第13讲 反比例函数与一次函数的综合

知识点睛：

函数		一次函数	反比例函数
图象		直线	双曲线（分两支）
自变量取值范围		全体实数
增减性应用	k＞0	①y随x的增大而增大； ②直线从左往右看上升 ③若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象上，则有：当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）	①在其每一象限内，y随x的增大而减小 ②若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象的同一支上，则有：当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）
	k＜0	①y随x的增大而减小 ②直线从左往右看下降 ③若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象上，则有：当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）	①在其每一象限内，y随x的增大而增大 ②若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象的同一支上，则有：当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）
对称性		即是中心对称图形，又是轴对称图形
与方程间的练习		求交点坐标，联系解析式，得二元一次方程组，方程的解即为交点的坐标	求反比例函数的k值，用待定系数法时，会与一元一次方程相结合；求直线与双曲线交点坐标时，联立函数解析式，会与分式方程相结合
与不等式间的关系

类题训练

1．一次函数y＝﹣x+a﹣3（a为常数）与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（　　）

A．0 B．﹣3 C．3 D．4

【分析】由于A、B两点关于原点对称，则直线AB过原点，从而得到a﹣3＝0，然后解方程即可．

【解答】解：∵A、B两点关于原点对称，

∴直线AB过原点，

∴一次函数y＝﹣x+a﹣3过原点，

∴a﹣3＝0，解得a＝3．

故选：C．

2．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k₁x（k₁≠0）与双曲线y＝ （k₂≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：∵点A与B关于原点对称，

∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．

故选：A．

3．在平面直角坐标系中，函数y＝ 与直线y＝x+1在第一象限交于点P（a，b），则代数式 ﹣ 的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先把点P（a，b）分别代入y＝ 与y＝x+1中，可得ab与b﹣a得值，代数式 ﹣ 可化为 ，即可得出答案

【解答】解：把点P（a，b）分别代入y＝ 与y＝x+1中，

得b＝ ，b＝a+1，

即ab＝ ，b﹣a＝1，

∴ ﹣ ＝ ＝ ＝

故选：D．

4．在平面直角坐标系中，函数y＝ 与y＝2x+6的图象交于点（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则代数式（x₁+y₂）（x₂+y₁）＝（　　）

A．﹣1011 B．1011 C．2022 D．﹣2022

【分析】先联立函数y＝ 与y＝2x+6，得2x²+6x﹣2022＝0，再根据根与系数的关系得x₁x₂＝﹣1011，x₁y₁＝2022，x₂y₂＝2022， ，即可求出代数式的值．

【解答】解：联立函数y＝ 与y＝2x+6，

得2x²+6x﹣2022＝0，

∴x₁x₂＝﹣1011，

∵x₁y₁＝2022，x₂y₂＝2022， ，

∴（x₁+y₂）（x₂+y₁）＝x₁x₂+x₁y₁+x₂y₁+y₁y₂＝﹣1011+2022+2022﹣4044＝﹣1011，

故选：A．

5．已知正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ ，它们的图象的共同特征是（　　）

A．这两个函数的图像都在第一象限与第三象限

B．当自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐增大

C．当自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小

D．点（1，2）与点（﹣1，﹣2）皆为这两个函数图像的公共点．

【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象，增减性以及交点坐标即可进行判断．

【解答】解：∵正比例函数y＝2x经过第一、三象限，也经过原点，原点不属于任何象限，

∴A选项不符合题意；

∵反比例函数在每一个象限内，y随着x的值得增大而减小，

∴B选项不符合题意，C选项不符合题意；

当x＝1时，正比例函数值y＝2，反比例函数值y＝2，

∴点（1，2）是两函数图象的交点；

当x＝﹣1时，正比例函数值y＝﹣2，反比例函数值y＝﹣2，

∴点（﹣1，﹣2）也是两函数图象的交点，

∴D选项符合题意．

故选：D．

6．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣ 相交于A，C两点，点A的横坐标为﹣4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①k＝﹣ ；②不等式kx＜﹣ 的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】由点A为函数图象交点及点A横坐标可得k的值，由反比例函数的对称性可得点C的坐标，由S_△AOC＝S_△AOB+S_△BOC可得△ABC的面积．

【解答】解：将x＝﹣4代入y＝﹣ 得y＝﹣ ＝2，

∴点A坐标为（﹣4，2），

将（﹣4，2）代入y＝kx得2＝﹣4k，

解得k＝﹣ ，

∴①正确．

由反比例函数及正比例函数的对称性可得点C坐标为（4，﹣2），

∴当﹣4＜x＜0或x＞4时，kx＜﹣ ，

∴②正确．

∵S_△AOC＝S_△AOB+S_△BOC＝ OB•y_A+ OB•（﹣y_C）＝ BO（y_A﹣y_C）＝ ×（2+2）＝8，

∴③错误．

故选：C．

7．若一次函数y＝x+2与反比例函数y＝ 有两个交点，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0且m≠1 B．m＜2且m≠1 C．m＜0 D．m＞2

【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式组成一元二次方程，判断根的判别式即可．

【解答】解：令y＝x+2＝ ，整理得x²+2x﹣1+m＝0，

∵两个函数有两个交点，

∴Δ＝4﹣4（﹣1+m）＞0，整理得m＜2，

又1﹣m≠0，

∴m≠1，

综上，m的取值范围为m＜2且m≠1．

故选：B．

8．反比例函数y＝ （k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（　　）

A．（﹣ ，4 ） B．（ ，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）

【分析】先求出两个函数的解析式，再求交点．

【解答】解：∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），

∴k＝﹣4×2＝﹣8，

∴反比例函数为：y＝﹣ ．

设直线OA的表达式为：y＝mx，代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣4m．

∴m＝﹣ ．

∴y＝﹣ x．

∵直线OA⊥直线AB．

∴设直线AB的解析式为：y＝2x+b，

代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣8+b，

∴b＝10．

∴直线AB：y＝2x+10．

由 解得： 或 ．

∴B（﹣1，8）．

故选：D．

9．反比例函数y＝ 与一次函数y＝﹣x+2的图象的交点个数是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出Δ的值即可判断．

【解答】解：令 ＝﹣x+2，整理得x²﹣2x+1＝0，

∴△＝（﹣2）﹣4×1×1＝0，

∴一元二次方程x²﹣2x+1＝0有两个相等的实数很，

∴反比例函数y＝ 与一次函数y＝﹣x+2的图象有一个交点．

故选：C．

10．若双曲线 与直线y＝﹣2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1

【分析】将x＝﹣1代入直线y＝﹣2x+1，求出该点纵坐标，从而得到此交点的坐标，将该交点坐标代入 即可求出k的值．

【解答】解：将x＝﹣1代入直线y＝﹣2x+1得，y＝2+1＝3，

则交点坐标为（﹣1，3），

将（﹣1，3）代入 得，

k＝﹣1×3＝﹣3，

故选：A．

11．函数y＝ 的图象与直线y＝﹣x没有交点，那么k的取值范围是（　　）

A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1

【分析】函数y＝ 的图象与直线y＝﹣x没有交点，根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可．

【解答】解：直线y＝﹣x中过第二、四象限，

要使两个函数没交点，

那么函数y＝ 的图象必须位于第一、三象限，

那么1﹣k＞0，

即k＜1．

故选：B．

12.在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝ （k≠0）的大致图象是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．

【解答】解：当k＞0时，

一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，

函数y＝ （k≠0）的图象在一、二象限，

故选项②的图象符合要求．

当k＜0时，

一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，

函数y＝ （k≠0）的图象经过三、四象限，

故选项③的图象符合要求．

故选：B．

13．如图，过点A（1，0）的直线与y轴平行，且分别与正比例函数y＝k₁x，y＝k₂x和反比例 在第一象限相交，则k₁、k₂、k₃的大小关系是　k₂＞k₃＞k₁　．

【分析】分别把x＝1代入三个函数关系式分别得到当x＝1时的纵坐标，再在图象上表示出三个纵坐标的位置，即可比较出k₁、k₂、k₃的大小关系．

【解答】解：分别把x＝1代入三个函数关系式分别得到当x＝1时的纵坐标：

y＝k₂，y＝k₃，y＝k₁，

结合图象可以看出：k₂＞k₃＞k₁，

故答案为：k₂＞k₃＞k₁．

14．如图，一次函数y₁＝k₁x+b的图象与反比例函数y₂＝ 的图象交于点A（1，m），B（4，n）．当y₁＞y₂时，x的取值范围是（　　）

A．1＜x＜4 B．0＜x＜1或x＞4 C．x＜0或1＜x＜4 D．x＜0或x＞4

【分析】根据图象确定x的取值范围即可．

【解答】解：由图象知，当x＜0和在AB之间时y₁＞y₂，

∵A（1，m），B（4，n），

∴当y₁＞y₂时，x的取值范围是x＜0或1＜x＜4，

故选：C．

15．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，则S_△AOB＝（　　）

A． B． C． D．6

【分析】把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b即可求出函数的解析式，由一次函数解析式求出D的坐标，求出△AOD和△BOD的面积，即可求出答案．

【解答】解：把A（﹣4，1）代入y＝ 的得：k＝﹣4，

∴反比例函数的解析式是y＝﹣ ，

∵B（1，m）代入反比例函数y＝﹣ 得：m＝﹣4，

∴B的坐标是（1，﹣4），

把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b得： ，

解得：a＝﹣1，b＝﹣3，

∴一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3；

把x＝0代入一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3得：y＝﹣3，

∴D（0，﹣3），

∴S_△AOB＝S_AOD+S_△BOD＝ ×3×（1+4）＝ ．

故选：A．

16．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象可知不等式 ＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜1 B．x＞4 C．1＜x＜4 D．0＜x＜1或x＞4

【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．

【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，

∴不等式 ＞kx+b的解集是0＜x＜1或x＞4，

故选：D．

17．如图，直线y＝k₁x+b与反比例函数y＝ ）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点，则k₁x+b﹣ ＞0时x的取值范围是 　1＜x＜2　．

【分析】先把A（1，6）代入y＝ ）求得反比例函数的解析式，根据反比例函数的解析式求得点B的坐标，根据函数的图象结合A、B的坐标即可求得k₁x+b﹣ ＞0时x的取值范围．

【解答】解：∵直线y＝k₁x+b与反比例函数y＝ ）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点，

∴k₂＝1×6＝6，3a＝6，即a＝2，

∴B点坐标为（2，3），

观察图象，k₁x+b﹣ ＞0时x的取值范围是1＜x＜2．

故答案为：1＜x＜2．

18．如图，A（2，m）是正比例函数y＝kx与反比例函数y＝ （x＞0）的图象的交点．AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 　y＝ x﹣3　．

【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．

【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝ 的图象有一个交点A（2，m），

∴2m＝6，

解得：m＝3，

∴A（2，3），

则3＝2k，

解得：k＝ ，

∴正比例函数解析式为：y＝ x，

∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B，

∴B（2，0），

∴设平移后的解析式为：y＝ x+b，

则0＝3+b，

解得：b＝﹣3，

∴直线l对应的函数表达式是：y＝ x﹣3．

故答案为：y＝ x﹣3．

19．如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将该函数的图象平移得到的曲线是函数 （k＞0，x＞0）的图象，点A、B的对应点是A′、B′．若图中阴影部分的面积为8，则k的值为　5　

【分析】图象向上平移了2个单位，即BB′＝2，由图象平移知，阴影部分的面积等于平行四边形ABB′A的面积，点A、B两点间的距离为h，则h×BB′＝8，求出h＝4，进而求解；

【解答】解：平移后曲线是函数 ＝ +2，即图象向上平移了2个单位，即BB′＝2，

由图象平移知，阴影部分的面积等于平行四边形ABB′A的面积，

点A、B两点间的距离为h，则h×BB′＝8，解得：h＝4，

∵直线y＝﹣x+6与x轴负半轴的夹角为45°，则A、B之间的垂直距离也为4，

设点A（m，6﹣m），则点B（m+4，2﹣m），

将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝m（6﹣m）＝（m+4）（2﹣m），

解得：m＝1，k＝5，

故答案为5．

20．若反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝x+k的图象有一个交点为（m，﹣4），则这个反比例函数的表达式为　y＝﹣ 　．

【分析】把交点坐标代入两个解析式组成方程组，解方程组求得k，即可求得反比例函数的解析式．

【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝x+k的图象有一个交点为（m，﹣4），

∴ ，

解得k＝﹣5，

∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ，

故答案为y＝﹣ ．

21．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A、B两点，若反比例函数 （x＞0）的图象与线段CB、CA都相交，则k的取值范围是（　　）

A．2≤k≤4 B．2≤k≤5 C．2≤k≤8 D．5≤k≤8

【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数比例系数的几何意义可知，当反比例函数图象与点C相交时k的取值最小，再分别求出反比例函数图象与△ABC相交于点A、B时k的取值，进而求解即可．

【解答】解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，

∴当x＝1时，y＝﹣1+6＝5，

当y＝2时，﹣x+6＝2，解得x＝4，

∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，

∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象与线段CB、CA都相交，

而当反比例函数图象与点A相交时，k＝4×2＝8，

当反比例函数图象与点B相交时，k＝1×5＝5，

∴k的取值范围是2≤k≤5．

故选：B．

22．如图，直线y＝﹣x+5与双曲线y＝ （x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是 ．若将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y＝ （x＞0）的交点坐标为　（2，2）　．

【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及△BOC的面积是 即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后解析式联立，解方程组即可求得．

【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．

令直线y＝﹣x+5中y＝0，则0＝﹣x+5，解得：x＝5，

即OC＝5．

∵△BOC的面积是 ，

∴ OC•BE＝ ×5•BE＝ ，

解得：BE＝1．

∴点B的纵坐标为1，

当y＝1时，有1＝﹣x+5，

解得：x＝4，

∴点B的坐标为（4，1），

∴k＝4×1＝4，

即双曲线解析式为y＝ ．

将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y＝﹣x+5﹣1＝﹣x+4，

解 得 ， ，

∴所得直线与双曲线y＝ （x＞0）的交点坐标为（2，2），

故答案为（2，2）．

23．如图，双曲线y＝ 与直线y＝﹣x﹣（k+1）的交点为A，C，AB⊥x轴于点B，且S_△ABO＝ ，则△AOC的面积为　4　．

【 分析】根据反比例函数k的几何意义求出k，即可得到双曲线和直线的解析式，然后解析式构建方程组求出A、C两点坐标，直线y＝﹣x+2交y轴与D（0，2），根据S_△AOC＝S_△AOD+S_△OCD计算即可．

【解答】解：由题意S_△ABO＝ ＝ ，

∵k＜0，∴k＝﹣3，

∴双曲线为y＝﹣ ，直线为y＝﹣x+2

解 得 或 ，

∴A（﹣1，3）C（3，﹣1），

∵直线y＝﹣x+2交y轴与D（0，2），

∴S_△AOC＝S_△AOD+S_△OCD＝ ×2×1+ ×2×3＝4，

故答案为4．

24．如图，直线y＝x+1与双曲线y＝ （k≠0）交于点A，B，点A的坐标为（m，﹣2）．点C是双曲线第一象限分支上的点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．

（1）求k的值；

（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）利用直线y＝x+1即可求得点A的坐标，然后代入y＝ （k≠0）即可求得k的值；

（2）解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标，利用待定系数法求得直线AC的解析式，进而求得G的坐标，然后根据S_△ABC＝S_△ABG+S_△CBG求得即可．

【解答】解：（1）把A（m，﹣2）代入y＝x+1得，﹣2＝m+1，

∴m＝﹣3，

∴A（﹣3，﹣2），

∵双曲线y＝ （k≠0）过点A，

∴k＝﹣3×（﹣2）＝6；

（2）由 解得 或 ，

∴B（2，3），

过B点作BG⊥x轴于E，交AC于G，作CF⊥x轴于F，

∴BE∥CF，

∴ ＝ ，

∴BC＝2CD，

∴ ＝ ＝ ，

∴ ＝ ，

∴FC＝1，

∴点C的纵坐标为1，

把y＝1代入y＝ 求得x＝6，

∴C（6，1），

设直线AC的解析式为y＝ax+b，

代 入A、C的坐标得 ，解得 ，

∴直线AC为y＝ x﹣1，

把x＝2代入得，y＝﹣ ，

∴G（2，﹣ ），

∴BG＝3+ ＝ ，

∴S_△ABC＝S_△ABG+S_△CBG＝ × ×（6+3）＝15．

25．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建

立平面直角坐标系，反比例函数y＝ （k＜0）的图象与CD交于E点，与CB交于F点，

连接AF，AE．

（1）求证：DE＝BF；

（2）若S_△AEF＝6时，求反比例函数的解析式．

【分析】（1）先用含k的式子表示DE、FB的长，从而可得到DE＝BF；

（2）先求得CE＝CF＝4+ ，然后再由S_△AEF＝S_{正方形ABCD}﹣S_△ADE﹣S_△CEF﹣S_△ABF列方程求解即可．

【解答】解：（1）证明：由题意知：E（ ，4），F（﹣4，﹣ ）．

∴DE＝﹣ ，FB＝﹣ ．

∴DE＝BF；

（2）由（1）知：DE＝﹣ ＝FB＝﹣ ．

∴CE＝CF＝4+ ．

∵S_△AEF＝S_{正方形ABCD}﹣S_△ADE﹣S_△CEF﹣S_△ABF，

∴16﹣ （4+ ）²+k＝6

∴k＝±8．

又∵k＜0

∴k＝﹣8．

∴反比例函数解析式为：y＝﹣ ．

26．如图，已知反比例函数y₁＝ 的图象与一次函数y₂＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．

（1）求这两个函数的关系式；

（3）如果在x轴上找一点C使△ABC的面积为18，求点C坐标．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据面积的和差，可得答案．

【解答】解：（1）∵反比例函数y₁＝ 的图象过点A（1，4），即4＝ ，

∴k＝4，即y₁＝ ，

又∵点B（m，﹣2）在y₁＝ 上，

∴m＝﹣2，

∴B（﹣2，﹣2），

又∵一次函数y₂＝ax+b过A、B两点，

即 ，

解 得 ．

∴y₂＝2x+2．

∴反比例函数的解析式为y₁＝ ，一次函数的解析式为 y₂＝2x+2；

（2）把y＝0代入y₂＝2x+2得2x+2＝0，解得x＝﹣1，

∴直线AB与x轴交点E的坐标（﹣1，0），

∴S_△ABC＝S_△AEC+S_△BEC＝ EC•4+ EC•2＝6．

∴EC＝2

∴C的坐标（1，0）或（﹣3，0）．

27．在直角坐标系中，设函数y₁＝ （k₁是常数，k₁＞0，x＞0）与函数y₂＝k₂x（k₂是常数，k₂≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．

（1）若点B的坐标为（﹣1，2），

①求k₁，k₂的值；

②当y₁＜y₂时，直接写出x的取值范围；

（2）若点B在函数y₃＝ （k₃是常数，k₃≠0）的图象上，求k₁+k₃的值．

【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y₁＝ （k₁是常数，k₁＞0，x＞0），y₂＝k₂x（k₂是常数，k₂≠0）即可求得k₁，k₂的值；

②根据图象即可求得；

（2）设点A的坐标是（x₀，y），则点B的坐标是（﹣x₀，y），根据待定系数法即可求得k₁＝x₀•y，k₃＝﹣x₀•y，即可求得k₁+k₃＝0．

【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），

∵函数y₁＝ （k₁是常数，k₁＞0，x＞0）与函数y₂＝k₂x（k₂是常数，k₂≠0）的图象交于点A，

∴2＝ ，2＝k₂，

∴k₁＝2，k₂＝2；

②由图象可知，当y₁＜y₂时，x的取值范围是x＞1；

（2）设点A的坐标是（x₀，y），则点B的坐标是（﹣x₀，y），

∴k₁＝x₀•y，k₃＝﹣x₀•y，

∴k₁+k₃＝0．

28．已知正比例函数y₁＝kx与反比例函数y₂＝﹣ （k≠0）．

（1）证明：直线与双曲线没有交点；

（2）若将直线y₁＝kx向上平移4个单位后与双曲线恰好有且只有一个交点，求反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；

（3）将（2）小题平移后的直线代表的函数记为y₃，根据图象直接写出：对于负实数k，当x取何值时y₂＞y₃．

【分析】（1）联立方程，去掉y得到x的一元二次方程，若方程有解，则直线与双曲线有交点，否则为交点；

（2）联立方程，去掉y得到x的一元二次方程，根据Δ＝0，即可求得k的值，从而求得反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；

（3）求得交点坐标，然后根据图象即可求得．

【解答】解：（1）联立方程组

去掉y整理后得kx²+k＝0，

∵Δ＝b²﹣4ac＝﹣4k•k＝﹣4k²＜0，

∴方程组无解，

∴直线与双曲线没有交点；

（2）直线向上平移4个单位后为y＝kx+4，

由 整理后得kx²+4x+k＝0，

∵直线与双曲线恰好有且只有一个交点，

∴Δ＝b²﹣4ac＝16﹣4k•k＝0，

解得k＝±2，

综上所述：当k＝2时，反比例函数的表达式和平移后的直线表达式分别为y＝﹣ ，y＝2x+4；

当k＝﹣2时，反比例函数的表达式和平移后的直线表达式分别为y＝ 和y＝﹣2x+4；

（ 3）解﹣2x²+4x﹣2＝0得，x₁＝x₂＝1，

把x＝1代入y＝﹣2x+4得y＝2，

∴平移后的直线与反比例函数的图形的交点为（1，2），

如图

由图可知，当0＜x＜1或x＞1时y₂＞y₃．

29．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象交于点C，B为线段AC的中点．

（1）求点A的坐标．

（2）求k的值．

（3）点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交该反比例函数图象于点E，连结OD，OE．若△ODE的面积为 ，求点D的坐标．

【分析】（1）在y＝x+2中，令y＝0，求得x＝﹣2，即可求得A的坐标为（﹣2，0）；

（2）根据题意求得C的坐标，然后代入y＝ （k＞0，x＞0）即可求得k的值；

（3）设D（x，x+2），则E（ ，x+2），根据题意S_△ODE＝ ×（ ）•（x+2）＝ ，解方程即可求得D的坐标．

【解答】解：（1）在y＝x+2中，令y＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣2，

∴A（﹣2，0）；

（2）在y＝x+2中，令x＝0，则y＝2，

∴B（0，2），

∵B为线段AC的中点，

∴C（2，4），

∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C，

∴k＝2×4＝8；

（3）设D（x，x+2），则E（ ，x+2），

∴DE＝ ﹣x＝ ，

∴S_△ODE＝ ×（ ）•（x+2）＝ ，

即x²+2x﹣3＝0，

解得x₁＝1，x₂＝﹣3（舍去），

∴D（1，3）．

30．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y＝ 的图象交于点C（﹣1，m）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞ 的解集；

（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BP，当S_△ABM＝2S_△OMP时，求点P的坐标．

【分析】（1）将点A，点C坐标代入一次函数解析式y＝2x+b，可得b＝﹣4，m＝﹣6，将点C坐标代入反比例函数解析式，可求k的值，即可得一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求得直线与反比例函数的交点坐标，然后根据图象求得即可；

（3）由S_△ABM＝2S_△OMP＝6，可求AM的值，由点A坐标可求点M坐标，即可得点P坐标．

【解答】解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0

∴b＝﹣4，

∴一次函数的解析式为y＝2x﹣4

将C（﹣1，m）代入直线y＝2x﹣4中，得2×（﹣1）﹣4＝m

∴m＝﹣6

∴C（﹣1，﹣6）

将C（﹣1，﹣6）代入y＝ ，得﹣6＝ ，

解得k＝6

∴反比例函数的解析式为y＝ ；

（2）解 得 或 ，

∴直线AB与反比例函数y＝ 的图象交于点C（﹣1，﹣6）和D（3，2）．如图，

由图象可知：不等式2x+b＞ 的解集是﹣1＜x＜0或x＞3；

（3）∵S_△ABM＝2S_△OMP，

∴ ×AM×OB＝6，

∴ ×AM×4＝6

∴AM＝3，且点A坐标（2，0）

∴点M坐标（﹣1，0）或（5，0）

∴点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5， ）．

31．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ x+ 的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．

【分析】（1）根据一次函数y＝ x+ 的图象经过点A（a，3），求出点A的坐标，再代入y＝ ，即可求得答案；

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，先求出点B的坐标，再根据△ABD是以BD为底边的等腰三角形，可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式，联立直线AD解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点C的坐标．

【解答】（1）∵一次函数y＝ x+ 的图象经过点A（a，3），

∴ a+ ＝3，

解得：a＝2，

∴A（2，3），

将A（2，3）代入y＝ （x＞0），

得：3＝ ，

∴k＝6，

∴反比例函数的表达式为y＝ ；

（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，

在y＝ x+ 中，令y＝0，得 x+ ＝0，

解得：x＝﹣2，

∴ B（﹣2，0），

∵E（2，0），

∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，

∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，

∴AB＝AD，

∵AE⊥BD，

∴DE＝BE＝4，

∴D（6，0），

设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，

∵A（2，3），D（6，0），

∴ ，

解得： ，

∴直线AD的函数表达式为y＝﹣ x+ ，

联立方程组： ，

解得： （舍去）， ，

∴点C的坐标为（4， ）．

32．如图，平面直角坐标系xOy中，函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．

（1）求k，m的值．

（2）点P是直线y＝﹣2x位于第二象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数y＝ （x＜0）的图象于点D，设P（n，﹣2n）．

①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由

②当PD≥2PC时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，由点B的坐标，利用待定系数法可求出m的值；

（2）①代入n＝﹣1可得出点P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征可得出点C，D的坐标，结合点P的坐标可得出PC＝1，PD＝2，进而可得出PD＝2PC；

②同①可得出当n＝﹣3时PD＝2PC，结合点P在第二象限及函数图象，可得出：当PD≥2PC时，﹣1≤n＜0或n≤﹣3．

【解答】解：（1）∵函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），

∴k＝﹣1×6＝﹣6；

将B（﹣1，0）代入y＝mx﹣2，得：0＝﹣m﹣2，

解得：m＝﹣2．

（2）①PD＝2PC，理由如下：

当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．

当y＝2时，﹣2x﹣2＝2， ＝2，

解得：x＝﹣2，x＝﹣3，

∴点C的坐标为（﹣2，2），点D的坐标为（﹣3，2），

∴PC＝1，PD＝2，

∴PD＝2PC．

②当n＝﹣3时，点P的坐标为（﹣3，6）．

当y＝6时，﹣2x﹣2＝6， ＝6，

解得：x＝﹣4，x＝﹣1，

∴点C的坐标为（﹣4，6），点D的坐标为（﹣1，6），

∴PC＝1，PD＝2，

∴PD＝2PC．

∵点P是直线y＝﹣2x位于第二象限上的一个动点，

∴当PD≥2PC时，﹣1≤n＜0或n≤﹣3．