第12讲 反比例函数单元整体分类总复习

考点一 反比例函数的解析式

知识点睛：

反比例函数的解析式为 或 或

因为以上反比例函数的解析式的形式，我们得到，反比例函数的比例系数k的求解方法可以直接用反比例函数图象上的点的横纵坐标相乘得到。

类题训练

1．已知函数 是反比例函数，则a的取值范围是 　a≠±2　．

【分析】直接利用反比例函数的定义得出a+1≠0，进而得出答案．

【解答】解：∵函数 是反比例函数，

∴|a|﹣2≠0，

解得：a≠±2．

故答案为：a≠±2．

2．函数y＝（m+1）x 是y关于x的反比例函数，则m＝　2　．

【分析】根据反比例函数的一般形式得到m²﹣2m﹣4＝﹣1且m+1≠0，由此来求m的值即可．

【解答】解：∵函数y＝（m+1）x 是y关于x的反比例函数，

∴m²﹣m﹣3＝﹣1且m+1≠0，

解得m＝2．

故答案是：2．

3．若y与﹣4z成正比例关系，z与4x成反比例关系，则y与x的函数关系是（　　）

A．正比例函数关系 B．反比例函数关系

C．一次函数关系 D．无法确定

【分析】根据题目已知可得y＝﹣4k₁z，z＝ ，然后进行计算即可解答．

【解答】解：由题意可得：

y＝k₁（﹣4z）＝﹣4k₁z（k₁≠0），

z＝ （k₂≠0），

∴y＝﹣4k₁• ＝﹣ （k₁k₂≠0），

∴y与x的函数关系是：反比例函数关系，

故选：B．

4．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个反比例函数的解析式为（　　）

A． B． C． D．

【分析】设反比例函数根据题意设该反比例函数为y＝ （k≠0），然后把点（﹣2，3）代入该函数式来求k的值．

【解答】解：设反比例函数的解析式y＝ ，

把点（﹣2，3）代入得3＝ ，解得k＝﹣6，

则反比例函数的解析式是y＝﹣ ，

故选：D．

5．已知y与x﹣2成反比例，且比例系数为k≠0，若x＝3时，y＝4，则k＝　4　．

【分析】设出反比例函数解析式，把x＝3，y＝4代入即可求得k的值．

【解答】解：设y＝ ，

∵x＝3时，y＝4，

∴k＝4×（3﹣2）＝4．

故答案为：4．

6．已知y＝y₁+y₂，y₁与x成正比例，y₂与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，y＝4．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）当x＝﹣2时，求y的值．

【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的定义设y₁＝mx，y₂＝ ，则y＝mx+ ，再把两组对应值代入得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可．

（2）把x＝﹣2代入（1）中求得的解析式即可求得．

【解答】解：（1）设y₁＝mx，y₂＝ ，

则y＝mx+ ，

根据题意得 ，

解得 ．

所以y与x的函数表达式为y＝x+ ．

（2）把x＝﹣2代入得，y＝﹣2+ ＝﹣ ．

考点二 反比例函数的图象与性质

知识点睛：

图象
自变量x 的取值范围
增减性	在其每一象限内，y随x的增大而减小	在其每一象限内，y随x的增大而增大
中心对称性	双曲线的两支是中心对称图形，对称中心为原点
轴对称性	双曲线的两支是轴对称图形，对称轴为直线 或直线

类题训练

1．在反比例函数y＝ 图象的每一个象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）

A．k＞0 B．k＞1 C．k≥1 D．﹣1≤k＜1

【分析】利用反比例函数的性质判断即可．

【解答】解：∵在反比例函数y＝ 图象的每一个象限内，y都随x的增大而增大，

∴1﹣k＜0，即k＞1，

故选：B．

2．在y＝ 的图象上有三个点（﹣1，y₁），（﹣ ，y₂），（ ，y₃），则（　　）

A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₂＞y₃＞y₁ C．y₃＞y₁＞y₂ D．y₃＞y₂＞y₁

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y₁，y₂，y₃的大小关系即可．

【解答】解：∵k＝6＞0，

∴反比例函数y＝ 的图象在第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

∵﹣1＜﹣ ＜0，

∴点（﹣1，y₁），（﹣ ，y₂）在第三象限，

∴y₂＜y₁＜0，

∵ ＞0，

∴点（ ，y₃）在第一象限，

∴y₃＞0，

∴y₃＞y₁＞y₂．

故选：C．

3．点（﹣3，5）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（　　）

A．（5，﹣3） B．（﹣ ，3） C．（﹣5，﹣3） D．（ ，3）

【分析】先根据点（﹣3，5）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．

【解答】解：∵点（﹣3，5）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，

∴k＝﹣3×5＝﹣15，

A、∵5×（﹣3）＝﹣15，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；

B、∵﹣ ×3＝﹣ ≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；

C、∵﹣5×（﹣3）＝15≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；

D、∵ ×3＝ ≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意．

故选：A．

4．已知反比例函数 的图象经过点P（﹣2，8），则该函数的图象位于（　　）

A．第一、三象限 B．第二、四象限

C．第三、四象限 D．第二、三象限

【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，求出k的值，再根据k＜0，判断所经过象限．

【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点P（﹣2，8），

∴k＝﹣16＜0，

∴该函数的图象位于二、四象限；

故选：B．

5．函数y＝ax﹣a与y＝ （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．

【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；

B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；

C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；

D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．

故选：D．

6．反比例函数y＝ 与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．

【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝ 经过第二、四象限，不符合题意；

B、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＞0，则反比例y＝ 经过第一、三象限，不符合题意；

C、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于正半轴，则b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝ 经过第二、四象限，不符合题意；

D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝ 经过第二、四象限，符合题意；

故选：D．

7．对于反比例函数y＝﹣ ，下列说法不正确的是（　　）

A．图象分布在第二、四象限

B．图象关于原点对称

C．图象经过点（1，﹣2）

D．若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在该函数图象上，且x₁＜x₂，则y₁＜y₂

【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；

B、图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意；

C、∵x＝1时，y＝﹣ ＝﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；

D、∵k＝﹣2＜0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，

∴当x₁＜0，x₂＞0时，则y₁＞y₂，故本选项错误，符合题意，

故选：D．

8．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝ 的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是　（﹣3，﹣4）　．

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝ 的两个分支关于原点对称，

所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．

故答案是：（﹣3，﹣4）．

9．在函数的学习过程中，我们经历了“确定函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习过程我们可以借鉴这种方法探究函数 的图象性质．

（1）根据题意，列表如下：

x	…	﹣3	﹣1	0	2	3	5	…
y	…	﹣1	﹣2	﹣4	4	2	1	…

在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；

（2）观察图象，写出该函数的增减性：　当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小　；

（3）函数 的图象可由函数 的图象得到，其对称中心的坐标为 　（1，0）　；

（4）根据上述经验回答：函数 的图象可由函数 的图象得到（不必画图），想象平移后得到的函数 图象，直接写出当y≤1时，x的取值范围是 　x≥3或x＜1　．

【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可．

（2）根据图象解答问题即可．

（3）根据图象解答问题即可．

（4）根据平移的性质解决问题即可．

【解答】解：（1）描点并连线，画出函数 的图象如图所示：

（2）当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．

故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．

（3）函数 的图象可由函数 的图象得到．对称中心为（1，0）．

故答案为（1，0）；

（4）函数 的图象可由函数 的图象向下平移1个单位得到，y≤1时，x≥3或x＜1．

故答案为x≥3或x＜1．

考点三 反比例函数中k的几何意义

知识点睛

图象中k的几何意义

类题训练

1．若图中反比例函数的表达式均为y＝ ，则阴影面积为2的是（　　）

A．图1 B．图2 C．图3 D．图4

【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．

【解答】解：图1中，阴影面积为4；

图2中，阴影面积为 ×4＝2；

图3中，阴影面积为2× ×4＝4；

图4中，阴影面积为4× ×4＝8；

则阴影面积为2的有1个．

故选：B．

2．如图，点A是反比例函数y＝ 图象上的一点，AB垂直x轴于点B，若S_△ABO＝2.5，则k的值为（　　）

A．2.5 B．5 C．﹣5 D．﹣2.5

【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．而S_△ABO＝ |k|，再由函数图象所在的象限确定k的值即可．

【解答】解：∵点P是反比例函数y＝ 图象上的一点，AB⊥x轴，S_△ABO＝2.5，

∴S_△ABO＝ |k|＝2.5，

解得k＝±5．

又∵反比例函数的图象在第二象限，

∴k＝﹣5．

故选：C．

3．如图，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为（　　）

A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4

【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为2，所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵AB＝AO，△ABO的面积为4，

∴S_△ADO＝ |k|＝2，

又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，

则k＝﹣4．

故选：D．

4．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y₁＝ （x＞0）及y₂＝ （x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k₁＝k₂+2，则△OAB的面积是（　　）

A．1 B．2 C．4 D．0.5

【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为 （ ﹣ ）＝ （k₁﹣k₂），再根据k₁＝k₂+2，得k₁﹣k₂＝2，即可得出．

【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为 ，△BOP的面积为 ，

∴△AOB的面积为 （ ﹣ ）＝ （k₁﹣k₂），

∵k₁＝k₂+2，

∴k₁﹣k₂＝2，

∴△AOB的面积为 ＝1，

故选：A．

5．如图，A，B是反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，S_△AOB＝3，则k的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，根据A，B是反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象上的两点，S_△AOD＝S_△BOC＝ ，再根据S_四ABCO＝S_△AOD+S_四ADCB＝S_△AOB+S_△BOC，得S_△ABO＝S_四ADCB，列出方程，解出即可．

【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，

∵A，B是反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象上的两点，

∴S_△AOD＝S_△BOC＝ ，

∵S_四ABCO＝S_△AOD+S_四ADCB＝S_△AOB+S_△BOC，

∴S_△ABO＝S_四ADCB，

∵A（2， ），B（4， ），

∴ ×2（ + ）＝3，

∴k＝4，

故选：A．

6．如图，反比例函数y＝ （k＜0）的图象过正方形OABC的边BC的中点D，与AB相交于点E，若△BDE的面积为2，则k的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8

【分析】设正方形的边长为m，则D（﹣m， ），代入y＝ （k＜0）求得y＝﹣ ，进而求得E（﹣ ，m），根据△BDE的面积为2，即可求得m＝4，进而求得k＝﹣8．

【解答】解：设正方形的边长为m，则D（﹣m， ），

∵反比例函数y＝ （k＜0）的图象过正方形OABC的边BC的中点D，

∴k＝﹣m• ＝﹣ ，

∴y＝﹣ ，

把y＝m代入得，x＝﹣ ，

∴E（﹣ ，m），

∴BD＝BE＝ ，

∴ BD•BE＝ ＝2，

解得m＝4（负数舍去），

∴k＝﹣4× ＝﹣8，

故选：D．

7．如图，A，B是反比例函数y＝ 图象上的两点，分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形S₁，S₂，S₃，已知S₂＝3，S₁+S₃的值为（　　）

A．16 B．10 C．8 D．5

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S₁+S₂＝S₂+S₃＝8，即可解决问题．

【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝ 图象上的两点，

∴S₁+S₂＝S₂+S₃＝8，

∵S₂＝3，

∴S₁＝S₃＝5，

∴S₁+S₃＝10，

故选：B．

8．如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E．若S_△BCD＝3，则k的值为（　　）

A． B．3 C．6 D．12

【分析】作AF⊥x轴于F，易得矩形ABOF的面积等于平行四边形ABCD的面积等于三角形BCD面积的2倍等于6，再利用|k|等于矩形ABOF的面积即可．

【解答】解：作AF⊥x轴于F，

∵S_△BCD＝3，

∴S_{平行四边形ABCD}＝2S_△BCD＝6，

∵S_矩形ABOF＝S_{平行四边形ABCD}，

∴S_矩形ABOF＝6，

∴|k|＝6，

∵在第一象限，

∴k＝6，

故选：C．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴上，函数 ）的图象经过菱形的顶点C和对角线的交点M，若菱形OABC的面积为6，则k的值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．

【解答】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c， ），

则a• ＝6，点M的坐标为（ ， ），

∴ ，

解得，k＝2，

故选：D．

10．如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 ＝ ，△AOB的面积为24，则k的值为 　24　．

【分析】根据三角形的面积公式可得S_△AOD＝ S_△AOB＝12＝ |k|，进而求出答案．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，

∵OC∥AD， ＝ ，

∴ ＝ ，

∴S_△AOD＝ S_△AOB＝ ×24＝12＝ |k|，

而k＞0，

∴k＝24，

故答案为：24．

11．如图，在直角坐标系中，点A、C分别在两坐标轴上，点B在第二象限，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝ （x＜0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝3CE，四边形ODBE的面积是9，则k＝　﹣3　．

【分析】把所给的四边形面积分割为长方形面积减去两个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．

【解答】解：设B点的坐标为（﹣a，b），

∵BE＝3CE，

∴E的坐标为（﹣ ，b），

又∵E在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，

∴k＝﹣ ，

∵S_{四边形ODBE}＝9，

∴S_矩形ABCD﹣S_△OCE﹣S_△OAD＝9，

即ab﹣ ﹣ ＝9，

∴ab＝12，

∴k＝﹣ ＝﹣3．

故答案为：﹣3．

考点四 反比例函数与方程、不等式间的关系

知识点睛

与方程间的关系	求反比例函数的k值，用待定系数法时，会与一元一次方程相结合；求直线与双曲线交点坐标时，联立函数解析式，会与分式方程相结合
与不等式间 的关系	由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳： ①根据图象找出交点横坐标， ②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。 简称：交点横——大在上——左小右大 解集特点： ①当没有象限限制时，解集的形式肯定是分两部分的，即“…或…” ②解集的其中一部分肯定与0有关

类题训练

1．已知正比例函数y＝kx与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，若点A（m，4），则点B的坐标为（　　）

A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（4，﹣1） D．（﹣4，1）

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称

【解答】解：∵点A是正比例函数y＝kx与反比例函数y＝ 的图象的交点，

∴﹣4＝4m，

解得 m＝﹣1，则点A的坐标是（﹣1，4）

∵点A（﹣1，4）与B关于原点对称，

∴B点的坐标为（1，﹣4）．

故选：A．

2．在平面直角坐标系中，函数y＝ （x＜0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），则代数式 的值是（　　）

A．8 B．6 C．10 D．12

【分析】先把点P（a，b）分别代入y＝ （x＜0）与y＝﹣x+4中，可得ab与b﹣a得值，代数式 + 可化为 ，代入即可得出答案．

【解答】解：把点P（a，b）分别代入y＝ （x＜0）与y＝﹣x+4中，

得b＝ ，b＝﹣a+4，

即ab＝2，b+a＝4，

∴ + ＝ ＝ ＝ ＝6，

故选：B．

3．若一次函数y＝x+2与反比例函数y＝ 有两个交点，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0且m≠1 B．m＜2且m≠1 C．m＜0 D．m＞2

【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式组成一元二次方程，判断根的判别式即可．

【解答】解：令y＝x+2＝ ，整理得x²+2x﹣1+m＝0，

∵两个函数有两个交点，

∴Δ＝4﹣4（﹣1+m）＞0，整理得m＜2，

又1﹣m≠0，

∴m≠1，

综上，m的取值范围为m＜2且m≠1．

故选：B．

4．如图，已知反比例函数y₁＝ （k₁＞0）的图象与一次函数y₂＝k₂x（k₂＞0）的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为2，当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．x＜2

C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2

【分析】本题需先根据交点A的坐标，再根据图象在上方的对应的函数值大即可求出x的取值范围．

【解答】解：因为A的横坐标为2，

所以另一个交点的横坐标为﹣2，

从观察图象知，

当y₁＜y₂时，x＞2或﹣2＜x＜0．

故选：D．

5．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象可知不等式 ＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜1 B．x＞4 C．1＜x＜4 D．0＜x＜1或x＞4

【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．

【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，

∴不等式 ＞kx+b的解集是0＜x＜1或x＞4，

故选：D．

6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数y＝ （m≠0）图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式kx+b＜ 的解集是（　　）

A．x＜﹣1或x＞2 B．﹣1＜x＜0或0＜x＜2

C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2

【分析】利用函数图象得到当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝ （m≠0）图象下方时x的取值即可．

【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝ （m≠0）图象下方时，x的取值范围是：﹣1＜x＜0或x＞2，

∴不等式kx+b＜ 的解集是：﹣1＜x＜0或x＞2，

故选：D．

7．函数y＝kx﹣k与y＝ 在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．k＜0 B．m＞0 C．km＞0 D． ＜0

【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．

【解答】解：由图象可知双曲线过二、四象限，m＜0；

一次函数过一、三，四象限，所以k＞0．

故选：D．

8．如图，已知一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 （x＞0）交于C点，且AB＝AC，则k的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，证明△AOB≌△ADC，得CD＝OB＝3，从而得出点C的坐标，即可解决问题．

【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，

∴B（0，﹣3），

∴OB＝3，

如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

在△AOB与△ADC中，

，

∴△AOB≌△ADC（AAS），

∴CD＝OB＝3，

∵点C在反比例函数 （x＞0）的图象上，

∴C（4，3），

将C坐标代入一次函数y＝kx﹣3中得4k﹣3＝3，

∴k＝ ，

故选：B．

9．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝ 的图象在第一象限交于点P．若OP＝ ，则k的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【分析】可设点P（m，m+2），由OP＝ 根据勾股定理得到m的值，进一步得到P点坐标，再根据待定系数法可求k的值．

【解答】解：设点P（m，m+2），

∵OP＝ ，

∴ ＝ ，

解得m₁＝2，m₂＝﹣4（不合题意舍去），

∴点P（2，4），

∴4＝ ，

解得k＝8．

故选：B．

10．已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝ 的图象都经过点A（m，2）．

（1）求k，m的值；

（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，直接写出不等式kx﹣ ＞0的解集．

【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数解析式即可求解．

（2）先画出正比例函数图象，根据图象即可作答．

【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得：2m＝6．

∴m＝3．

∴A（3，2）

将点A坐标代入正比例函数解析式得：2＝3k．

∴k＝ ．

（2）如图：

由图象可知，不等式kx﹣ ＞0的解是x＞3或﹣3＜x＜0．

考点五 反比例函数的实际应用

知识点睛

以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分

类题训练

1．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

【分析】利用三角形面积公式得出 xy＝10，进而得出答案．

【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，

∴ xy＝10，

∴y与x的函数关系式为：y＝ ．

故选：C．

2．今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与x的函数关系式．

【解答】解：由题意得y＝ ，即y＝ ，

故选：D．

3．某学校要种植一块面积为200m²的长方形草坪，要求两边长均不小于10m，则草坪的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】易知y是x的反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．

【解答】解：∵草坪面积为200m²，

∴x、y存在关系y＝ ，

∵两边长均不小于10m，

∴x≥10、y≥10，则x≤20，

故选：C．

4．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m³）的反比例函数，其图象如图所示．

（1）求这个函数的解析式；

（2）当气体体积为1m³时，气压是多少？

（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m³）

【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；

（2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p；

（3）把P＝140代入得到V即可．

【解答】解：（1）设 ，

由题意知 ，

所以k＝96，

故 ；

（2）当v＝1m³时， ；

（3）当p＝140kPa时， ．

所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m³．

5．疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷洒共需8min；完成2间办公室和3教室的喷洒共需21min．

（1）该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？

（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m³）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m³时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至（11）班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明．

【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，根据题意列方程组求解即可；

（2）先根据一间教室的药物喷洒时间为5min和点A在y＝2x上求出点A的坐标（5，10），则反比例函数表达式为y＝ ，当x＝55时，y＝ ＜1，即可求解．

【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，

则 ，

解得 ，

故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；

（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，

当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），

设反比例函数表达式为：y＝ ，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，

故反比例函数表达式为y＝ ，

当x＝55时，y＝ ＜1，

故一班学生能安全进入教室．