第一次月考卷

（满分100分，完卷时间90分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．

一．选择题（共10小题）

1．（宁波）二次根式 中字母x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤2

【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，

解得x≥2．

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2．（宝坻区一模）设x、y为实数，且 ，则|x﹣y|的值是（　　）

A．1 B．5 C．2 D．0

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可确定x的值，进而求得y的值，则所求代数式即可求解．

【解答】解：根据题意得： ，

解得：x＝3．

则y＝2．

则|x﹣y|＝|2﹣3|＝1．

故选：A．

【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

3．（上城区期末）若a＜3，则化简 +|4﹣a|的结果是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2a﹣7 D．7﹣2a

【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的意义化简即可．

【解答】解：∵a＜3，

∴ +|4﹣a|

＝|a﹣3|+|4﹣a|

＝3﹣a+（4﹣a）

＝3﹣a+4﹣a

＝7﹣2a．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，绝对值的意义，合并同类项，比较简单．

4．（拱墅区校级月考）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．

【解答】解：A． 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B． 是最简二次根式，故本选项符合题意；

C． 的被开方数的因式不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D． 的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．

5．（拱墅区校级月考）下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据二次根式的性质和加减法法则进行运算即可．

【解答】解：A，原式＝ ，原说法错误，不符合题意；

B，原式＝|x﹣3|，原说法错误，不符合题意；

C， 和 不是同类二次根式，不能合并，原说法错误，不符合题意；

D，原式＝|3﹣2 |＝3﹣2 ，原说法正确，符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，二次根式的加减法等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题基础．

6．（拱墅区校级月考）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）

A． B．ax²+bx+c＝0

C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x³﹣2xy﹣5y²＝0

【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．

【解答】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；

B．当a＝0时，该方程的二次项系数为0，不是关于x的一元二次方程，故本选项不合题意；

C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

D．该方程中含有两个未知数，故本选项不合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

7．（拱墅区校级月考）已知关于x的一元二次方程x²+bx﹣4＝0，则下列关于该方程的根的判断正确的是（　　）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数与实数b的取值有关

【分析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．

【解答】解：x²+bx﹣4＝0，

Δ＝b²﹣4×1×（﹣8）＝b²+32，

∵不论b为何值，b²≥0，

∴Δ＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当b²﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b²﹣4ac＜0时，方程没有实数根．

8．（嘉定区期中）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x²﹣10x+m＝0的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（　　）

A．4 B．5 C．4或6 D．4或5

【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．

【解答】解：设底边为a，

分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4＝10，

解得：a＝6，

即此时底边为6，

②底边为4，腰长为10÷2＝5，

即底边长为4或6，

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

9．（拱墅区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．下列结论：①若关于x的方程x²+hx+2＝0是倍根方程，则h＝±3；②方程x²+2x﹣8＝0是倍根方程；③若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则4m²+5mn+n²＝0；④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px²﹣q＝0是倍根方程，其中正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【分析】①设x₂＝2x₁，得到x₁•x₂＝2x₁²＝2，得到当x₁＝1时，x₂＝2，当x₁＝﹣1时，x₂＝﹣2，于是得到结论；

②通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；

③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；

④通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断．

【解答】解：①关于x的方程x²+hx+2＝0是倍根方程，

∴设x₂＝2x₁，

∴x₁•x₂＝2x₁²＝2，

∴x₁＝±1，

当x₁＝1时，x₂＝2，

当x₁＝﹣1时，x₂＝﹣2，

∴x₁+x₂＝﹣h＝±3，

∴h＝±3，故①正确；

②由x²+2x﹣8＝0，得

（x+4）（x﹣2）＝0，

解得x₁＝﹣4，x₂＝2，

∵x₁≠2x₂或x₂≠2x₁，

∴方程x²+2x﹣8＝0不是倍根方程．

故②错误；

③∵（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0），

∴x₁＝2，x₂＝﹣ ，

∵关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，

∴2＝﹣ ，

∴m＝﹣n，

∴4m²+5mn+n²＝4n²﹣5n²+n²＝0，

故③正确；

④∵px²﹣q＝0，q＝2p，

∴px²﹣2p＝0，

∵p≠0，

∴x²＝2，

∴x₁＝ ，x₂＝﹣ ，

∵x₁≠2x₂或x₂≠2x₁，

∴方程x²+2x﹣8＝0不是倍根方程．

∴关于x的方程px²﹣q＝0不是倍根方程；故④错误；

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．

10．（衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）²＝461 B．180（1+x）²＝461

C．368（1﹣x）²＝442 D．368（1+x）²＝442

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）²，如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．

【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）²＝461，

故选：B．

【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）²＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

二．填空题（共8小题）

11．（杭州期末）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m²，那么小道进出口的宽度应为　1　米．

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．

【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，

整理，得x²﹣35x+34＝0．

解得，x₁＝1，x₂＝34．

∵34＞30（不合题意，舍去），

∴x＝1．

答：小道进出口的宽度应为1米．

故答案为：1．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m²找到正确的等量关系并列出方程．

12．（许昌一模）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程应为　200+200（1+x）+200（1+x）²＝1000　．

【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×（1+增长率）＝三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000，把相应数值代入即可求解．

【解答】解：二月份的营业额为200×（1+x），三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，

为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）²＝1000．

【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）²＝b；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．

13．（山阳县期末）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，点P从A点开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向边C点以2cm/s的速度移动，若P、Q分别从A、B点同时出发，则经过　2或4　秒，△PBQ的面积等于8cm²．

【分析】设经过x秒钟，△PBQ的面积等于8cm²，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．

【解答】解：设经过x秒以后△PBQ面积为8cm²，根据题意得

（6﹣x）×2x＝8，

整理得：x²﹣6x+8＝0，

解得：x＝2或x＝4．

答：2或4秒后△PBQ的面积等于8cm²．

故答案为2或4．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于8cm²”，得出等量关系是解决问题的关键．

14．（拱墅区校级月考）对于实数m，n，我们定义一种运算为：m※n＝mn+m﹣n，则（a+b）※（a﹣b）＝　a²﹣b²+2b　，则方程x※（2※x）＝﹣3的解是　x＝﹣1　．

【分析】直接利用运算公式结合乘法公式以及整式的加减运算法则化简，再结合方程的解法得出答案．

【解答】解：（a+b）※（a﹣b）

＝（a+b）（a﹣b）+a+b﹣（a﹣b）

＝a²﹣b²+a+b﹣a+b

＝a²﹣b²+2b，

x※（2※x）＝﹣3，

x※（2x+2﹣x）＝﹣3，

x※（x+2）＝﹣3，

x（x+2）+x﹣（x+2）＝﹣3，

x²+2x+x﹣x﹣2＝﹣3，

x²+2x+1＝0，

（x+1）²＝0，

解得：x₁＝x₂＝﹣1

故答案为：a²﹣b²+2b，x＝﹣1．

【点评】此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确化简各式是解题关键．

15．（柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m²﹣m＝3，n²﹣n＝3，那么代数式2n²﹣mn+2m+2021＝　2032　．

【分析】由题意可知m，n是x²﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n²＝n+3，利用它们可以化简2n²﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值．

【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m²﹣m＝3，n²﹣n＝3，

所以m，n是x²﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，

则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，

又n²＝n+3，

则2n²﹣mn+2m+2021

＝2（n+3）﹣mn+2m+2021

＝2n+6﹣mn+2m+2021

＝2（m+n）﹣mn+2027

＝2×1﹣（﹣3）+2027

＝2+3+2027

＝2032．

故答案为：2032．

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．

16．（柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简： + + ＝　2n﹣2m﹣1　．

【分析】根据 ＝|a|化简即可．

【解答】解：根据数轴得：n＞0，m＜n，m＜﹣1，

∴m﹣n＜0，m+1＜0，

∴原式＝n+n﹣m﹣（m+1）

＝n+n﹣m﹣m﹣1

＝2n﹣2m﹣1．

故答案为：2n﹣2m﹣1．

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，根据数轴判断出绝对值里面的数的正负是解题的关键．

17．（莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2 和2，则图中阴影部分的面积是　2　．

【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积．

【解答】解：设正三角形的边长为a，则 a²× ＝2 ，

解得a＝2 ．

则图中阴影部分的面积＝2 × ﹣2＝2．

故答案是：2．

【点评】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽．

18．（岳阳县校级模拟）一元二次方程（a﹣1）x²﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是　a≤2且a≠1　

【分析】由一元二次方程（a﹣1）x²﹣2x+1＝0有实数根，则a﹣1≠0，即a≠1，且△≥0，即Δ＝（﹣2）²﹣4（a﹣1）＝8﹣4a≥0，然后解两个不等式得到a的取值范围．

【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x²﹣2x+1＝0有实数根，

∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有Δ＝（﹣2）²﹣4（a﹣1）＝8﹣4a≥0，解得a≤2，

∴a的取值范围是a≤2且a≠1．

故答案为a≤2且a≠1．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b²﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．

三．解答题（共6小题）

19．（柯桥区月考）化简：

（1） ．

（2） ．

【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；

（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：（1）原式＝4﹣ ﹣

＝4﹣ ；

（2）原式＝

＝ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

20．（柯桥区月考）解方程：

（1）x²﹣6x﹣9＝0；

（2）9（2x+3）²＝16（1﹣3x）²．

【分析】（1）利用配方法求解即可；

（2）利用直接开平方法求解即可．

【解答】解：（1）∵x²﹣6x﹣9＝0，

∴x²﹣6x＝9，

则x²﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）²＝18，

∴x﹣3＝ ，

∴x₁＝3+3 ，x₂＝3﹣3 ；

（2）∵9（2x+3）²＝16（1﹣3x）²，

∴3（2x+3）＝4（1﹣3x）或3（2x+3）＝﹣4（1﹣3x），

解得x₁＝ ，x₂＝ ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

21．（湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m²？

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．

【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得

x（25﹣2x+1）＝80，

化简，得x²﹣13x+40＝0，

解得：x₁＝5，x₂＝8，

当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．

22．（诸暨市月考）阅读下列两则材料，回答问题．

材料一：我们将（ ）与（ ）称为一对“对偶式”．因为（ ）（ ）＝ ﹣ ＝a﹣b，所以构造“对偶式”相乘可以有效地将（ ）和（ ）中的“ ”去掉．

例如：已知 ＝2，求 的值．

解：（ ）×（ ）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10．

∵ ＝2，

∴ ＝5．

材料二：如图，点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x₂，y₁），于是AC＝|x₁﹣x₂|，BC＝|y₁﹣y₂|，所以AB＝ ．反之，可将代数式 的值看作点（x₁，y₁）到点（x₂，y₂）的距离．

例如： ．所以可将代数式 的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．

（1）利用材料一，已知： ＝2，其中x≤4；求 值；

（2）利用材料二，求代数式 的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围．

【分析】（1）根据材料一的方法直接计算，即可得出结论；

（2）先化简 ＝ + ，进而得出 可以看作是点（x，y）点（1，8），（﹣2，2）的距离之和，再用材料二的方法即可得出结论．

【解答】解：（1）（ + ）（ + ）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16，

∵ + ＝2，

∴ + ＝8；

（2）∵

＝ +

∴ 可以看作是点（x，y）点（1，8），（﹣2，2）的距离之和，

∴ 的最小值点（x，y）点（1，8），（﹣2，2）的距离之和最小，

即点（1，8）和点（﹣2，2）的距离，此时，点（x，y）在过点（1，8），（﹣2，2）的线段上，

∴ 的最小值为 ＝3 ，

设过点（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为y＝kx+b，

∴ ，

∴ ，

∴y＝2x+6，

∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1），

即原代数式的最小值为3 ，此时y＝2x+6（﹣2≤x≤1）．

【点评】此题主要考查了学生的阅读能力和理解能力，掌握两个材料是解本题的关键．

23．（东台市期中）某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．

设销售单价定为x元．据此规律，请回答：

（1）商店日销售量减少　20（x﹣10）　件，每件商品盈利　（x﹣8）　元（用含x的代数式表示）；

（2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？

【分析】（1）根据题目的条件：销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，填空即可；因为每件商品的成本为8元，所以每件商品盈利（x﹣8）元；

（2）由利润＝每件利润×销售数量建立方程求出其解即可．

【解答】解：

（1）∵销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，

∴商店日销售量减少20（x﹣10）件，

∵每件商品的成本为8元．

∴每件商品盈利为（x﹣8）元，

故答案为：20（x﹣10）（x﹣8）；

（2）由题意可得：

（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，

解得：x₁＝12 x₂＝16（舍）．

答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求利润的公式列出方程．

24．（工业园区校级期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax²+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+ cx+b＝0必有实数根；

（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax²+ cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12 ，求△ABC面积．

【分析】（1）任意取直角三角形的三边长，根据“勾系一元二次方程”的定义写出符合条件的方程即可；

（2）计算Δ并变形可得：Δ＝2（a﹣b）²≥0，可得结论；

（3）当x＝﹣1时，有a﹣ c+b＝0，即a+b＝ c，由2a+2b+ c＝12，得c＝4，推出a²+b²＝c²＝32，a+b＝4 ，由（a+b）²＝a²+2ab+b²，可得ab＝8，由此即可解决问题．

【解答】（1）解：∵a，b，c是直角三角形的三边长，

∴取a＝3，b＝4，c＝5，

∴3x²+5 x+4＝0是勾系一元二次方程（答案不唯一）；

（2）证明；ax²+ cx+b＝0，

∵Δ＝（ c）²﹣4ab

＝2c²﹣4ab，

∵a²+b²＝c²，

∴Δ＝2（a²+b²）﹣4ab＝2（a﹣b）²≥0，

∴关于x的“勾系一元二次方程”ax²+ cx+b＝0必有实数根；

（3）解：∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax²+ cx+b＝0的一个根，

∴ ， ，

∵四边形ACDE的周长是 ，

∴2a+2b+ c＝12 ，

∴3 c＝12 ，

∴c＝4，

∴a²+b²＝c²＝16， ，

∴（a+b）²＝32，

∴a²+2ab+b²＝32，

∴ab＝8，

∴S_△ABC＝ ab＝ ×8＝4．

【点评】本题是新定义：“勾系一元二次方程”的理解和运用，主要考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考常考题型．

声明：试题