应用题专题复习

类型一一元二次方程销售类应用题

1．（拱墅区校级月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）商场有可能每天平均盈利1300元吗？若有可能，应降价多少元？

【分析】（1）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用商场每天销售该种衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件衬衫应降价20元；

（2）商场每天平均盈利不可能达到1300元，设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，利用商场每天销售该种衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出商场每天平均盈利不可能达到1300元．

【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，

依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理得：x²﹣30x+200＝0，

解得：x₁＝10，x₂＝20．

又∵要尽快减少库存，

∴x＝20．

答：每件衬衫应降价20元．

（2）商场每天平均盈利不可能达到1300元，理由如下：

设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，

依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，

整理得：y²﹣30y+250＝0，

∵Δ＝（﹣30）²﹣4×1×250＝﹣100＜0，

∴该方程没有实数根，

∴商场每天平均盈利不可能达到1300元．

2．（温州期末）为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准：

标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；

标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．

（1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为　　元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为　　元．

（2）若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游．

【分析】（1）根据收费标准解答；

（2）设该单位这次共有x名员工去某景点夜游，利用数量＝总价÷单价结合人数为整数可得出20＜x≤24，由总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：（1）由标准一知，当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元；

由标准二知，60﹣（25﹣20）×2＝50（元）．

故答案是：60；50；

（2）设该单位这次共有x名员工去某景点夜游，

∵1232÷60＝20 （人），1232÷50＝24 ，

∴20＜x≤24．

依题意，得：x[60﹣2（x﹣20）]＝1232，

整理，得：x²﹣50x+616＝0，

解得：x₁＝22，x₂＝28（不合题意，舍去）．

答：该单位这次共有22名员工去某景点夜游．

3．（北仑区期末）某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每盒降价多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？

（3）若该网店某星期获得了6480元的利润，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？

【分析】（1）根据每降价1元，每星期可多卖30盒，列出函数关系式即可；

（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题；

（3）根据该网店某星期获得了6480元的利润列出方程求出每盒降价，再求出销售量．

【解答】解：（1）根据题意可得：y＝300+30x；

（2）设每星期利润为W元，根据题意可得：

W＝（60﹣x﹣40）（30x+300）＝﹣30x²+300x+6000＝﹣30（x﹣5）²+6750，

∵﹣30＜0，

∴x＝5时，W最大值＝6750．

答：每盒降5元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；

（3）当w＝6480时，即﹣30（x﹣5）²+6750＝6480，

解得：x₁＝8，x₂＝2，

则销售量为：300+30×8＝540（盒），或300+30×2＝360（盒），

答：该网店某星期获得了6480元的利润时，销售该款口罩540盒或360盒．

4．（安庆期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．

（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？

（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．

【分析】（1）设每盒的售价为x元，则月销量为（570﹣20x）盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；

（2）利用月销售利润＝每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），

依题意得：570﹣20x≥270，

解得：x≤15．

答：每盒售价最高为15元；

（2）依题意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，

解得：a₁＝1，a₂＝﹣2（不合题意，舍去）．

答：a的值为1．

5．（义乌市月考）某水果微商九月中旬购进了榴莲和江安李共600千克，榴莲和江安李的进价均为每千克24元，榴莲以售价每千克45元，江安李以售价每千克36元的价格很快销售完．

（1）若水果微商九月中旬获利不低于10440元，求购进榴莲至少多少千克？

（2）为了增加销售量，获得更大利润，根据销售情况和“国庆中秋双节”即将来临的市场分析，在进价不变的情况下该水果微商九月下旬决定调整售价，将榴莲的售价在九月中旬的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），江安李的售价在九月中旬的基础上上涨 a%；同时，与（1）中获得最低利润时的销售量相比，榴莲的销售量下降了 a%，而江安李的销售量上升了25%，结果九月下旬的销售额比九月中旬增加了360元，求a的值．

【分析】（1）直接根据题意表示出榴莲和江安李总利润进而得出等式，求出答案；

（2）利用价格与销量的变化表示出销售额，进而得出等式求出答案．

【解答】解：（1）设购进榴莲x千克，则购进江安李（600﹣x）千克，

根据题意可得：（45﹣24）x+（600﹣x）（36﹣24）≥10440

解得：x≥360，

答：购进榴莲至少360千克；

（2）九月份下旬的销售额＝45×360+36×240+360＝25200（元），

45（1﹣a%）×360（1﹣ a%）+36（1+ a%）×240（1+25%）＝25200，

令a%＝t，整理得：15t²﹣13t+2＝0，

解得：t₁＝ ，t₂＝ ，

当t＝ 时，售价＝75×（1﹣ ）＝25＜40，不合题意舍去；

当t＝ 时，售价＝75×（1﹣ ）＝60＞40，

故a＝20．

类型二一元二次方程面积类应用题

6．（丽水期末）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．

（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；

（2）若纸盒的底面积是150cm²，求纸盒的高．

【分析】（1）根据纸盒底面长方形的长＝（长方形硬纸片的长﹣2×纸盒的高）÷2，可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽＝长方形硬纸片的宽﹣2×纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；

（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm²，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是150cm²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），

纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．

答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．

（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm²，

依题意，得： ×（20﹣2x）＝150，

化简，得：x²﹣30x+125＝0，

解得：x₁＝5，x₂＝25．

当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；

当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．

答：若纸盒的底面积是150cm²，纸盒的高为5cm．

7．（新昌县期末）如图，用99米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AD边长为x米．

（1）用含x的代数式表示AB的长．

（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．

【分析】（1）AB＝[99﹣（BC﹣1）]÷2，依此计算即可求解；

（2）根据矩形菜园ABCD的面积为450平方米，列出方程即可求解．

【解答】解：（1）AB＝ ＝ （米）；

（2）依题意有

x• ＝450，

解得x₁＝10，x₂＝90．

∵10＜20，90＞20，

∴x＝10．

故所利用旧墙AD的长为10米．

8．（嘉兴期末）小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4米秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．

（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？

（2）出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？

【分析】（1）根据题意求得CC₁＝12米，BB₁＝9米，得到AC₁＝28，AB₁＝21，根据勾股定理即可得到结论；

（2）设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）出发3秒钟时，CC₁＝12米，BB₁＝9米，

∵AC＝40米，AB＝30米，

∴AC₁＝28，AB₁＝21，

∴B₁C₁＝ ＝35＞25，

∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；

（2）设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，

根据题意得，（40﹣4t）²+（30﹣3t）²＝25²，

解得：t＝5，t＝15（不合题意舍去），

答：出发5秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰．

9．（永嘉县校级期末）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．

（1）求步道的宽；

（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m²，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．

【分析】（1）根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答；

（2）根据“长方形区域甲的面积比长方形区域乙大44m²”求得正方形的边长为20，所以再结合图形和矩形的面积公式解答．

【解答】解：（1）由题意，得

100a+80a﹣a²＝（7a）²

化简，得a²＝3.6a．

∵a＞0．

∴a＝3.6．

答：步道的宽为3.6m；

（2）设正方形丙的边长为x．

由题意，（100﹣x﹣4.6）（x+1）﹣（x+1）（80﹣x﹣2﹣3.6）＝441，

解得x＝20，

∴塑胶跑道的总面积为1×（100+80﹣1+20）＝199（m²）．

类型三反比例函数类应用题

10．（金华校级期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（0≤x≤a）时，满足y＝2x，下降时，y与x成反比．

（1）求a的值，并求当a≤x≤8时，y与x的函数表达式；

（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？

【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；

（2）把y＝3分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案．

【解答】解：（1）有图象知，a＝3；

又由题意可知：当3≤x≤8时，y与x成反比，设 ．

由图象可知，当x＝3时，y＝6，

∴m＝3×6＝18；

∴y＝ （3≤x≤8）；

（2）把y＝3分别代入y＝2x和y＝ 得，x＝1.5和x＝6，

∵6﹣1.5＝4.5＞4，

∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产．

11．（乐清市期末）学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间x（分）与对应的水温为y（℃）函数图象关系，已知AB段为线段，BC段为双曲线一部分，点A为（0，28），点B为（9，100），点C为（a，25）．

（1）求出AB段加热过程的y与x的函数关系式和a的值．

（2）若水温y（℃）在45≤y≤100时为不适饮水温度，在0≤x≤a内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）当y＝45时，y＝8x+28＝45，解得x＝ ，当y＝45时，y＝ ＝45，解得x＝20，则20﹣ ＝ ，即可求解．

【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，

则b＝28，即y＝kx+28，

将点B的坐标（9，100）代入上式得：100＝9k+28，解得k＝8，

故直线AB的表达式为y＝8x+28，

设反比例函数的表达式为y＝ ，

将点B的坐标代入上式得：100＝ ，解得m＝900，

则反比例函数的表达式为y＝ ，

当y＝25时，即y＝ ＝25，解得x＝36，

即a＝36；

（2）当y＝45时，y＝8x+28＝45，解得x＝ ，

当y＝45时，y＝ ＝45，解得x＝20，

则20﹣ ＝ ，

即不适饮水温度的持续时间为 分．

【课后综合练习】

1．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？

【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800，进而得出即可．

【解答】解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元，

所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：

x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800，

解得：x₁＝220，x₂＝80．

当x＝220时，120﹣0.5×（220﹣60）＝40＜100，

∴x＝220（不合题意，舍去）；

当x＝80时，120﹣0.5×（80﹣60）＝110＞100，

∴x＝80．

答：该校共购买了80棵树苗．

2．（宁远县期末）某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为30元，按物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，且为整数．经市场调查发现，当售价为40元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款口罩售价为x元．

（1）这款口罩日均销售量为　　袋．（用含x的代数式表示）

（2）若该商店这款口罩日均销售额为2500元，求x的值．（销售额＝销售量×售价）

（3）是否存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．（毛利润＝销售量×（售价﹣成本价））

【分析】根据题意可知：①口罩日均销售量＝100﹣5（x﹣40）或100+5（40﹣x）．

②销售额＝销售量×售价，x（300﹣5x）＝2500

③总利润＝单价利润×总的销售量（x﹣30）（300﹣5x）＝1200

【解答】解：（1）100﹣5（x﹣40）或100+5（40﹣x）＝（300﹣5x）．

故答案为：（300﹣5x）．

（2）依题意得：x（300﹣5x）＝2500，

﹣5x²+300x＝2500，

x²﹣60x+500＝0

（x﹣10）（x﹣50）＝0，

x₁＝10或x₂＝50，

∵物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，

∴x＝50符合题意

故答案为：x＝50，该商店这款口罩日均销售额为2500元．

（3）答：不存在．

依题意得：（x﹣30）（300﹣5x）＝1200

﹣5x²+450x﹣10200＝0，

x²﹣90x+2040＝0，

Δ＝﹣60＜0

∴方程没有实数根，

∴不存在这样的x值

3．（南浔区期末）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产200万个，第三天生产288万个．试回答下列问题：

（1）求前三天生产量的日平均增长率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．

①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．

【分析】（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，利用第三天的产量＝第一天的产量×（1+增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，利用总产量＝每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值；

②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，利用总产量＝每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣39＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．

【解答】解：（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，

依题意得：200（1+x）²＝288，

解得：x₁＝0.2＝20%，x₂＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：前三天日平均增长率为20%．

（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，

依题意得：（1+m）（600﹣20m）＝2600，

整理得：m²﹣29m+100＝0，

解得：m₁＝4，m₂＝25，

又∵在增加产能同时又要节省投入，

∴m＝4．

答：应该增加4条生产线．

②不能，理由如下：

设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，

依题意得：（1+a）（600﹣20a）＝5000，

整理得：a²﹣29a+220＝0．

∵b²﹣4ac＝（﹣29）²﹣4×1×220＝﹣39＜0，

∴该方程无实数根．

∴不能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．

4．（丽水期末）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：

v（千米/小时）	75	80	85	90	95
t（小时）	4.00	3.75	3.53	3.33	3.16

（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；

（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；

（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．

【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v＝ ，利用待定系数法求出k即可；

（2）根据时间t＝2.5，求出速度，即可判断；

（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；

【解答】解：（1）根据表格中数据，可知v＝ ，

∵v＝75时，t＝4，

∴k＝75×4＝300，

∴v＝ （t≥3）．

（2）∵10﹣7.5＝2.5，

∴t＝2.5时，v＝ ＝120＞100，

∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．

（3）∵3.5≤t≤4，

∴75≤v≤ ，

答：平均速度v的取值范围是75≤v≤ ．

5．（浦江县期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．

（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．

（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？

【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）²+h，将（0，2.25）和（3.5，3.3）代入求得a、h的值可得答案；

（2）令y＝3.05解方程可得x₁＝1，x₂＝4，因此运动员应向前移动0.2m．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）²+h，

将（0，2.25）和（3.5，3.3）代入，得：

，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）²+3.5，（0≤x≤3.5），

当x＝2.5时，y最大，最大值为3.5m，

∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5m；

（2）不能，

∵篮筐离地面3.05m，

∴3.05＝﹣0.2（x﹣2.5）²+3.5，

解得：x₁＝1，x₂＝4，

∴抛物线向右平移0.2m或3.2m，即运动员应向前移动0.2m或3.2m，