【324310】2024八年级数学下册 专题突破 期末复习6 四边形期末复习之存在性问题专题复习(含解
期末复习6
四边形期末复习之存在性问题专题复习
1.(东阳市期末)如图,四边形OBAC是矩形,OC=2,OB=6,反比例函数y=
的图象过点A.
(1)求k的值.
(2)点P为反比例图象上的一点,作PD⊥直线AC,PE⊥x轴,当四边形PDCE是正方形时,求点P的坐标.
(3)点G为坐标平面上的一点,在反比例函数的图象上是否存在一点Q,使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)先求出点A坐标,代入解析式可求解;
(2)分两种情况讨论,由正方形的性质可求解;
(3)由平行四边形的面积为14,可求点Q坐标,再分AB为边和对角线两种情况讨论,由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解.
【解答】解:(1)∵OC=2,OB=6,
∴点C(2,0),点B(0,6),点A(2,6),
∵反比例函数y=
的图象过点A,
∴k=2×6=12;
(2)∵k=12,
∴反比例函数解析式为:y=
,
设点P(a,
),
∵四边形PDCE是正方形,
∴PD=PE,
当点P在第一象限时,
∴
=a﹣2,
∴a1=
+1,a2=1﹣
(舍去)
∴点P(
+1,
﹣1);
当点P在第三象限,
∴﹣
=2﹣a,
∴a1=
+1(舍去),a2=1﹣
,
∴点P(1﹣
,﹣1﹣
);
综上所述:点P坐标为(
+1,
﹣1)或(1﹣
,﹣1﹣
);
(3)设点Q坐标为(b,
),
若AB为边,
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14,
∴2×|6﹣
|=14,
∴b1=﹣12,b2=
,
∴点Q(﹣12,﹣1)或(
,13),
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形,
∴AB=QG=2,AB∥QG,
∴点G(﹣10,﹣1)或(﹣14,﹣1)或(
,13)或(﹣
,13);
若AB为对角线,
设点G(x,y),
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形,
∴AB与QG互相平分,
∴
=
,
=
或
=
,
=
,
∴x1=14,y1=13,或x2=
,y2=﹣1,
∴点G(14,13)或(
,﹣1),
综上所述:点G的坐标为(﹣10,﹣1)或(﹣14,﹣1)或(
,13)或(﹣
,13)或(14,13)或(
,﹣1).
2.(丽水期中)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,点E是AB边上的动点,作∠EDQ=60°交BC于点Q,点P在AD上,PD=PE.
(1)求证:AE=BQ;
(2)连接PQ,EQ,当∠PEQ=90°时,求
的值;
(3)当AE为何值时,△PEQ是等腰三角形.
【分析】(1)如图1中,连接BD.证明△ADE≌△BDQ(SAS)即可.
(2)如图2中,连接EQ,PQ,BD.首先证明△DEQ是等边三角形,求出DE,证明四边形APQB是平行四边形即可.
(3)分两种情形:如图3﹣1中,当QP=QE时,作QM⊥CD于M.求出CQ即可.如图3﹣2中,当PE=QE时,点E与B重合,点P与A重合,点Q与C重合,此时AE=AB=2.
【解答】(1)证明:如图1中,连接BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠A=∠C=60°,AB=BC=BD=CD,
∴△ABD,△BDC都是等边三角形,
∴∠A=∠DBQ=60°,AD=DB,
∵∠ADB=∠EDQ=60°,
∴∠ADE=∠BDQ,
∴△ADE≌△BDQ(ASA),
∴AE=BQ.
(2)解:如图2中,连接EQ,PQ,BD.
∵△ADE≌△BDQ,
∴DE=DQ,
∵∠EDQ=60°,
∴△DEQ是等边三角形,
∴DE=DQ=EQ,∠DEQ=60°,
∵∠PEQ=90°,
∴∠PED=30°,
∵PD=PE,
∴∠PDE=∠EPD=30°,
∵∠A=60°,
∴∠AED=90°,
∴DE⊥AB,∵AB=2
∴AE=EB=1
∴DE=
∵PD=PE,QD=QE,
∴PQ⊥DE,
∴PQ∥AB,∵AD∥BC,
∴四边形PQBA是平行四边形,
∴PQ=AB=2
∴
=
.
(3)解:如图3﹣1中,当QP=QE时,作QM⊥CD于M.
∵QD=QE=QP,QP垂直平分线段DE,
∴∠DQP=∠EQP=30°,
∴∠ADQ=75°,
∵∠ADC=120°,
∴∠QDM=45°,设CM=a,则CQ=2a,DM=QM=
a,
∵CD=AB=2,
∴a+
a=2,
∴a=
﹣1.
∴CQ=2
﹣2,
∴AE=BQ=BC﹣CQ=4﹣2
.
如图3﹣2中,当PE=QE时,点E与B重合,点P与A重合,点Q与C重合,此时AE=AB=2.
综上所述,满足条件的AE的值为4﹣2
或2.
3.(湖州)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2
,△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称.
(1)当OB=2时,求点D的坐标;
(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长;
(3)如图2,将(2)中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=
(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)如图1中,作DE⊥x轴于E,解直角三角形清楚DE,CE即可解决问题;
(2)设OB=a,则点A的坐标(a,2
),由题意CE=1.DE=
,可得D(3+a,
),点A、D在同一反比例函数图象上,可得2
a=
(3+a),清楚a即可;
(3)分两种情形:①如图2中,当点A1在线段CD的延长线上,且PA1∥AD时,∠PA1D=90°.
②如图2中,利用勾股定理的逆定理,构建方程分别求解;
【解答】解:(1)如图1中,作DE⊥x轴于E.
∵∠ABC=90°,
∴tan∠ACB=
=
,
∴∠ACB=60°,
根据对称性可知:DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°,
∴∠DCE=60°,
∴∠CDE=90°﹣60°=30°,
∴CE=1,DE=
,
∴OE=OB+BC+CE=5,
∴点D坐标为(5,
).
(2)设OB=a,则点A的坐标(a,2
),
由题意CE=1.DE=
,可得D(3+a,
),
∵点A、D在同一反比例函数图象上,
∴2
a=
(3+a),
∴a=3,
∴OB=3.
(3)存在.理由如下:
①如图2中,当点A1在线段CD的延长线上,且PA1∥AD时,∠PA1D=90°.
在Rt△ADA1中,∵∠DAA1=30°,AD=2
,
∴AA1=
=4,
在Rt△APA1中,∵∠APA1=60°,
∴PA=
,
∴PB=
,
由(2)可知P(3,
),
∴k=10
.
②如图2中,由题意D(6,
),设P(3,
),A1(3+h,2
),D1(6+h,
),
则PD2=32+(
﹣
)2,DA12=(3﹣h)2+(
)2,PA12=h2+(
﹣2
)2,
当∠PA1D=90°时,32+(
﹣
)2=(3﹣h)2+(
)2+h2+(
﹣2
)2,
又∵
(6+h)=3,
可得k=10
,
当∠PDA1=90°时,同法可得k=12
,
综上所述,k的值为10
或12
.
4.(永康市期末)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A在x轴上,B,C在第一象限,反比例函数y=
(k≠0)的图象经过点C,交AB于D,已知OC=12,OA=4
,∠AOC=60°
(1)求反比例函数y=
(k≠0)的函数表达式;
(2)连接CD,求△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一个动点,以AP为一边,在AP的右上方作正方形APEF,在点P的运动过程中,是否存在一点P使顶点E落在▱OABC的边所在的直线上,若存在,请求出此时OP的长,若不存在,请说明理由.
【分析】(1)过点C作CG⊥x轴于点G,构造含60°角的Rt△OCG,利用OC=12和∠AOC的正弦余弦值,即求得OG、CG的长,得到点C坐标,用待定系数法即求得反比例函数表达式.
(2)由平行四边形OABC边长OA=4
可求得点B坐标,进而求直线AB解析式.把直线AB解析式和反比例函数解析式联立方程组,求解即得到点D坐标.过点D作DH⊥BC于点H,易得S△BCD=
BC•DH,代入计算即求得△BCD的面积.
(3)求直线OC解析式,设点P横坐标为m,用m表示其纵坐标.过点P作PM⊥x轴于点M,过点E作EN⊥直线PM于点N,由正方形APEF性质即可证△PNE≌△AMP,可得PN=AM=4
,NE=PM,即得到用m表示点E坐标.由于点E可能落在▱OABC的边OC、BC、AB上,故需分类讨论.①落在OC上时,把点E坐标代入直线OC解析式,解方程求m即得到点P坐标,进而求OP的长;②落在BC上,则点E纵坐标等于点C纵坐标,列得方程;③落在AB上,把点E坐标代入直线AB解析式再解方程.
【解答】解:(1)如图1,过点C作CG⊥x轴于点G
∴∠OGC=90°
∵OC=12,∠AOC=60°
∴cos∠AOC=
,sin∠AOC=
∴OG=
OC=6,CG=
OC=6
∴C(6,6
)
∵反比例函数y=
(k≠0)的图象经过点C
∴6
=
解得:k=36
∴反比例函数的函数表达式为y=
(2)如图2,过点D作DH⊥BC于点H
∵OA=4
,点A在x轴上
∴A(4
,0)
∵四边形OABC是平行四边形
∴BC∥OA,BC=OA=4
∴xB=xC+BC=6+4
,yB=yH=yC=6
∴B(6+4
,6
)
设直线AB解析式为y=ax+b
∴
解得:
∴直线AB:y=
x﹣12
∵点D为线段AB与反比例函数图象的交点
∴
解得:
或
(舍去)
∴D(6
,6)
∴DH=6
﹣6
∴S△BCD=
BC•DH=
×4
×(6
﹣6)=36﹣12
(3)存在点P使顶点E落在▱OABC的边所在的直线上.
如图3,过点P作PM⊥x轴于点M,过点E作EN⊥直线PM于点N
∴∠AMP=∠PNE=90°
∵C(6,6
)
∴直线OC解析式为y=
x
∵点P在线段OC上
∴设点P坐标为(m,
m)(0≤m≤6)
∴OM=m,PM=
m
∴AM=OA﹣OM=4
﹣m
∵四边形APEF是正方形
∴AP=PE,∠APE=90°
∴∠EPN+∠APM=∠APM+∠PAM=90°
∴∠EPN=∠PAM
在△PNE与△AMP中
∴△PNE≌△AMP(AAS)
∴PN=AM=4
﹣m,NE=PM=
m
∴xE=xN+NE=m+
m,yE=yN=MN=PM+PN=
m+4
﹣m
∴E(m+
m,
m+4
﹣m)
①若点E落在直线OC上,则
m+4
﹣m=
(m+
m)
解得:m=
∴P(
,3),OP=
②若点E落在直线BC上,则
m+4
﹣m=6
解得:m=3+
∴P(3+
,3
+3),OP=
③若点E落在直线AB上时,直线AB:y=
x﹣12
∴
(m+
m)﹣12=
m+4
﹣m
解得:m=3+
,即点E落在直线BC与直线AB交点处
综上所述,OP=2
或(6+2
)时,点E落在▱OABC的边所在的直线上.
5.(杭州期末)如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=
与y=
(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时.
①若点P的纵坐标为2,求点A和点B的坐标.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.
【分析】(1)①利用反比例函数图象上点的坐标特征,可得出点A,B的坐标;
②由①可得出点B,D,由点P为线段BD的中点可得出点P的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点A,C的坐标,进而可得出PA=PC,结合PB=PD可得出四边形ABCD为平行四边形,再结合BD⊥AC可得出四边形ABCD为菱形;
(2)当四边形ABCD为正方形时,设PA=PB=PC=PD=t(t≠0),利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标,由PA=PB=t可得出点A的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出t=4﹣
,由点B的坐标结合BD=2t可得出点D的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出m+n=32.
【解答】解:(1)①当x=4时,y=
=1,
∴点B的坐标为(4,1);
当y=2时,2=
,解得:x=2,
∴点A的坐标为(2,2).
②四边形ABCD为菱形,理由如下:
由①得:点B的坐标为(4,1),点D的坐标为(4,5),
∵点P为线段BD的中点,
∴点P的坐标为(4,3).
当y=3时,3=
,解得:x=
,
∴点A的坐标为(
,3);
当y=3时,3=
,解得:x=
,
∴点C的坐标为(
,3).
∴PA=4﹣
=
,PC=
﹣4=
,
∴PA=PC.
∵PB=PD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵BD⊥AC,
∴四边形ABCD为菱形.
(2)四边形ABCD能成为正方形.
当四边形ABCD为正方形时,设PA=PB=PC=PD=t(t≠0).
当x=4时,y=
=
,
∴点B的坐标为(4,
),
∴点A的坐标为(4﹣t,
+t).
∵点A在反比例函数y=
的图象上,
∴(4﹣t)(
+t)=m,化简得:t=4﹣
,
∴点D的纵坐标为
+2t=
+2(4﹣
)=8﹣
,
∴点D的坐标为(4,8﹣
),
∴4×(8﹣
)=n,整理,得:m+n=32.
即四边形ABCD能成为正方形,此时m+n=32.
(1)如图1,AC∥DF,Rt△ABC≌Rt△DEF,连结AD,BE,求证:四边形ABED是平行四边形.
【尝试应用】
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B的坐标分别是A(1,3),B(4,1),点C在x轴上,点D在y轴上.若以AB为边,其余两个顶点为C,D的四边形是平行四边形,求点C,D的坐标.
【拓展提高】
(3)如图3,抛物线y=x2﹣4x+3与直线y=x+3交于C,D两点,点E是抛物线上任意一点,在对称轴上是否存在点F,使得以CD为边,其余两个顶点为E,F的四边形是平行四边形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.
【分析】(1)连接CF,先证四边形ADFC是平行四边形,再推导出∠BAD+∠ADE=180°,则有AB∥DE,即可证明;
(2)求出AB=
,再求直线AB的解析式为y=﹣
x+
,由于CD∥AB,CD=AB,设CD的直线解析式为y=﹣
x+m,可求D(0,m),C(
m,0),则CD=
|m|=
,求出m=±2,即可求点的坐标;
(3)先求出C(5,8),D(0,3),设F(2,n),E(t,t2﹣4t+3),由已知可分两种情况①当DF、CE为对角线时,DF的中点为(1,
),CE的中点为(
,
),则1=
,求出t=﹣3,即可求E(﹣3,24);②当DE、CF为对角线时,DE的中点为(
,
),CF的中点为(
,
),则
=
,求出t=7,即可求E(7,24).
【解答】解:(1)连接CF,
∵Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴AC=DF,AB=DE,
∵AC∥DF,
∴四边形ADFC是平行四边形,
∴∠CAD+∠ADF=180°,
∵∠BAC=∠EDF,
∴∠BAD+∠ADE=180°,
∴AB∥DE,
∴四边形ADEB是平行四边形;
(2)∵A(1,3),B(4,1),
∴AB=
,
设AB的直线解析式为y=kx+b,
则有
,
∴
,
∴直线AB的解析式为y=﹣
x+
,
∵四边形是以AB为边,
∴CD∥AB,CD=AB,
设CD的直线解析式为y=﹣
x+m,
∵D点在y轴上,C点在x轴上,
∴D(0,m),C(
m,0),
∴CD=
=
|m|,
∴
|m|=
,
∴m=±2,
∴D(0,2),C(3,0)或D(0,﹣2),C(﹣3,0);
(3)存在,理由如下:
∵抛物线y=x2﹣4x+3与直线y=x+3交于C,D两点,
∴x2﹣4x+3=x+3,
解得x=0或x=5,
∴C(5,8),D(0,3),
∵抛物线对称轴为直线x=2,
设F(2,n),E(t,t2﹣4t+3),
∵平行四边形是以CD为边,
①当DF、CE为对角线时,
DF的中点为(1,
),CE的中点为(
,
),
∴1=
,
∴t=﹣3,
∴E(﹣3,24);
②当DE、CF为对角线时,
DE的中点为(
,
),CF的中点为(
,
),
∴
=
,
∴t=7,
∴E(7,24);
综上所述:满足条件的E点坐标为(﹣3,24)或(7,24).
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