第15讲 反比例函数与几何图形的综合

1．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在反比例函数y＝ 的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是（　　）

A．﹣1 B． C． D．﹣2

【分析】过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE，由等腰直角三角形的性质可求∠CEO＝45°，CE＝ ，由角平分线的性质和外角的性质可得∠ECA＝∠OAC＝22.5°，可证CE＝AE＝ ，由“AAS”可证△OAC≌△DCB，可得AO＝CD＝1+ ，OC＝BD＝1，可得点B坐标，即可求解．

【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE，

∵点C（﹣1，0），

∴CO＝1，

∴CO＝EO＝1，

∴∠CEO＝45°，CE＝ ，

∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴BC＝AC，∠OCA+∠DCB＝90°，∠CAB＝45°，

∵∠OCA+∠OAC＝90°，

∴∠OAC＝∠BCD，

在△OAC和△DCB中

，

∴△OAC≌△DCB（AAS），

∴AO＝CD，OC＝BD＝1，

∵y轴平分∠BAC，

∴∠CAO＝22.5°，

∵∠CEO＝∠CEA+∠OAC＝45°，

∴∠ECA＝∠OAC＝22.5°，

∴CE＝AE＝ ，

∴AO＝1+ ＝CD，

∴DO＝ ，

∴点B坐标为（ ，﹣1），

∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，

∴k＝﹣1× ＝﹣ ，

故选：B．

2．如图，P（m，m）是反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（　　）

A．4 B．4+4 C．4+ D．

【分析】依据P（m，m）是反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上一点，求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题．

【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于点D，

∵P（m，m）是反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上一点，

∴m＝ ，

解得：m＝2 ，

∴PD＝2 ，

∴OD＝ ＝2 ，

∵△ABP是等边三角形，

∴BD＝ PD＝ ，

∴S_△POB＝ OB•PD＝ （OD+BD）•PD＝ （2 + ）×2 ＝4+ ，

故选：C．

3．如图，直线AB交双曲线y＝ 于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连接OA．若OM＝2MC，四边形OABM的面积为5，则k的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】过A作AN⊥OC于N，求出ON＝MN＝CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a， b），根据三角形AOC的面积求出ab＝4，即可求出答案．

【解答】解：过A作AN⊥OC于N，

∵BM⊥OC

∴AN∥BM，

∵B为AC中点，

∴MN＝MC，

∵OM＝2MC，

∴ON＝MN＝CM，

设A的坐标是（a，b），

则B（2a， b），

∵四边形OABM的面积为5，

∴S_△AOC﹣S_△BCM＝5，即 •3a•b﹣ a• b＝5，

∴ab＝4，

∵A在y＝ 上，

∴k＝ab＝4，

故选：B．

4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．12

【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积＝△OBE的面积＝ 四边形ODBE的面积＝3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值．

【解答】解：连接OB，如图所示：

∵四边形OABC是矩形，

∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，△OAB的面积＝△OBC的面积，

∵D、E在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，

∴△OAD的面积＝△OCE的面积，

∴△OBD的面积＝△OBE的面积＝ 四边形ODBE的面积＝3，

∵BE＝2EC，

∴△OCE的面积＝ △OBE的面积＝ ，

∴k＝3；

故选：A．

5．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝ （x＞0）的图象上，则点E的横坐标是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先根据正方形的性质设B点坐标为（a，a），则a＝ ，解得a＝1，即B（1，1），再设E点坐标为（1+b，b），得到（1+b）•b＝1，求出b的值即可解决问题；

【解答】解：设B点坐标为（a，a），

∴a＝ ，解得a＝1，即B（1，1），

设E点坐标为（1+b，b），

而E点在函数y＝ （x＞0）的图象上，

∴（1+b）•b＝1，解得b＝ ，

而b＞0，

∴b＝ ，

∴点E的横坐标＝1+ ＝ ．

故选：C．

6．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃，…，过点A₁、A₂、A₃、…分别作x轴的垂线与反比例函数 的图象相交于点P₁、P₂、P₃、…，得直角三角形OP₁A₁、A₁P₂A₂、A₂P₃A₃、…，设其面积分别为S₁、S₂、S₃、…，则S_n的值为　 　．

【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝ ，由反比例函数解析式中k＝2，得出△OA₁P₁，△OA₂P₂，△OA₃P₃，…，△OA_nP_n的面积都为1，而A_n﹣1A_n为OA_n的 ，且△A_n﹣1A_nP_n与△OA_nP_n的高为同一条高，故△A_n﹣1A_nP_n的面积为△OA_nP_n的面积的 ，由△OA_nP_n的面积都为1，得出△A_n﹣1A_nP_n的面积，即为S_n的值．

【解答】解：连接OP₂，OP₃，…，OP_n，如图所示：

∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，

∴S＝ ＝1，即S_△OA1P1＝S_△OA2P2＝S_△OA3P3＝…＝S_△OAnPn＝1，

又OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝…＝A_n﹣1A_n，∴A_n﹣1A_n＝ OA_n，

∴S_n＝S_{△An﹣1AnPn}＝ S_△OAnPn＝ ．

故答案为：

7．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝ 在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为　3　．

【分析】根据△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC＝AC、AD＝BD，设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a²﹣b²＝6，再根据三角形的面积即可得出△OAC与△BAD的面积之差．

【解答】解：∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，

∴OC＝AC，AD＝BD．

设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），

∵反比例函数y＝ 在第一象限的图象经过点B，

∴（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²＝6，

∴S_△OAC﹣S_△BAD＝ a²﹣ b²＝3．

故答案为：3．

8．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝ （k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为　y＝ 　；

【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠CBE＝90°，

∵∠OAB+∠ABO＝90°，

∴∠OAB＝∠CBE，

∵点A的坐标为（﹣4，0），

∴OA＝4，

∵AB＝5，

∴OB＝ ＝3，

在△ABO和△BCE中，

，

∴△ABO≌△BCE（AAS），

∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，

∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，

∴点C的坐标为（3，1），

∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象过点C，

∴k＝xy＝3×1＝3，

∴反比例函数的表达式为y＝ ．

故答案为：y＝ ．

9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为 　 　．

【分析】由已知可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．

【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，

由已知，BC＝5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DC＝5，

∵BE＝2DE，

∴设DE＝x，则BE＝2x，

∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，

在Rt△DFC中，

DF²+FC²＝DC²，

∴（2x）²+（5﹣x）²＝5²，

解得x₁＝2，x₂＝0（舍去），

∴DE＝2，FD＝4，

设OB＝a，

则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），

∵点D、C在双曲线上，

∴k＝2×（a+4）＝5a，

∴a＝ ，

∴k＝5× ＝ ，

故答案为： ．

10．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝6，点C在x轴的负半轴上，将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点D在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，则k的值为（　　）

A．4 B．12 C．8 D．6

【分析】根据平行四边形的性质和旋转的性质可以求得点D的坐标，从而可以求得k的值．

【解答】解：由题意可得，

OA＝2，AF＝2，

∴∠AFO＝∠AOF，

∵AB∥OF，∠BAO＝∠OAF，

∴∠BAO＝∠AOF，∠BAF+∠AFO＝180°，

解得，∠BAO＝60°，

∴∠DOC＝60°，

∵AO＝2，AD＝6，

∴OD＝4，

∴点D的横坐标是：﹣4×cos60°＝﹣2，纵坐标为：﹣4×sin60°＝﹣2 ，

∴点D的坐标为（﹣2，﹣2 ），

∵D在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，

∴﹣2 ＝ ，得k＝4 ，

故选：A．

11．如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣ 的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为　 　．

【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝ |k|，得出S_△AOC＝S_△ODB＝2，再根据反比例函数的对称性可知：OC＝OD，AC＝BD，即可求出四边形ACBD的面积．

【解答】解：∵过函数y＝﹣ 的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，

∴S_△AOC＝S_△ODB＝ |k|＝2，

又∵OC＝OD，AC＝BD，

∴S_△AOC＝S_△ODA＝S_△ODB＝S_△OBC＝2，

∴四边形ABCD的面积为：S_△AOC+S_△ODA+S_△ODB+S_△OBC＝4×2＝8．

故答案为：8．

12．如图，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为　 　．

【分析】设M点坐标为（a，b），而M点在反比例函数图象上，则k＝ab，即y＝ ，由点M为矩形OABC对角线的交点，根据矩形的性质易得A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，而点D、点E在反比例函数y＝ 的图象上（即它们的横纵坐标之积为ab），可得D点的纵坐标为 b，E点的横坐标为 a，利用S_矩形OABC＝S_△OAD+S_△OCE+S_{四边形ODBE}，得到2a•2b＝ •2a• b+ •2b• a+6，求出ab，即可得到k的值．

【解答】解：设M点坐标为（a，b），则k＝ab，即y＝ ，

∵点M为矩形OABC对角线的交点，

∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），

∴D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，

又∵点D、点E在反比例函数y＝ 的图象上，

∴D点的纵坐标为 b，E点的横坐标为 a，

∵S_矩形OABC＝S_△OAD+S_△OCE+S_{四边形ODBE}，

∴2a•2b＝ •2a• b+ •2b• a+6，

∴ab＝2，

∴k＝2．

故答案为2．

13．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y＝ （k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝ （k≠0）上，则a＝　 　．

【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，后根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和D₁点的坐标，即可确定出a的值．

【解答】解：对于直线y＝﹣3x+3，

令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝1，即A（0，3），B（1，0），

过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠EBC＝90°，

∴∠OAB＝∠EBC，

在△AOB和△BEC中，

，

∴△AOB≌△BEC（AAS），

∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，

∴C（4，1），

把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y＝ ，

同理得到△DFA≌△BOA，

∴DF＝BO＝1，AF＝AO＝3，

∴D（3，4），

把y＝4代入反比例解析式得：x＝1，即D₁（1，4），

则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝ （k≠0）上的点D₁处，即a＝2，

故答案为：2．

14．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数 的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为　 　．

【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S_{四边形CEOF}＝S_{四边形HAGO}，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k²+4k+1＝4，再解出k的值即可．

【解答】解：如图：

∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，

又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，

∴S_△BEO＝S_△BHO，S_△OFD＝S_△OGD，S_△CBD＝S_△ADB，

∴S_△CBD﹣S_△BEO﹣S_△OFD＝S_△ADB﹣S_△BHO﹣S_△OGD，

∴S_{四边形HAGO}＝S_{四边形CEOF}＝2×2＝4，

∴xy＝k²+2k+1＝4，

解得k＝1或k＝﹣3．

故答案为1或﹣3．

15．如图，M为双曲线y＝ 上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝﹣x+m于点D、C两点，若直线y＝﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y＝﹣x+m，易得A（0，m），B（m，0），得到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab＝ ，并且CE＝b，DF＝a，则AD＝ DF＝ a，BC＝ ，CE＝ b，于是得到AD•BC＝ a• b＝2ab＝2 ．

【解答】解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，

对于y＝﹣x+m，

令x＝0，则y＝m；令y＝0，﹣x+m＝0，解得x＝m，

∴A（0，m），B（m，0），

∴△OAB等腰直角三角形，

∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，

设M的坐标为（a，b），则ab＝ ，

CE＝b，DF＝a，

∴AD＝ DF＝ a，BC＝ CE＝ b，

∴AD•BC＝ a• b＝2ab＝2 ．

故选：A．

16．如图，已知函数y＝2x和函数y＝ （k≠0）的图象交于A，B两点，过点A作AE⊥x轴于点E若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点且以点B，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是　 　．

【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标．

【解答】解：如图，∵△AOE的面积为4，函数y＝ 的图象过一、三象限，

∴S_△AOE＝ •OE•AE＝4，

∴OE•AE＝8，

∴xy＝8，

∴k＝8，

∵函数y＝2x和函数y＝ （k≠0）的图象交于A，B两点，

∴2x＝ ，

∴x＝±2，

当x＝2时，y＝4，当x＝﹣2时，y＝﹣4，

∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），

∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，

∴满足条件的P点有3个，分别为：

P₁（0，﹣4），P₂（﹣4，﹣4），P₃（4，4）．

故答案为：（0，﹣4）或（﹣4，﹣4）或（4，4）．

17．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y＝ 的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．

【解答】解：作A′H⊥y轴于H．

∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，

∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠A′BH，

∵BA＝BA′，

∴△AOB≌△BHA′（AAS），

∴OA＝BH，OB＝A′H，

∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），

∴OA＝2，OB＝6，

∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，

∴OH＝4，

∴A′（6，4），

∵BD＝A′D，

∴D（3，5），

∵反比例函数y＝ 的图象经过点D，

∴k＝15．

故选：C．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′落在反比例函数y＝ 在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A′的坐标是（　　）

A．（3，2） B．（ ，4） C．（2，3） D．（4， ）

【分析】根据题意求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得A′的坐标．

【解答】解：设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0），

设直线A′B的解析式为y＝kx﹣4，

把D（2，0）代入得0＝2k﹣4，

解得k＝2，

∴直线A′B的解析式为y＝2x﹣4，

由 解得 或 ，

∴点A′的坐标是（3，2），

故选：A．

19．定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T（0，t）（t＞0）旋转180得到点Q，那么称线段PQ为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”

（1）当t＝3时，点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为 　 　．

（2）如果t＞1，当点M（2，1）的“拓展点”N在函数y＝﹣ 的图象上时，t的值为 　 　．

【分析】（1）根据题意可知“拓展点”和“拓展带”，从而可以解答本题；

（2）根据题意可以求得点N的坐标，然后代入反比例函数中，即可求得t的值．

【解答】解：（1）当t＝3时，T（0，3），

点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为（1，5），

故答案为：（1，5）；

（2）∵T（0，t）（t＞1），

∴点M（2，1）的“拓展点”N的坐标为（﹣2，2t﹣1），

∵点N（﹣2，2t﹣1）在函数y＝﹣ 的图象上时，

∴2t﹣1＝﹣ ，

解得t＝2，

即t的值是2；

故答案为：2．

20．如图，直线y＝﹣x+3与反比例函数 的图象交于点A，B，点A的横坐标为1．

（1）求k的值；

（2）点P是反比例函数 在第一象限上的一个动点，作P关于原点的对称点P'，以PP'为边作等边△PP'C，使点C在第四象限．设点C（x，y），求y关于x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，设点D是线段AB上的动点，点E是y轴上的动点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形能构成平行四边形．求点C的纵坐标的取值范围．

【分析】（1）先求出点A坐标，待定系数法求k的值；

（2）连接OC，过点P作PH⊥y轴于点H，过点C作CG⊥y轴于点G，易证△GOC∽△HPO，根据相似三角形的性质以及反比例函数k的几何意义即可求解；

（3）以点A，D，C，E为顶点的四边形能构成平行四边形，分AD为边和AD为对角线，分别求出C的边界，即可确定取值范围．

【解答】解：（1）将点A的横坐标代入直线y＝﹣x+3，

得y＝﹣1+3＝2，

∴A（1，2），

将点A坐标代入反比例函数解析式，

得k＝1×2＝2；

（2）连接OC，过点P作PH⊥y轴于点H，过点C作CG⊥y轴于点G，如图所示：

则有∠PHO＝∠OGC＝90°，

∠HOP+∠HPO＝90°，

∵△PP'C是等边三角形，

∴∠POC＝90°，∠OPC＝60°，

∴∠POH+∠GOC＝90°，

∴∠GOC＝∠HPO，

∴△GOC∽△HPO，

∵tan∠OPC＝OC：OP＝ ，

∴S_△POH：S_△OCG＝1：3，

∵P在反比例函数 上，

∴S_△POH＝1，

∴S_△OCG＝3，

OG•GC＝6，

∵点C在第四象限，

∴y＝ ．

（3）联立 ，

解得x＝1或x＝2，

∴B（2，1），

当AD为平行四边形的边时，D与点B重合时，

根据平移的性质，可得C（1，﹣6），

∴y≤﹣6；

当AD为平行四边形的对角线时，

D与B重合时，可得C（3，﹣2），

D与A重合时，可得C（2，﹣3），

∵点D不能与点A重合，

∴﹣3＜y≤﹣2，

综上，所以满足条件的点C的纵坐标的取值范围：y≤﹣6或﹣3＜y≤﹣2．

21．已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数 ，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式．

【分析】此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点．

（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性；

（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到全等三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．

【解答】解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，

∵OC＝OD＝1，

∴正方形ABCD的边长CD＝ ；

∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

∴设正方形的边长为a，

∴3a＝CD＝ ．

∴ a＝ ，

∴正方形边长为 ，

∴一次函数y＝x+1图象的伴侣正方形的边长为 或 ；

（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

∵AB＝AD＝BC，∠DAE＝∠OBA＝∠FCB，

∴△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵m＜2，

∴DE＝OA＝BF＝m，OB＝CF＝AE＝2﹣m，

∴OF＝BF+OB＝2，

∴C点坐标为（2﹣m，2），

设反比例函数的解析式为： ，

∵D（2，m），C（2﹣m，2）

∴ ，

∴由②得：k＝2m③，

∴把k＝2m代入①得：2m＝2（2﹣m），

∴解得m＝1，k＝2，

∴反比例函数的解析式为y＝ ．

22．已知点A、B分别是x轴，y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图1，正方形ABCD是一次函数y＝x+2图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y＝x+2，直接写出它的图象的所有伴侣正方形的边长．

（2）若某函数是反比例函数y＝ （k＞0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（3，m）（m＜3）在这个反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y＝ax²+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（4，5）．直接写出所有伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标及相应的抛物线解析式．

【分析】此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点：（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性．

（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（3，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．

（3）注意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（4，5）的左边，也可能在点（4，5）的右边，过点（4，5）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．

【解答】解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，

∵OC＝OD＝2，

∴正方形ABCD的边长CD＝2 ；∠OCD＝∠ODC＝45°，

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

设小正方形的边长为a，

易得CL＝小正方形的边长＝DK＝LK，故3a＝CD＝2 ．

解得a＝ ，所以小正方形边长为 ，

∴一次函数y＝x+2图象的伴侣正方形的边长为2 或 ；

（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此时，m＜3，DE＝OA＝BF＝m，AE＝OB＝CF＝3﹣m，

∴OF＝BF+OB＝3，

∴C点坐标为（3﹣m，3），

∴3m＝3（3﹣m），解得m＝ ．

反比例函数的解析式为y＝ ．

（3）根据题意画出图形，如图所示：

过C作CF⊥x轴，垂足为F，过D作DE⊥CF，垂足为E，

∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，

∵C（4，5），即CF＝5，OF＝4，

∴EG＝4，DE＝5，故DG＝DE﹣GE＝DE﹣OF＝5﹣4＝1，

则D坐标为（﹣1，4）；

设过D与C的抛物线的解析式为：y＝ax²+b，

把D和C的坐标代入得： ，

解得 ，

∴满足题意的抛物线的解析式为y＝ x²+ ；

同理可得D的坐标可以为：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），

对应的抛物线分别为y＝﹣ x²+ ；y＝ x²+ ；y＝﹣ x²+ ．