期末测试
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2023·邵阳)下列四个图形中，是中心对称图形的是( A )
2．(2023·郴州)一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是( C )
3．计算－的结果为( A )
A．1 B．－1 C． D．
4．(2023·金昌)如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝( C )
A．20° B．25° C．30° D．35°
sup7() sup7() sup7() sup7()
5．若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是( A )
A．－2 B．2 C．－50 D．50
6．如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝.将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′.则线段AA′的长为( B )
A．1 B． C． D．
7．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是( C )
A．12 B．13 C．14 D．15
8．(2023·泸州)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为( A )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．利用一次函数y＝ax＋b的图象解关于x的不等式ax＋b＜0.若它的解集是x＞－2，则一次函数y＝ax＋b的图象为( A )
10．如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空題(每小題3分，共15分)
11．若分式的值为0，则x的值为__2__．
12．因式分解：－a3＋2a2－a＝__－a(a－1)2__．
13．某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为__－＝30__．
14．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，则DE＝__4__．
sup7() sup7()
15．有一张一个角为30°，最小边长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是__8＋4或16__．
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16．(8分)(2023·徐州)解不等式组
解：解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞－8，∴不等式组的解集为：－8＜x≤2
17．(9分)(2023·娄底)先化简，再求值：(－)÷，其中x满足x2－3x－4＝0.
解：原式＝[－]÷＝·(x＋1)(x－1)＝x2－3x－2，∵x2－3x－4＝0，∴x2－3x＝4，∴原式＝4－2＝2
18．(9分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，已知Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C；
(2)平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
sup7() sup7()
解：(1)(2)如图所示
(3)旋转中心的坐标为(0，－2)
19．(9分)(2023·扬州)甲、乙两名学生到离校2.4 km的人民公园参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车的速度是步行速度的4倍，甲出发30 min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
解：设甲同学步行的速度为x km/h，则乙同学骑自行车的速度为4x km/h，由题意，得－＝，解得x＝3.6，经检验，x＝3.6是原方程的解，且符合题意，∴4x＝4×3.6＝14.4，答：乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h
20．(9分)(2023·株洲)如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点．
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．
解：(1)∵点D，E分别为AB，AC的中点，点G，F分别为BH，CH的中点，∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，∴DE∥GF，DE＝GF，∴四边形DEFG为平行四边形 (2)∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2，∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°，∴BG＝＝＝，即线段BG的长度为
21．(10分)发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
解：验证：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15＝5×3，∴(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍
(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2.它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝5(n2＋2).∵n是整数，∴n2＋2是整数．∴它们的平方和是5的(n2＋2)倍
延伸：设三个连续整数的中间一个为m，则其余的2个整数分别是m－1，m＋1.它们的平方和为(m－1)2＋m2＋(m＋1)2＝3m2＋2.∵m是整数，∴m2是整数．∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2
22．(10分)(2023·南通)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 |
每天施工面积(单位：m2) |
每天施工费用(单位：元) |
甲 |
x＋300 |
3600 |
乙 |
x |
2200 |
信息二
甲工程队施工1800 m2所需天数与乙工程队施工1200 m2所需天数相等． |
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000 m2.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
解：(1)根据题意，得＝，解得x＝600，经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．答：x的值为600 (2)设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工(22－m)天，根据题意，得(600＋300)m＋600(22－m)≥15000，解得m≥6，设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m＋2200(22－m)，即w＝1400m＋48400，∵1400＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝1400×6＋48400＝56800.答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用
23．(11分)在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD.
(1)如图，当α＝60°时，△ABD是等边三角形吗？请说明理由；
(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为G，连接CE.当∠DAG＝∠ACB，60°<∠C<90°，且线段DG与线段AE无公共点时，判断CE与AB的关系，并说明理由．(请在备用图中将图形补充完整)
解：(1)当α＝60°时，△ABD是等边三角形，理由如下：
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝60°.∴△ABD是等边三角形
(2)CE与AB互相垂直且平分．理由如下：如图，∵△ABC旋转α得到△ADE，∴AC＝AE，∠CAB＝EAD.∵∠DAG＝∠ACB，∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°.又∵∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC.∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC.∴∠BAE＝∠BAC.∴AB⊥CE，且CH＝HE.∵AC＝BC，∴AB⊥CE，∴AH＝BH.∴CE与AB互相垂直平分