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3，即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍
(2)若五个连续整数的中间一个数为n，则其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2，它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10＝5(n2＋2)，又∵n是整数，∴n2＋2是整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数
【延伸】 (3)设三个连续整数的中间一个数为n，则其余的2个整数是n－1，n＋1，它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＝3n2＋2，∵n是整数，∴n2是整数，∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2
25. (12分)如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD；
(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为__60__度时，边AD′落在边AE上；
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
解：(1)∵△ACE和△ABD都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠EAC＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC，∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝CD
(2)②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．证明：∵由旋转可知△ABD≌△AB′D′，∵△ABD为等边三角形，∴△AB′D′也为等边三角形，且它们的边长相等，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∠BDA＝∠D′DA＝60°，∴∠BDD′＝120°，∴∠DBD′＋∠DD′B＝60°，∵BD＝DD′，∴∠DBD′＝∠DD′B＝×60°＝30°，∵AC＝2AB，且AB＝AD′，∴AC＝2AD′，又∵△ACE为等边三角形，∴AC＝AE，∴AE＝2AD′，∴D′为AE的中点，∴D′E＝AD′＝DD′，∵△ADD′为等边三角形，∴∠AD′D＝60°，∴∠PD′E＝∠AD′D＝60°，又∵∠E＝60°，∴∠EPD′＝60°，∴△PD′E为等边三角形，∴PD′＝D′E，∴PD′＝DD′，∵∠EPD′＝60°，∴∠D′PC＝120°，∴∠BDD′＝∠CPD′＝120°，∵△ACE为等边三角形，D′为AE的中点，∴∠PCD′＝∠ACE＝30°，在△BDD′和△CPD′中，∠DBD′＝∠PCD′＝30°，∠BDD′＝∠CPD′＝120°，DD′＝PD′，∴△BDD′≌△CPD′(AAS)