期末测试模拟卷

（考试范围：八下全部 考试时间：120分钟 试卷总分：120分）

一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1．（3分）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞0 B．x≥0 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．

【解答】解：由题意得：x+2≥0，

解得：x≥﹣2．

故选：C．

2．（3分）中华民族历史悠久，传统文化博大精深．下面选取了几幅传统文化图片，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；

C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

3．（3分）若关于x的一元二次方程ax²﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（　　）

A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1

【分析】由关于x的一元二次方程ax²﹣2x+1＝0有实数根，即可得判别式Δ≥0且a≠0，继而可求得a的范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax²﹣2x+1＝0有实数根，

∴Δ＝b²﹣4ac＝（﹣2）²﹣4•a×1＝4﹣4a≥0，

解得：a≤1，

∵方程ax²﹣4x+1＝0是一元二次方程，

∴a≠0，

∴a的范围是：a≤1且a≠0．

故选：B．

4．（3分）已知两组数据：5、6、7和2、3、4那么这两组数据的（　　）

A．中位数不相等，方差不相等

B．平均数相等，方差不相等

C．中位数不相等，平均数相等

D．平均数不相等，方差相等

【分析】分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案．

【解答】解：2、3、4的平均数为： ×（2+3+4）＝3，中位数是3，方差为： ×[（2﹣3）²+（3﹣3）²+（3﹣4）²]＝ ；

3、4、5的平均数为： ×（3+4+5）＝4，中位数是4，方差为： ×[（3﹣4）²+（4﹣4）²+（5﹣4）²]＝ ；

故中位数不相等，方差相等．

故选：D．

5．（3分）若n边形的内角和与外角和相加为1800°，则n的值为（　　）

A．7 B．8． C．9 D．10

【分析】先求得多边形的内角和，然后根据条件列出方程，即可求得n的值．

【解答】解：由题意得，180°×（n﹣2）+360°＝1800°，

解得：n＝10，

故选：D．

6．（3分）若点A（x₁，﹣4），B（x₂，2），C（x₃，10）在反比例函数y＝ 的图象上，则x₁，x₂，x₃的大小关系是（　　）

A．x₁＜x₂＜x₃ B．x₁＜x₃＜x₂ C．y₂＜y₁＜y₃ D．x₃＜x₂＜x₁

【分析】根据反比例函数的解析式可确定A点在第三象限，B，C在第一象限，再根据反比例函数的性质可得x₁＜x₃＜x₂，即可选择．

【解答】解：反比例函数y＝ 中，k＝20＞0，

∴A点在第三象限，B，C在第一象限，

根据反比例函数增减性可得x₁＜x₃＜x₂，

故选：B．

7．（3分）如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，AB＝4，则BC的长是（　　）

A． B． C．8 D．12

【分析】如图，连接OD，首先说明B，O，D共线，证明∠DBC＝30°，可得结论．

【解答】解：如图，连接OD．

∵O是矩形ABCD的对称中心，

∴B，O，D共线，

∵∠C＝90°，BD＝2OB＝2AB＝2CD＝8，

∴∠DBC＝30°，

∴BC＝BD•cos30°＝4 ，

故选：B．

8．（3分）如图，已知ABCD为任意四边形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形EFGH为菱形的是（　　）

A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD

【分析】首先根据中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，进而根据菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形，可以得出答案．

【解答】解：如图，连接AC、BD，

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC且EF＝ AC，

同理可得：HG∥AC，HG＝ AC，

∴EF∥HG，EF＝HG，

∴四边形EFGH为平行四边形，

A：若EH＝HG，则▱EFGH为菱形，故A选项能判断四边形EFGH为菱形，

B：若EG⊥HF，则▱EFGH为菱形，故B选项能判断四边形EFGH为菱形，

C：若AC＝BD，则有：EH＝ ，HG＝ ，

∴EH＝HG，

∴▱EFGH为菱形，故C选项能判断四边形EFGH为菱形，

D：若AC⊥BD，则可得：EH⊥HG，则▱EFGH为矩形，不一定是菱形，

∴D选项不能判断四边形EFGH为菱形．

故选：D．

9．（3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含45°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14 cm²，四边形ABCD面积是11 cm²，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）

A．48 B．24 C．48 D．24

【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为14 cm²，四边形ABCD面积是11 cm²，可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和．

【解答】解：作GM⊥EF于点M．

由题意得：S_⑤＝S_{四边形ABCD}﹣ （S_①+S_②+S_③+S_④）＝11 ﹣ 14 ＝4 cm²，

∴S_菱形EFGH＝14 +4 ＝18 cm²，

又∵∠F＝45°，

设菱形的边长为x，则菱形的高为：GM＝ GF＝ x，

根据菱形的面积公式得：x• ＝18 ，

解得：x＝6，

∴菱形的边长为6cm，

而①②③④四个平行四边形周长的总和＝2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）＝2（EF+FG+GH+HE）＝48cm．

故选：A．

10．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝ 和y＝ 的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：①ON＝OM；②△OMA≌△ONC；③阴影部分面积是 （k₁+k₂）；④四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称，其中正确的结论是（　　）

A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①④

【分析】先判断出CE＝ON，AD＝OM，再判断出CE＝AD，即可判断出①正确；由于四边形OABC是平行四边形，所以OA不一定等于OC，即可得出②错误；先求出三角形COM的面积，再求出三角形AOM的面积求和即可判断出③错误，根据菱形的性质判断出OB⊥AC，OB与AC互相平分即可得出④正确．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于D，过点C作CE⊥y轴E，

∵AM⊥x轴，CM⊥x轴，OB⊥MN，

∴∠AMO＝∠DOM＝∠ADO＝∠CNO＝∠EON＝∠CEO＝90°，

∴四边形ONCE和四边形OMAD是矩形，

∴ON＝CE，OM＝AD，

∵OB是▱OABC的对角线，

∴△BOC≌△OBA，

∴S_△BOC＝S_△OBA，

∵S_△BOC＝ OB×CE，S_△BOA＝ OB×AD，

∴CE＝AD，

∴ON＝OM，故①正确；

在Rt△CON和Rt△AOM中，ON＝OM，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OA与OC不一定相等，

∴△CON与△AOM不一定全等，故②错误；

∵第二象限的点C在双曲线y＝ 上，

∴S_△CON＝ |k₂|＝﹣ k₂，

∵第一象限的点A在双曲线y＝ 上，

S_△AOM＝ |k₁|＝ k₁，

∴S_阴影＝S_△CON+S_△AOM＝﹣ k₂+ k₁＝ （k₁﹣k₂），

故③错误；

∵四边形OABC是菱形，

∴AC⊥OB，AC与OB互相平分，

∴点A和点C的纵坐标相等，点A与点C的横坐标互为相反数，

∴点A与点C关于y轴对称，

∴k₂＝﹣k₁，即：四边形是菱形，则图中曲线关于y轴对称，故④正确，

∴正确的有①④，

故选：D．

二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）

11．（4分）已知 ＝﹣3﹣a，则a的取值范围是 　a≤﹣3　．

【分析】根据 ＝|a|化简即可得出答案．

【解答】解：∵ ＝|3+a|＝﹣3﹣a，

∴3+a≤0，

∴a≤﹣3．

故答案为：a≤﹣3．

12．（4分）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是S_甲²＝0.63m²，S_乙²＝0.61m²，S_丙²＝0.57m²，S_丁²＝0.56m²，则这四名同学成绩最稳定的是 　丁　．

【分析】根据方差的意义求解即可．

【解答】解：∵S_甲²＝0.63m²，S_乙²＝0.61m²，S_丙²＝0.57m²，S_丁²＝0.56m²，

∴S_丁²＜S_丙²＜S_乙²＜S_甲²，

∴这四名同学成绩最稳定的是丁，

故答案为：丁．

13．（4分）如图，在宽为25m，长为40m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块，作为小麦试验田，假设试验田面积为912m²，求道路的宽为多少？设道路的宽为xm，可列出的方程是 　x²﹣45x+44＝0　．（化为一般形式）

【分析】设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（25﹣x）m的矩形，根据试验田面积为912m²，即可得出关于x的一元二次方程，化简后即可得出结论．

【解答】解：设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（25﹣x）m的矩形，

依题意得：（40﹣2x）（25﹣x）＝912，

化简得：x²﹣45x+44＝0．

故答案为：x²﹣45x+44＝0．

14．（4分）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（﹣1，0），若直线y＝﹣2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 　（ ，3）　．

【分析】连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．

【解答】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．

∵B（﹣1，0），

∴T（ ， ），

∵直线y＝﹣2x+4平分平行四边形ABCD的面积，

∴直线y＝﹣2x+4经过点T，

∴ ＝﹣2× +4，

∴m＝ ，

∴D（ ，3），

故答案为：（ ，3）．

15．（4分）如图，矩形ACDO的面积为12，点B、C分别为反比例函数 和 图象上的点，若B是AC的中点，则k₁﹣k₂的值为 　﹣6　．

【分析】设AB＝a，则AC＝2a，CD＝b，利用反比例函数解析式表示出k₁，k₂，即可求解．

【解答】解：设AB＝a，CD＝b，

∵四边形ACDO是矩形，B是AC的中点，

∴AC＝2a，

∴B（a，b），C（2a，b），

∵点B、C分别为反比例函数y＝ 和y＝ 图象上的点，

∴k₁＝ab，k₂＝2ab，

∵矩形ACDO的面积为12，

∴2ab＝12，

∴k₁＝6，k₂＝12，

∴k₁﹣k₂＝﹣6，

故答案为：﹣6．

16．（4分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2 ；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的 　②③　．（把正确结论的序号都填上）．

【分析】先判断出四边形CNPM是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN＝NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ＝CD，得Rt△CMQ≌Rt△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可．

【解答】解：如图1，

∵PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC，

∵∠MNC＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM，

∴PM＝PN，

∵NC＝NP，

∴PM＝CN，

∵MP∥CN，

∴四边形CNPM是平行四边形，

∵CN＝NP，

∴四边形CNPM是菱形，故②正确；

∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，

∴∠MQC＝∠D＝90°，

∵CM＝CM，

若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），

∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；

点P与点A重合时，如图2所示：

设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，

在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，

即4²+x²＝（8﹣x）²，

解得x＝3，

∴CN＝8﹣3＝5，AC＝ ＝ ＝4 ，

∴CQ＝ AC＝2 ，

∴QN＝ ＝ ＝ ，

∴MN＝2QN＝2 ．故③正确；

当MN过点D时，如图3所示：

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝ S_菱形CMPN＝ ×4×4＝4，

当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝ ×5×4＝5，

∴4≤S≤5，故④错误．

故答案为：②③．

三．解答题（共8小题，共66分）

17．（6分）用适当的方法解下列方程．

（1）x²﹣16x﹣17＝0．

（2）x²﹣2x﹣5＝0．

【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x+1＝0或x﹣17＝0，然后解一次方程即可；

（2）利用配方法得到x+1＝0或x﹣17＝0，然后利用直接开平方法解方程．

【解答】解：（1）x²﹣16x﹣17＝0，

（x+1）（x﹣17）＝0，

x+1＝0或x﹣17＝0，

所以x₁＝﹣1，x₂＝17；

（2）x²﹣2x＝5，

x²﹣2x+1＝5+1，

x+1＝0或x﹣17＝0，

x﹣1＝± ，

所以x₁＝1+ ，x₂＝1﹣ ．

18．（6分）（1）计算： + ﹣（ ﹣ ）；

（2）当x＝ +2，y＝ ﹣2时，求代数式x²﹣y²+xy的值．

【分析】（1）先化简，再进行加减运算即可；

（2）由题意得x+y＝2 ，x﹣y＝4，xy＝﹣1，再把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．

【解答】解：（1） + ﹣（ ﹣ ）

＝2 +2 ﹣3 +

＝ ；

（2）∵x＝ +2，y＝ ﹣2，

∴x+y＝ +2+ ﹣2＝2 ，

x﹣y＝ +2﹣（ ﹣2）＝4，

xy＝（ +2）×（ ﹣2）＝﹣1，

∴x²﹣y²+xy

＝（x+y）（x﹣y）+xy

＝2 ×4+（﹣1）

＝8 ﹣1．

19．（6分）已知关于x的方程x²+2x+n＝0（n≠0）．

（1）当方程有两个不相等的实数根时，求n的取值范围；

（2）当x＝n是原方程的一个根时，求n的值与方程的根．

【分析】（1）根据题意，可得Δ＝4﹣4n＞0，解不等式即可；

（2）将x＝n代入方程，解出n的值，然后代入原方程，求解即可．

【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝4﹣4n＞0，

解得n＜1，

∴n的取值范围是n＜1；

（2）将x＝n代入方程，得n²+2n+n＝0，

解得n＝0或n＝﹣3，

∵n≠0，

∴n＝﹣3，

∴原方程化为：x²+2x﹣3＝0，

解得x₁＝1，x₂＝﹣3．

20．（8分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，整理数据，得到条形统计图：

样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：

统计量	平均数	众数	中位数
数值	23	m	21

根据以上信息，解答下列问题：

（1）表中众数m的值为 　18　；

（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据 　中位数　来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）

（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手，若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．

【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以得到m的值；

（2）根据题意和中位数的定义，可以解答本题；

（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出该部门生产能手的人数．

【解答】解：（1）由条形统计图中的数据可得，

众数m的值是18，

故答案为：18；

（2）如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，

故答案为：中位数；

（3）300× ＝100（名），

即该部门生产能手有100名．

21．（8分）如图，一次函数y₁＝﹣x+2的图象与反比例函数y₂＝ 的图象相交于A、B两点，点B的坐标为（2n，﹣n）．

（1）求n的值，并确定反比例函数的表达式；

（2）结合函数图象，直接写出不等式 ＞﹣x+2的解集．

【分析】（1）把B的坐标代入y₁＝﹣x+2求得n的值，得出B（4，﹣2），再代入入y₂＝ 即可求得k的值；

（2）先根据方程﹣ ＝﹣x+2可得A，B两点的横坐标，根据图象即可求得．

【解答】解：（1）∵点B的坐标为（2n，﹣n）且在一次函数y₁＝﹣x+2的图象上，代入得﹣n＝﹣2n+2．

∴n＝2．

∴B点坐标为（4，﹣2），

把B（4，﹣2）代入y₂＝ 得k＝4×（﹣2）＝﹣8，

∴反比例函数表达式为y₂＝﹣ ；

（2）∵﹣ ＝﹣x+2，

∴x₁＝4，x₂＝﹣2，

由图象得：不等式 ＞﹣x+2的解集是x＞4或﹣2＜x＜0．

22．（10分）如图，已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以 cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t秒，请解决下列问题：

（1）若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？

（2）是否存在这样的t值，使△APQ的面积为8cm²？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设经过t秒，△APQ是直角三角形，此时AP＝2t，AQ＝ ．分类讨论∠APQ＝90°或∠AQP＝90°．当∠APQ＝90°时，AQ＝ AP；当∠AQP＝90°时，AP＝ AQ，分别解方程即可；

（2）设经过t秒，△APQ的面积为为8cm²，连接PQ，作PH⊥AQ于H，分类讨论点P在AC边上和点P在BC边上，△APQ的面积＝AQ×PH÷2＝8，即可求解．

【解答】解：在等腰直角△ABC中，

∵AC＝BC＝6cm，

∴AB＝ cm，

（1）设经过t秒，△APQ是直角三角形，此时AP＝2t，AQ＝ ．

①当∠APQ＝90°时，AQ＝ AP，如下图所示：

∴ ＝ ，

解得t＝2．

②当∠AQP＝90°时，AP＝ AQ，如下图所示：

∴2t＝ （ ），

解得t＝3．

∴若P在AC边上，当t＝2或t＝3时△APQ是直角三角形．

（2）①当P在AC边上，连接PQ，过点P作PH⊥AB于H，如下图所示：

设经过t秒，△APQ的面积为为8cm²，

此时AP＝2t，AQ＝ ．

∴PH＝ ，

∴ ÷2＝8，

解得t＝2或t＝4（舍去），

②当点P在BC边上时，连接AP，PQ，作PH⊥AQ于H，如下图所示：

设经过t秒，△APQ的面积为为8cm²，

此时PB＝12﹣2t，AQ＝ ．

∴PH＝ ，

∴ ＝ ＝8，

解得t＝ ，或t＝ （舍去），

∴当t＝2或t＝ 时，△APQ的面积为为8cm²．

23．（10分）阅读材料，并回答问题．

定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．

（1）请你写出一个和谐四边形是　菱形（或正方形）　；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝100°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，求证：BD是四边形ABCD的和谐线；

（3）如图2，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在平面内找一点D，使得以点A、B、C、D组成的四边形为和谐四边形，且满足AD为和谐线，AB＝BD，请画出草图，并直接写出∠ABD的度数．

【分析】（1）根据所学的特殊四边形的性质可直接得出结论；

（2）先根据平行线的性质得出∠ABC的度数，再根据家平分线的性质和三角形内角和求出∠ADB的度数，进而可以判断△ABD是等腰三角形，同理利用三角形内角和可求出∠BDC的度数，由此可判断△BDC是等腰三角形．

（3）需要分三种情况，当AD＝AC时，当AC＝CD时，当AD＝CD时，画出图形，再分别求解即可．

【解答】（1）解：根据定义可直接得出，菱形和正方形都是和谐四边形．

故答案为：菱形（或正方形）；

（2）证明：如图1，

∵AD∥BC，∠A＝100°，

∴∠A+∠ABC＝180°，∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABC＝80°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB＝40°，

∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形；

∵∠C＝70°，∠DBC＝40°，

∴∠BDC＝70°，

∴∠C＝∠BDC，

∴BD＝BC，即△BDC是等腰三角形，

∴BD把四边形ABCD分成两个等腰三角形，即BD是四边形ABCD的和谐线．

（3）解：需要分三种情况，

①当AD＝AC时，如图2，

∵AB＝AC，AB＝BD，

∴AB＝BD＝AD，即△ABD是等边三角形，

∴∠ABD＝60°；

②当AC＝CD时，如图2，

此时AB＝BD＝AD＝CD，

∵∠BAC＝90°，

∴四边形ABDC是正方形，

∴∠ABD＝90°；

③当AD＝CD时，如图4，过点D作DM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AB交AB的延长线于点N，

则四边形ANDM是长方形，

∴DN＝AM＝CM＝ AC，

∵AB＝BD＝AC，

∴DN＝ BD，

∴∠DBN＝30°，

∴∠ABD＝150°．

综上，若以点A、B、C、D组成的四边形为和谐四边形，且满足AD为和谐线，则∠ABD的度数为60°，90°或150°．

24．（12分）古希腊数学家帕普斯在研究“三等分任意锐角”时，发现了如下的方法：如图，建立平面直角坐标系，将∠AOB的顶点O与原点重合，边OB与x轴的正半轴重合，OA在第一象限内．

①在平面直角坐标系中，画出函数y＝ （x＞0）的图象，图象与边OA交于点D；

②以D为圆心、以2OD长为半径作弧，交函数y＝ （x＞0）的图象于点E，如图所示；

③分别过点D，E作x轴和y轴的平行线，两线相交于点P，连接OP．此时有∠POB＝ ∠AOB．

如图，过点D作DG⊥x轴于点G，交OP于点F，连接DE，EF，且DE交OP于点C，设点D的坐标为（a， ），点E的坐标为（b， ），

根据以上作图，回答下列问题：

（1）点P的坐标为 　（b， ）　；（用含a，b的代数式表示）；

（2）直线OP的解析式为 　y＝ 　，则点F的坐标为 　（a， ）　；（用含a，b的代数式表示）

（3）根据点E，F的坐标可以判断线段EF与DP的位置关系为 　EF∥DP　，由此结合题意可判断四边形DFEP的形状为 　矩形　；

（4）证明：∠POB＝ ∠AOB．

【分析】（1）根据P点的横坐标与E点相同，纵坐标与D点相同写出P点坐标即可；

（2）设出OP的解析式用待定系数法求解析式即可，然后根据解析式求出F点的坐标；

（3）根据坐标可判断EF平行于x轴，DP也平行于x轴，即可判定EF平行于DP，先判定四边形DFEP是平行四边形，进而证明四边形DFEP是矩形即可；

（4）先证∠OCD＝2∠CPD，再证∠DOP＝∠OCD，然后证∠POB＝∠CPD，即可得证∠AOB＝∠DOP+∠POB＝3∠POB．

【解答】解：（1）由题知，P点的横坐标与E点相同，纵坐标与D点相同，

∴P（b， ），

故答案为：（b， ）；

（2）设直线OP的解析式为y＝kx，

由（1）知，P（b， ），

即bk＝ ，

∴k＝ ，

∴直线OP的解析式为y＝ ，

∵F点的横坐标为a，且点F在直线OP上，

∴F点的纵坐标为 ，

即F（a， ），

故答案为：y＝ ，（a， ）；

（3）∵E（b， ），F（a， ），

∴EF∥x轴，

又∵DP∥x轴，

∴EF∥DP，

∵DF∥PE，

∴四边形DFEP是平行四边形，

又∵DG⊥x轴，

∴DG⊥EF，

∴平行四边形DFEP是矩形，

故答案为：EF∥DP，矩形；

（4）∵四边形DFEP是矩形，

∴CD＝CP，DE＝2CD，

∴∠CDP＝∠CPD，

∴∠OCD＝∠CDP+∠CPD＝2∠CPD，

由题知，DE＝2OD，

∴OD＝DC，

即∠DOP＝∠OCD，

∵DP∥x轴，

∴∠POB＝∠CPD，

即∠DOP＝2∠POB，

∴∠AOB＝∠DOP+∠POB＝3∠POB，

即∠POB＝ ∠AOB．