选择、填空易错题集合

一．选择题（共19小题）

1．估计 在（　　）

A．0～1之间 B．1～2之间 C．2～3之间 D．3～4之间

【分析】根据二次根式的性质得出 ，即：2 ，可得答案．

【解答】解：∵ ，

即：2 ，

∴ 在2到3之间．

故选：C．

2．（丽水期末）设实数 的整数部分为a，小数部分为b．则b²+2ab的值为（　　）

A．1 B．4 ﹣5 C．3 D．﹣3

【分析】先估算 的近似值，确定a、b的值，再代入计算即可．

【解答】解：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，

∴a＝2，b＝ ﹣2，

∴b²+2ab

＝（ ﹣2）²+2×2×（ ﹣2）

＝3，

故选：C．

3．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

成绩/m	1.50	1.60	1.65	1.70	1.75	1.80
人数	2	3	2	3	4	1

则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　）

A．1.65、1.70 B．1.65、1.75 C．1.70、1.75 D．1.70、1.70

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

【解答】解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；

跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；

故选：C．

4．（嘉兴期末）已知A，B两家酒店2020年下半年的月营业额折线统计图（如图），下列说法错误的是（　　）

A．A酒店这半年的月营业额的中位数是2.2百万元．

B．B酒店这半年的月营业额的众数是1.7百万元．

C．A酒店这半年的月营业额一直保持增长状态．

D．B酒店这半年的月营业额11月至12月的增长率最大．

【分析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．

【解答】解：从折线统计图可得：

A、A酒店这半年的月营业额的中位数是 ＝2.45（百万元），故本选项错误，符合题意；

B、小B酒店这半年的月营业额的众数是1.7百万元，正确，不符合题意；

C、A酒店这半年的月营业额一直保持增长状态，正确，不符合题意；

D、B酒店这半年的月营业额11月至12月的增长率最大，正确，不符合题意；

故选：A．

5．（西湖区校级期末）下列根式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．

【解答】解：A、 ＝ ＝3 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

B、 是最简二次根式，符合题意；

C、 ＝ ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

D、 ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

故选：B．

6．（金华期末）已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x²﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（　　）

A． B． C．13 D．5

【分析】求出已知方程的解得到两直角边长，利用勾股定理求出斜边即可．

【解答】解：方程x²﹣5x+6＝0，

分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，

解得：x＝2或x＝3，

根据勾股定理得：斜边为 ＝ ，

故选：A．

7．（金华期末）关于x的方程m²x²﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【分析】根据公式法或因式分解法解方程，根据方程的解为正整数及m为整数，即可确定出m的值．

【解答】解：m²x²﹣8mx+12＝0，

解法一：Δ＝（﹣8m）²﹣4m²×12＝16m²，

∴x＝ ＝ ，

∴x₁＝ ，x₂＝ ，

解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，

∴x₁＝ ，x₂＝ ，

∵关于x的方程m²x²﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，

∴ ＞0， ＞0，

∴m＝1或2或3或6，

则满足条件的m的值的个数是4个，

故选：B．

8．如果关于x的一元二次方程kx²﹣ x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）

A．k＜ B．k＜ 且k≠0

C．﹣ ≤k＜ D．﹣ ≤k＜ 且k≠0

【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．

【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，Δ＝2k+1﹣4k＞0，

∴ ≤k＜ ，且k≠0．

故选：D．

9．（浦江县期末）已知点A（﹣2，y₁），B（﹣1，y₂），C（3，y₃）都在反比例函数y＝﹣ 图象上，则（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₃＜y₁＜y₂ C．y₂＜y₁＜y₃ D．y₃＜y₂＜y₁

【分析】把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y₁、y₂、y₃的值，然后比较它们的大小．

【解答】解：∵点A（﹣2，y₁），B（﹣1，y₂），C（3，y₃）都在比例函数y＝﹣ 图象上，

∴y₁＝﹣ ＝2，y₂＝﹣ ＝4，y₃＝﹣ ．

∴y₃＜y₁＜y₂，

故选：B．

10．（高青县二模）某数学小组在研究了函数y₁＝x与 性质的基础上，进一步探究函数y＝y₁+y₂的性质，经过讨论得到以下几个结论：

①函数y＝y₁+y₂的图象与直线y＝3没有交点；

②函数y＝y₁+y₂的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝±4；

③点（a，b）在函数y＝y₁+y₂的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y₁+y₂的图象上．

以上结论正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．②③ D．①③

【分析】①根据题意得出y与x的函数关系式，当y＝3时，解得x，若方程无解，说明两个函数图象无交点，

②当y＝a时，得出一个一元二次方程，两个函数的图象只有一个交点，说明方程有一个解，或由两个相同的实数根，让根的判别式为0即可，

③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a+ ，再将x＝﹣a代入函数关系式中，得出结论，和﹣b判断，即可得出结论．

【解答】解：①由题意得，y＝x+ ，

当y＝3时，即：3＝x+ ，

也就是x²﹣3x+4＝0，

∵△＝9﹣16＜0，

∴此方程无实数根，

故，y＝x+ 与y＝3无交点，因此①正确，

②由①得，

当y＝a时，即：a＝x+ ，

也就是x²﹣ax+4＝0，

当△＝a²﹣16＝0时，函数y＝y₁+y₂的图象与直线y＝a只有一个交点，

此时，a＝±4，因此②正确，

③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a+ ，将x＝﹣a代入函数关系式中，得出﹣a﹣ ＝﹣（a+ ）＝﹣b，

则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y₁+y₂的图象上．

因此③正确，

故选：B．

11．（宁夏）如图，函数y₁＝x+1与函数y₂＝ 的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y₁＞y₂，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1

C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1

【分析】观察函数y₁＝x+1与函数 的图象，即可得出当y₁＞y₂时，相应的自变量x的取值范围．

【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，

故选：D．

12．（梁山县一模）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE²+CF²等于（　　）

A．75 B．100 C．120 D．125

【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE²+CF²＝EF²，进而可求出CE²+CF²的值．

【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，

∴△EFC为直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，

∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，

由勾股定理可知CE²+CF²＝EF²＝100．

故选：B．

13．（东阳市期末）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝6 ，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该四边形的面积是（　　）

A．3 B．6 C． D．81

【分析】由平行四边形的性质可得∠DEC＝∠ACB＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AE＝CE＝DE，根据含30°的直角三角形的性质可求解AC的长，即可求得DE＝CD＝ ，利用四边形的面积公式可求解．

【解答】解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，BC∥DE，

∴∠DEC＝∠ACB＝90°，

∵AD＝CD，

∴AE＝CE＝DE，

∵∠BAC＝30°，AB＝6 ，

∴BC＝3 ，AC＝9，

∴DE＝CE＝ ，

∴四边形DEBF的面积为：DE•CD＝ ，

故选：C．

14．（北仑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（　　）

A．PE＝PF B．∠EPF＝120° C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB

【分析】根据三角形中位线定理及AD＝BC推出PF＝PE，可判断A；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断B；根据三角形三边关系可判断C．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，

∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，

∴PF＝ BC，PE＝ AD，

∵AD＝BC，

∴PF＝PE，故选项A不合题意；

故△EPF是等腰三角形．

∵∠PEF＝30°，

∴∠PEF＝∠PFE＝30°，

∴∠EPF＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故选项B不符合题意；

∵PF＝ BC，PE＝ AD，PE+PF＞EF，

∴ BC+ AD＞EF，

∴AD+BC＞2EF，故选项C不符合题意；

无法证明AB+CD＞DB，故选项D符合题意；

故选：D．

15．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S_△AOE：S_△BCM＝2：3．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；

②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；

③可证明∠CDE＝∠DFE；

④可通过面积转化进行解答．

【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，

∴OB＝OC，

∵∠COB＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB＝BC，

∵FO＝FC，

∴FB垂直平分OC，

故①正确；

②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，

∴BO⊥EF，BF⊥OC，

∴∠CMB＝∠EOB＝90°，

∴BO≠BM，

∴△EOB与△CMB不全等；

故②错误；

③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，

∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，

∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，

∴∠CDE＝∠DFE，

∴DE＝EF，

故③正确；

④易知△AOE≌△COF，

∴S_△AOE＝S_△COF，

∵S_△COF＝2S_△CMF，

∴S_△AOE：S_△BCM＝2S_△CMF：S_△BCM＝ ，

∵∠FCO＝30°，

∴FM＝ ，BM＝ CM，

∴ ＝ ，

∴S_△AOE：S_△BCM＝2：3，

故④正确；

所以其中正确结论的个数为3个；

故选：B．

16．（浦江县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF，交点为G，CH⊥BF，交BF于点H．若CH＝HG，S_△CFH＝1，那么正方形的面积为（　　）

A．15 B．20 C．22 D．24

【分析】根据AE⊥BF，利用同角的余角相等得出∠EAB＝∠FBC，再根据AAS即可证出△ABG≌△BCH，得BG＝CH，设CH＝x，算出BC＝ ＝ ，设FH为y，分别在△CFH和△CFB中使用勾股定理得y＝ x，再由S_△CFH＝1得x＝2，即可求出正方形的面积．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，

∵AE⊥BF，∠ABC＝90°，

∴∠BAE+∠GBA＝90°，∠FBC+∠GBA＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵CH⊥BF，

∴∠BHC＝90°＝∠AGB，

在△ABG与△BCH中，

，

∴△ABG≌△BCH（AAS），

∴BG＝CH，

设CH＝x，则HG＝BG＝x，

∴BH＝2x，

∴BC＝ ＝ ，

设FH为y，

∵CH⊥BF，

在△CFH中，CF²＝FH²+CH²＝x²+y²，

在△CFB中，CF²＝BF²﹣BC²＝（2x+y）²﹣5x²，

∴x²+y²＝（2x+y）²﹣5x²，

解得：y＝ x，

∴ ＝ ＝1，

∴x＝2，

∴正方形的面积为BC²＝（2 ）²＝20．

故选：B．

17．（南浔区期末）小浔受赵爽弦图的启发，制作了以下图形：将边长为1的正方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至点H、G、F、E，使得AE＝CG、BF＝DH．若∠BFE＝45°，AH＝3AE．则四边形EFGH的面积为（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5

【分析】由正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝1，设AE＝CG＝x，可得BE＝BF＝x+1，AH＝CF＝x+2，由AH＝3AE，可求AE＝1，由面积的和差关系可求解．

【解答】解：设AE＝CG＝x，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，

∵AE＝CG、BF＝DH，

∴EB＝DG，AH＝CF，

∵∠BFE＝45，∠FBE＝90°，

∴∠BFE＝∠BEF＝45°，

∴BE＝BF＝x+1，

∴AH＝CF＝x+2，

∵AH＝3AE，

∴x+2＝3x，

∴x＝1，

∴AE＝GC＝1，BE＝DG＝2＝BF＝DH，AH＝FC＝3，

∴四边形EFGH的面积＝2× ×2×2+2× ×1×3+1×1＝8，

故选：A．

18．（东阳市期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，先假设（　　）

A．每个内角都小于60°

B．每个内角都大于60°

C．没有一个内角小于等于60°

D．每个内角都等于60°

【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可．

【解答】解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即每个内角都小于60°．

故选：A．

19．4张扑克牌如图1所示放在桌子上，小明将其中一张旋转180°后得到如图2所示，那么他所旋转的牌从左起是（　　）

A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张

【分析】根据中心对称图形的定义，将一张扑克牌旋转180°后图形能否与原来的图形重合来判断．

【解答】解：图一中第一、二、三张扑克牌旋转180度后，其中的六个图形不能和原来的图形重合，而第四张旋转180度后正好与原图重合．

故选：D．

二．填空题（共16小题）

20．（新都区模拟）二次根式 中，字母m的取值范围是　m≥ 　．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：由题意得：2m﹣1≥0，

解得：m≥ ，

故答案为：m≥ ．

21．（东阳市期末）若y＝ ，则x+y的值为　 　．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，计算即可．

【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，1﹣2x≥0，

解得：x＝ ，

∴y＝3，

∴x+y＝ +3＝ ，

故答案为： ．

22．若一元二次方程ax²﹣b＝0（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 ＝　4　．

【分析】根据方程的特点知m+1+2m﹣4＝0，据此得出m的值，继而得出两根的具体数值，代入得出答案．

【解答】解：∵一元二次方程ax²﹣b＝0（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，

∴m+1+2m﹣4＝0，

解得m＝1，

∴方程的两根为2、﹣2，

∴4a﹣b＝0，

∴4a＝b，

则 ＝4，

故答案为：4．

23．（嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有　8　个班级．

【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设八年级有x个班，

依题意得： x（x﹣1）＝28，

整理得：x²﹣x﹣56＝0，

解得：x₁＝8，x₂＝﹣7（不合题意，舍去）．

则该校八年级有8个班级．

故答案为：8．

24．（丽水期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．若CD的长为3，则EF的长是　3　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，再根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，CD＝3，

∴AB＝2CD＝6，

∵E，F分别是边AC，BC的中点，

∴EF＝ AB＝3，

故答案为：3．

25．一个n边形的内角和为1080°，则n＝　8　．

【分析】直接根据内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解．

【解答】解：（n﹣2）•180°＝1080°，

解得n＝8．

26．（浦江县期末）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．若∠ACB＝45°，AE＝1，BE＝4，则BF＝　5　．

【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF＝1，然后利用∠ACB＝45°得到BE＝CE＝4，从而得到EF＝3，然后利用勾股定理求得BF的长即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF．

又BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°．

在△ABE与△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE＝CF＝1，

∵∠ACB＝45°，BE＝4，

∴CE＝BE＝4，

∴EF＝EC﹣CF＝4﹣1＝3，

∴BF＝ ＝ ＝5，

故答案为：5．

27．（西湖区校级期末）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝　8　．

【分析】过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BHC＝90°，由平行线的性质可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行线的性质和角平分线的性质可证AE＝AB＝5，由勾股定理可求AO的长，由“ASA”可证△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通过证明四边形AMCF是平行四边形，可得CF＝AM＝8．

【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB+180°，

∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，

∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，

∴∠CBE+∠BCF＝90°，

∴∠BHC＝90°，

∵AM∥CF，

∴∠AOE＝∠BHC＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，

∴AB＝AE＝5，

又∵∠AOE＝90°，

∴BO＝OE＝3，

∴AO＝ ＝ ＝4，

在△ABO和△MBO中，

，

∴△ABO≌△MBO（ASA），

∴AO＝OM＝4，

∴AM＝8，

∵AD∥BC，AM∥CF，

∴四边形AMCF是平行四边形，

∴CF＝AM＝8，

故答案为：8．

28．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝ BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是　4　．

【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h₁，△CGH底边GH上的高为h₂，根据图形可知h＝h₁+h₂．利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S_阴影＝ S_△ABC，由此即可得出结论．

【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h₁，△CGH底边GH上的高为h₂，

则有h＝h₁+h₂．

S_△ABC＝ BC•h＝16，

S_阴影＝S_△AGH+S_△CGH＝ GH•h₁+ GH•h₂＝ GH•（h₁+h₂）＝ GH•h．

∵四边形BDHG是平行四边形，且BD＝ BC，

∴GH＝BD＝ BC，

∴S_阴影＝ ×（ BC•h）＝ S_△ABC＝4．

故答案为：4．

29．（嘉兴期末）在平行四边形ABCD中，若∠A﹣∠B＝70°，则∠A＝　125°　，∠B＝　55°　．

【分析】由在平行四边形ABCD中，若∠A﹣∠B＝70°，根据平行四边形的邻角互补，即可得∠A+∠B＝180°，继而求得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A﹣∠B＝70°，

∴∠A＝125°，∠B＝55°．

故答案为：125°，55°．

30．（金东区期末）如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为　 或 或15　．

【分析】存在三种情况：①作辅助线，构建等腰△BDF，先根据三角形内角和得∠BDC＝∠F，再由等腰三角形三线合一的性质得CD＝CF，最后证明△DCO≌△FCA（AAS），可得结论．②如图2，同理构建直角三角形，利用勾股定理可得结论；③如图3，同理可得结论．

【解答】解：存在三种情况：

①如图1，延长BA和DC交于点F，

∵点A（3，0），点B（3，5），

∴AB⊥x轴，OA＝3，

∵四边形DCBE是矩形，

∴∠DCB＝90°，

∴∠BCF＝∠DCB＝90°，

∵∠CBD＝∠CBF，

∴∠BDC＝∠BFC，

∴BD＝BF，

∴CD＝CF，

在△DCO和△FCA中，

，

∴△DCO≌△FCA（AAS），

∴OC＝AC，

∵AC＝ OA＝ ．

②如图2，过点B作BM⊥y轴于M，则∠BMD＝90°，

∵四边形CDBE是矩形，

∴∠CDB＝90°，

∵∠CBA＝∠CBD，∠CAB＝90°，

∴BD＝BA＝5，AC＝CD，

∵BM＝3，

∴DM＝4，

∴CD＝5﹣4＝1，

设AC＝x，则OC＝3﹣x，CD＝x，

由勾股定理得：CD²＝OD²+OC²，

即x²＝1²+（3﹣x）²，

解得：x＝ ，

∴AC＝ ；

③如图3，过点D作NL∥x轴，交AB的延长线于L，过C作CN⊥NL于N，则∠N＝∠L＝90°，

∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠CBA＝∠CBD，

∴CD＝AC，

设AC＝b，则CD＝b，OC＝DN＝b﹣3，

∵AB＝BD＝5，

∵DL＝3，

∴BL＝4，

∴CN＝AL＝5+4＝9，

由勾股定理得：CN²+DN²＝CD²，

即9²+（b﹣3）²＝b²，

解得：b＝15，

综上，AC的长为 或 或15；

故答案为： 或 或15．

31．（湖州期末）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠BED的度数是　45°　．

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，可求∠BEA＝15°，即可求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°，

∴∠BAE＝150°，AB＝AE，

∴∠AEB＝15°，

∴∠BED＝45°，

故答案为：45°．

32．（乐清市期末）如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且AP＝3，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，连结EF，则EF的长为　3　．

【分析】连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF＝PC，证△ABP≌△CBP，推出AP＝PC即可

【解答】解：连接PC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，

在△ABP与△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA＝PC，

∵PE⊥CD，PF⊥BC，

∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．

又∵∠BCD＝90°，

∴四边形PFCE是矩形，

∴EF＝PC，

∴PA＝EF＝3，

故答案为：3．

33．（金华期末）如图，已知线段AC＝4，线段BC绕点C旋转，且BC＝6，连接AB，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．

（1）若∠ACB＝90°，则AB的值是　2 　；

（2）线段CD长的最大值是　4 +6　．

【分析】（1）由勾股定理可求AB的值；

（2）过点A作AE⊥CA，取AE＝AC，连接BE，CE，由勾股定理可求EC的长，由“SAS“可证△EAB≌△CAD，可得CD＝BE，由三角形的三边关系可求解．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，

∴AB＝ ＝ ＝2 ，

故答案为：2 ，

（2）如图，过点A作AE⊥CA，取AE＝AC，连接BE，CE，

∵AE⊥CA，AE＝AC＝4，

∴EC＝4 ，

∵∠EAC＝90°＝∠BAD

∴∠EAB＝∠CAD，且AC＝AE，AB＝AD，

∴△EAB≌△CAD（SAS）

∴CD＝BE

∵BE≤CE+BC＝4 +6

∴BE的最大值为4 +6

∴CD的最大值为4 +6

故答案为4 +6．

34．（嘉兴期末）若数据x₁，x₂，x₃的平均数是3，则数据2x₁+1，2x₂+1，2x₃+1的平均数是　7　．

【分析】根据数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数加上或减去同一个数，再根据数据都乘以同一个数，平均数乘以这个数，从而得出答案．

【解答】解：∵数据x₁，x₂，x₃的平均数是3，

∴数据2x₁+1，2x₂+1，2x₃+1的平均数是2×3+1＝7．

故答案为：7．

35．（南浔区期末）已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h₁为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h₂为　85　cm（结果精确到1cm，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）．

【分析】连接BD，如图3，根据菱形的性质可得BD＝ h₁，由∠AOB＝120°，可得∠DAB的度数，在Rt△DAB中，解直角三角形可得AD的长度，连接DF，如图4，由题意可知，在Rt△EDF中，∠DEF＝45°，ED＝AD，解直角三角形即可算出FD的长度，即可得出答案．

【解答】解：连接BD，如图3，

由题意可得，BD＝ ＝ ＝30（cm），

∵∠AOB＝120°，

∴∠DAB＝30°，

在Rt△DAB中，

AD＝ ＝30×2＝60（cm），

连接DF，如图4，

由题意可知，

在Rt△EDF中，

∠DEF＝45°，ED＝AD＝60cm，

∴FD＝ED•sin45°＝60× ＝30 ，

∴h₂＝2•FD＝2× ≈85（cm）．

故答案为：85．