期末检测
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2022·淄博)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )
sup7() sup7() sup7() sup7()
2．若分式的值为0，则x的值为( C )
A．±2 B．0或2 C．0 D．－2
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( C )
A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( D )
A．30° B．25° C．20° D．15°
sup7() sup7()
5．若a＝＋2，b＝－2，则代数式(＋)÷的值为( B )
A．4 B． C．2 D．
6．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝3，若▱ABCD的周长是18，则DM的长为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘公交车上学所需的时间少了15 min.现已知小林家距学校8 km，乘私家车的平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走xkm，则根据题意可列的方程为( D )
A．＋15＝ B．＝＋15
C．＋＝D．＝＋
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为( C )
A．35° B．40° C．50°D．65°
sup7() sup7() sup7()
9．已知关于x的方程3－2x＝3(k－2)的解为非负整数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k的值之和为( C )
A．5 B．4 C．3 D．2
10．(2022·河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时点A的坐标为( B )
A．(，－1) B．(－1，－) C．(－，－1) D．(1，)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．因式分解：3x2－27y2＝__3(x＋3y)(x－3y)__．
12．(2022·泸州)若方程＋1＝的解使关于x的不等式(2－a)x－3＞0成立，则实数a的取值范围是__a＜－1__．
13．(2022·邵阳)如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1＝40°，则∠2＝__110°__．
14．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为__1.5__．
sup7() sup7()
15．如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为射线AD上的一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则线段AF长度的最小值为____．
三、解答题(共75分)
16．(10分)解下列分式方程：
(1)－＝1; (2)－＝.
解：解得x＝，经检验，
x＝是分式方程的解 解：解得x＝，经检验，
x＝是分式方程的解
17．(9分)(2022·广元)先化简，再求值：÷(1－)，其中x是不等式组的整数解．
解：原式＝÷＝·＝，解不等式组得－1≤x＜3，又∵x为整数，x≠0，(x＋1)(x－1)≠0，∴x＝2，∴原式＝＝
18．(9分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为A(－1，3)，B(－3，1)，C(－1，1)，请解答下列问题：
(1)画出将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标．
解：(1)如图所示的△A1B1C1即为所求作，点B1(2，－3)
(2)如图所示的△A2B2C1即为所求作，点A2(6，－3)
19．(9分)某公司计划组织员工外出登山，出发前决定购买50个登山包作为本次活动的纪念品．某户外用品店现有灰、黑两种颜色的登山包，每个灰色登山包的售价比每个黑色登山包的售价贵40元，且用1 200元购买灰色登山包的数量恰好与用960元购买黑色登山包的数量相同．
(1)求每个灰、黑色登山包的售价分别是多少元；
(2)若两种登山包都购买，且购买黑色登山包的数量不多于灰色登山包数量的，请设计出花费最少的购买方案，并说明理由．
解：(1)设每个黑色登山包的售价是x元，则每个灰色登山包的售价是(x＋40)元．根据题意，得＝，解得x＝160，经检验，x＝160是所列分式方程的解，且符合题意，∴x＋40＝200，∴每个灰、黑色登山包的售价分别是160元、200元
(2)∵每个灰色登山包的售价160元低于每个黑色登山包的售价200元，∴购买的灰色登山包越多越省钱．设购买灰色登山包m个，则购买黑色登山包(50－m)个．根据题意，得50－m≤m，解得m≥30，∴m最小值＝30，此时50－m＝20，∴花费最少的购买方案为购买30个灰色登山包，购买20个黑色登山包
20．(9分)如图，AD是等边△ABC的边BC上的高，点E在边AB的延长线上，连接DE，∠AED＝30°，过点A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE.
(1)求证：四边形BECF为平行四边形；
(2)若AB＝6，请直接写出▱BECF的周长．
解：(1)证明：∵AD是等边△ABC的边BC上的高，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°＝∠AED，∴AD＝DE，∠ADF＝∠AED＋∠BAD＝60°.又∵AF⊥AB，∴∠DAF＝∠EAF－∠EAD＝90°－30°＝60°，∴△ADF为等边三角形，∴AD＝DF，∴DE＝DF.又∵BD＝CD，∴四边形BECF为平行四边形
(2)∵AB＝6，∴BD＝BC＝AB＝3，∴AD＝＝＝3.又∵△ADF为等边三角形，∴AF＝AD＝3，∴BF＝＝＝3.又∵∠BDE＝∠ABC－∠AED＝60°－30°＝30°＝∠AED，∴BE＝BD＝3，∴▱BECF的周长为2(BF＋BE)＝2×(3＋3)＝6＋6
21．(9分)如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AN上，连接CE.当BC＝AC时，
(1)求证：四边形ABEC是平行四边形；
(2)若AB＝15，AD＝18，求AC的长．
解：(1)证明：∵BC＝AC，∴∠A＝∠ABC，∴∠BCD＝∠A＋∠ABC＝2∠A.又根据旋转的性质可知AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∴∠BDA＝∠A，∠BCE＝∠BEC，∴∠A＝∠BCE.又∵∠BCD＝∠BCE＋∠ECD，∴∠ECD＝∠A＝∠BEC，∴AB∥CE，AC∥BE，∴四边形ABEC是平行四边形
(2)过点B作BH⊥AD于点H，∵BD＝BA，BH⊥AD，∴AH＝AD＝9，∴BH＝＝＝12.设AC＝BC＝x，则CH＝AC－AH＝x－9.又∵在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，即(x－9)2＋122＝x2，解得x＝12.5，∴AC＝12.5
22．(10分)如图，点D，E分别在等边△ABC的边BC，AC上，且BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接BE，EF，CF.
(1)求证：△CEF为等边三角形；
(2)求证：四边形BDFE为平行四边形；
(3)若AE＝2，EF＝4，求▱BDFE的面积．
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°.又∵△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴∠ACF＝∠ABD＝60°，CF＝BD＝CE，∴△CEF是等边三角形
(2)证明：由(1)可知△CEF是等边三角形，∴∠CEF＝60°＝∠ACB，EF＝CE＝BD，∴EF∥BD，∴四边形BDFE是平行四边形
(3)过点E作EG⊥BC于点G，则∠EGC＝90°.由(2)可知CE＝BD＝EF＝4，∴AC＝AE＋CE＝2＋4＝6.∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，∴∠CEG＝90°－∠ACB＝30°，∴CG＝CE＝2，∴EG＝＝＝2，∴S▱BDFE＝BD·EG＝4×2＝8
23．(10分)在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP.
(1)如图①，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
(2)如图②，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)AP＝AC，理由如下：如图①，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.又∵∠BAD＝α＝120°，∴∠B＝∠ADC＝180°－∠BAD＝60°＝∠BEP，∴PQ∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE都是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠CQE＝∠B＝60°.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠AED，∴AE＝AD＝EQ.又∵∠AEQ＝∠BEP＝60°，∴∠AEP＝180°－∠AEQ＝120°，△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝120°＝∠AEP，∴△AEP≌△AQC(SAS)，∴AP＝AC
(2)AB2＋AD2＝2AF2，理由如下：如图②，连接CF，∵在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC.又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝45°＝∠ADE，∴AE＝AD＝BC.又∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°.又∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝45°＝∠BEF，∴BF＝EF，∠FBC＝∠FBE＋∠ABC＝45°＋90°＝135°＝180°－∠FEB＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF(SAS)，∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE＋∠CFE＝∠CFB＋∠CFE＝∠BFE＝90°，∴AB2＋AD2＝AB2＋BC2＝AC2＝AF2＋CF2＝2AF2