【324296】2024八年级数学下册 专题突破 第07讲 三角形的中位线专题复习（含解析）（新版）浙

第7讲三角形的中位线专题探究

类型一三角形中位线定理

知识点睛：

三角形中位线定理的应用

（1）证明平行问题;

（2）证明一边是另一边的2倍或

（3）解决"中点问题".

注意∶在处理这些问题时，要求出现三角形及其中位线：

①有中点连线而无三角形，要作辅助线产生三角形;

②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.

类题训练

1．（罗湖区校级期末）如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积＝ ×△ABE的面积＝ ×△ABD的面积＝ ×△ABC的面积＝2，△AEG的面积＝2，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积＝ ×△BCE的面积＝2，进而得到△AFG的面积．

【解答】解：∵点D是BC的中点，

∴AD是△ABC的中线，

∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝ ×△ABC的面积，

同理得：△AEF的面积＝ ×△ABE的面积＝ ×△ABD的面积＝ ×△ABC的面积＝ ×16＝2，

△AEG的面积＝2，

△BCE的面积＝ ×△ABC的面积＝8，

又∵FG是△BCE的中位线，

∴△EFG的面积＝ ×△BCE的面积＝ ×8＝2，

∴△AFG的面积是2×3＝6，

故选：A．

2．（寿光市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【分析】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝ BC＝6，AF＝FH，再证△BFA≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．

【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：

∵ 点D、E分别为边AB、AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝ BC＝6，AF＝FH，

在△BFA和△BFH中，

，

∴△BFA≌△BFH（AAS），

∴BH＝AB＝8，

∵AD＝DB，AF＝FH，

∴DF是△ABH的中位线，

∴DF＝ BH＝4，

∴EF＝DE﹣DF＝2，

故选：C．

3．（海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝ ，则△ABC的周长为（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20

【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【解答】解：在△BNA和△BNE中，

，

∴△BNA≌△BNE（ASA），

∴BE＝BA，AN＝NE，

同理，CD＝CA，AM＝MD，

∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝ ，

∴DE＝2MN＝3，

∵BE+CD﹣BC＝DE，

∴AB+AC＝BC+DE＝10，

∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，

故选：A．

4．（江干区期末）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，根据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可．

【 解答】解：延长BE交AC于F，

∵BE⊥AE，

∴∠AEB＝∠AEF＝90°，

在△AEF和△AEB中，

，

∴△AEF≌△AEB（ASA）

∴AF＝AB＝10，BE＝EF，

∴CF＝AC﹣AF＝8，

∵BE＝EF，BD＝DC，

∴DE＝ CF＝4，

故选：A．

5．（吴兴区二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm²，则△DEF的面积是（　　）cm²．

A．0.5 B．1 C．2 D．4

【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝ AB，ED＝ AC，DF＝ BC，进而证明△EFD∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．

【解答】解：∵点D、E、F分别是各边的中点，

∴EF＝ AB，ED＝ AC，DF＝ BC，

∴ ＝ ＝ ＝ ，

∴△EFD∽△ABC，且相似比为 ，

∴ ＝（ ）²＝ ，

∵△ABC的面积为4cm²，

∴△DEF的面积是1cm²，

故选：B．

6．（广饶县期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　）

A． B． C．1 D．

【分析】取BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DH＝ FC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可．

【解答】解：取BF的中点H，连接DH，

∵BD＝DC，BH＝HF，

∴ DH＝ FC，DH∥AC，

∴∠HDE＝∠FAE，

在△AEF和△DEH中，

，

∴△AEF≌△DEH（ASA），

∴AF＝DH，

∴AF＝ FC，

∵AC＝4，

∴AF＝ ，

故选：B．

7．（龙口市期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A₁B₁C₁，再以△AB₁C₁各边的中点为顶点作△A₂B₂C₂，…如此下去，则△A_nB_n∁_n的周长为（　　）

A． a B． a C． a D． a

【分析】根据三角形中位线定理得到△A₁B₁C₁的周长＝ a，△A₂B₂C₂的周长＝ a＝ a，总结规律，根据规律解答即可．

【解答】解：∵点A₁、B₁、C₁分别为BC、AC、AB的中点，

∴B₁C₁＝ BC，A₁C₁＝ AC，A₁B₁＝ AB，

∴△A₁B₁C₁的周长＝ a，

同理，△A₂B₂C₂的周长＝ a＝ a，

……

则△A_nB_n∁_n的周长＝ a，

故选：A．

8．（东莞市校级期末）如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，即可判断①；求出∠FAE＝∠B，再根据平行线的性质得出AE∥BC，即可判断②；求出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AE＝BD，求出AE＝CD，根据矩形的判定推出四边形ADCE是矩形，根据矩形的性质得出AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，求出DG＝AG＝CG＝EG，根据勾股定理判断④即可；根据AE＝BD＝ BC和AG＝ AC判断③即可．

【 解答】解：连接EC，

∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，故①正确；

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵AE平分∠FAC，

∴∠FAC＝2∠FAE，

∵∠FAC＝∠B+∠ACB，

∴∠FAE＝∠B，

∴AE∥BC，故②正确；

∵AE∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE＝BD，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴CD＝BD，

∴AE＝CD，

∵AE∥BC，∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形，

∴∠DAE＝90°，故④正确；

∵AE＝BD＝ BC，AG＝ AC，

∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；

即正确的个数是3个，

故选：C．

类型二三角形中位线在四边形中的应用

知识点睛：

四边形中中位线的构造

1. 四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;

2. 四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.

此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于判断线段关系或由线段引发的角度关系。

注意∶构造出的中位线往往是相等的，且正好是等对边或等对角线的一半.

类题训练

1 ．（孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（　　）

A．线段EF的长逐渐增大

B．线段EF的长逐渐减少

C．线段EF的长不变

D．△ABP和△CRP的面积和不变

【分析】连接AR，根据三角形的中位线定理可得EF＝ AR，根据AR的变化情况即可判断．

【解答】解：连接AR，

∵E，F分别是AP，RP的中点，

∴EF＝ AR，

∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，

∴ 线段EF的长逐渐增大．

S_△ABP+S_△CRP＝ BC•（AB+CR）．

∵CR随着点R的运动而减小，

∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．

观察选项，只有选项A符合题意．

故选：A．

2．（新城区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．50°

【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝ BC，PE＝ AD，进而证明PF＝PE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．

【解答】解：∵P、F分别是BD、CD的中点，

∴PF＝ BC，

同理可得：PE＝ AD，

∵AD＝BC，

∴PF＝PE，

∵∠EPF＝130°，

∴∠PEF＝∠PFE＝ ×（180°﹣130°）＝25°，

故选：A．

3．（南阳模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5

【 分析】延长FE交CD于点G，由点E，F分别是对角线AC，BD的中点，从而得FG是△BCD的中位线，则有FG＝2.5，再由AD∥BC，则有FG∥AD，EG是△ACD的中位线，则有EG＝1，从而可求EF的长．

【解答】解：∵取DC中点G，连结FG、EG，如图所示：

∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，

∴FG∥BC，EG∥AD，

∵AD∥BC，

∴EG∥BC，FG∥EG，

∴E、F、G三点共线，

∴FG是△BCD的中位线，

∴FG＝ BC＝2.5，

∵AD∥BC，

∴EG∥AD，

∴EG是△ACD的中位线，

∴EG＝ AD＝1，

∴EF＝FG﹣EG＝1.5．

故选：B．

4．（龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　）

A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF

【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG＝ BC，GF＝ AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．

【 解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，

∵E，F分别是边AB，CD的中点，

∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，

∴EG＝ BC，GF＝ AD，

在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即 BC+ AD＞EF，

∴AD+BC＞2EF，

当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，

∴AD+BC＝2EF，

所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．

故选：B．

5．（宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　）

A．2.5 B．3 C．4 D．5

【分析】如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．

【解答】解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，

∵ BD∥CH，

∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，

∵∠A＝90°，

∴∠ECH＝∠A＝90°，

在△DNB和△HNC中，

，

∴△DNB≌△HNC（ASA），

∴CH＝BD＝4，DN＝NH，

在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，

∴EH＝ ＝ ＝5，

∵DM＝ME，DN＝NH，

∴MN＝ EH＝2.5，

故选：A．

6．（凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（　　）

A．5 B． C．2.5 D．3

【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝ DN，从而可知DN最大时，EF的最大值为2.5，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB．

【解答】解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，

∴ED＝EM，MF＝FN，

∴EF＝ DN，

∴DN最大时，EF最大，

∵线段EF的最大值为2.5，

∴DN＝2EF＝5．

∵N与B重合时DN最大，

此时DN＝DB＝ ＝ ＝5，

∴AD＝3．

故选：D．

7．（鄞州区期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（　　）

A． B．3 C． D．5

【分析】首先由勾股定理求得AC的长度，结合直角三角形斜边上中线的性质得到BM＝ AC，三角形中位线定理得到CD＝2MN．

【 解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，则由勾股定理知，AC＝ ＝ ＝10．

∵点N是AD边的中点，

∴BM＝ AC＝5．

∵BM＝3MN，

∴MN＝ BM＝ ．

∵点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，

∴MN是△ACD的中位线．

∵CD＝2MN＝2× ＝ ．

故选：C．

8．（陈仓区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD＝4，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝80°，则MN的长是　　．

【分析】作PH⊥MN于H，根据三角形中位线定理求出PM、PN、∠MPN，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．

【解答】解：作PH⊥MN于H，

∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，

∴PM＝ AB＝2，PN＝ CD＝2，PM∥AB，PN∥CD，

∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝80°，PM＝PN，

∴ ∠MPN＝120°，

∵PM＝PN，

∴∠PMN＝30°，MH＝HN，

∴PH＝ PM＝1，

由勾股定理得，MH＝ ＝ ，

∴MN＝2MH＝2 ，

故答案为：2 ．

9．（垦利区期末）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是　　．

【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．

【解答】解：∵F，G分别为BC，CD的中点，

∴FG＝ BD＝4，FG∥BD，

∵E，H分别为AB，DA的中点，

∴EH＝ BD＝4，EH∥BD，

∴FG∥EH，FG＝EH，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∴EF＝GH＝ AC＝3，

∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，

故答案为：14

10．（商丘四模）如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为　　．

【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．

【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，

∵ E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，

∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，

∴EM∥AB，MF∥DC，EM＝ AB＝2，MF＝ DC＝3，

∵MF∥DC，

∴∠FGC＝∠EFM，

∵EM∥AB，

∴∠FEM＝∠FHB，

∵∠BHF与∠CGF互余，

∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，

∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，

∴△EMF是直角三角形，

∴EF＝ ，

故答案为： ．

11．（莱州市期末）如图，两个等腰Rt△ABC和Rt△CEF，点B在CE上，∠ABC＝∠E＝90°，连接AF，取AF的中点M，连接MB．求证：BM∥CF．

【分析】如图所示，延长AB交CF于点D．根据全等三角形的性质得到AB＝BD，推出BM是△ADF的中位线，于是得到结论．

【解答】证明：如图所示，延长AB交CF于点D．

∵∠ABC＝90°

∴∠CBD＝90°

∵ Rt△ABC和Rt△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝∠ECF＝45°，

∵BC＝BC，

∴△ACB≌△DCB（ASA），

∴AB＝BD，

∵点M是AF的中点，

∴AN＝FM，

∴BM是△ADF的中位线，

∴BM∥CF．

类型三中位线的构造方法总结

（一）. 连接两点构造三角形的中位线

如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

（1）求证：PM＝PN；

（2）求∠MPN的度数．

【分析】（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；

（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．

【解答】解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，

在 △ABE和△DBC中，

∴△ABE≌△DBC（SAS）．

∴AE＝DC．

∵P为AC中点，N为EC中点，

∴PN＝ AE．

同理可得PM＝ DC．

所以PM＝PN．

（2）∵P为AC中点，N为EC中点，

∴PN∥AE．

∴∠NPC＝∠EAC．

同理可得∠MPA＝∠DCA

∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．

又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，

∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．

∵△ABE≌△DBC，

∴∠QDB＝∠BAQ．

∴∠DQA＝∠DBA＝60°．

∴∠MPA+∠NPC＝60°．

∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°．

2. 利用角平分线和垂直构造中位线

1．（芝罘区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．

【分析】延长CF交AB于G，根据等腰三角形的判定和性质得到AG＝AC＝4，FG＝CF，进而求出BG，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：延长CF交AB于G，

∵ AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，

∴△ACG是等腰三角形，

∴AG＝AC＝4，FG＝CF，

∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，

∵AE为△ABC的中线，

∴EF是△BCG的中位线，

∴EF＝ BG＝1，

故选：A．

2．（东宝区校级月考）在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E．

（1）求证：DE∥BC；

（2）若AC＝5，BC＝7，求DE的长．

【分析】（1）根据CE平分∠ACB，AE⊥CE，运用ASA易证明△ACE≌△FCE．根据全等三角形的性质，得AE＝EF，CF＝AC，根据三角形的中位线定理即可得到结论；

（2）根据三角形的中位线定理就可求解．

【 解答】解：（1）延长AE交BC于F，

∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E，

∴∠ACE＝∠FCE，∠AEC＝∠FEC＝90°，

在△ACE和△FCE中，

，

∴△ACE≌△FCE．

∴AE＝EF，

∵点D是AB的中点，

∴AD＝BD，

∴DE是△ABF的中位线．

∴DE∥BC；

（2）∵△ACE≌△FCE，

∴CF＝AC＝5，

∵DE是△ABF的中位线．

∴DE＝ BF＝ （BC﹣AC）＝ （7﹣5）＝1，

故DE的长为1．

2. 倍长法构造三角形中位线

（越秀区校级二模）如图，△ABC、△BEF为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°，BA＝BC，EB＝EF，

连接AF、CF，M为AF的中点．

（1）如图1，当A、F、B共线时，求证：ME＝ CF；

（2）如图2，当A、F、B不共线时，求证：ME＝ CF；

（3）设BC＝2，请直接写出BF+AF+CF的最小值．

【解答】（1）证明：如图1中，延长FE到D，使ED＝EF，连接AD、BD，

∵ △BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，

∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，

∴BE垂直平分DF，

∴∠BDE＝45°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD＝BF，∠DBF＝90°，

在△ABD和△CBF中，

，

∴△ABD≌△CBF（SAS），

∴AD＝CF，

∵M为AF的中点，DE＝EF，

∴ME是△ADF的中位线，

∴ME＝ AD，

∴ME＝ CF．

（2）证明：如图2中，延长FE到D，使ED＝EF，连接AD、BD，

∵ △BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，

∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，

∴BE垂直平分DF，

∴∠BDE＝45°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD＝BF，∠DBF＝90°，

∵∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，

∠ABD+∠ABF＝∠DBF＝90°，

∴∠CBF＝∠ABD，

在△ABD和△CBF中，

，

∴△ABD≌△CBF（SAS），

∴AD＝CF，

∵M为AF的中点，DE＝EF，

∴ME是△ADF的中位线，

∴ME＝ AD，

∴ME＝ CF．

（ 3）解：如图3中，以CF为边在CF的右侧作等边△CFM，将△CFB绕点C逆时针旋转60°得到△CME，连接AE，作EH⊥AC于H，在EH上取一点D，使得CD＝DE，连接DC．

∵CF＝FM，FB＝ME，

∴AF+CF+FB＝AF+FM+ME，

∵AE≤AF+FM+ME，

∴当A，F，M，E共线时，AF+FC+BF的值最小，

∵∠ACB＝45°，∠BCE＝60°，

∴∠ACE＝45°+60°＝105°，

∴∠ECH＝75°，

∵∠H＝90°，

∴∠CEH＝15°，

∵DC＝DE，

∴∠DCE＝∠CED＝15°，

∴∠CDH＝∠DCE+∠DEC＝30°

设CH＝a，则DC＝DE＝2a，DH＝ a，EH＝ a+2a，

在Rt△ECH中，∵EC²＝CH²+EH²，

∴2²＝a²+（ a+2a）²，

∴a＝ ＝ （负根已经舍弃），

在Rt△AEH中，AH＝2 + ＝ ，EH＝ ，

∴AE＝ ＝ ＝ + ．

2. 已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线

（衢州期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C． D．

【分析】取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，根据三角形中位线定理分别求出EG、GF，得出四边形EGFH为正方形，根据正方形的性质计算即可．

【解答】解：取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，

∵ E，G分别是AB，BC的中点，AC＝2

∴EG＝ AC＝1，EG∥AC，

同理：FH＝ AC，FH∥AC，EG＝ AC，GF∥BD，GF＝ BD＝1，

∴四边形EGFH为平行四边形，

∵AC＝BD，

∴GE＝GF，

∴平行四边形EGFH为菱形，

∵AC⊥BD，EG∥AC，GF∥BD，

∴EG⊥GF，

∴菱形EGFH为正方形，

∴EF＝ EG＝ ，

故选：D．

2. 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，P是AD的中点，延长BP交AC于点F．

（1）求证：PB＝3PF；

（2）如果AC的长为13，求AF的长．

【分析】（1）本题可通过构建中位线来求解，过D点作DE∥BF，交AC于E；则DE、PF分别是△CBF、△ADE的中位线，可根据BP、PF与DE的比例关系求出BP、PF的比例关系．

（2）由（1）可知：E、F是AC的三等分点，由此可得出AF的长．

【解答】解：（1）证明：如图所示，过D点作DE∥BF，交AC于E，

因为AB＝AC，AD为△ABC的高，

所以根据等腰三角形的三线合一得D为BC的中点，

所以DE＝ BF．

同 理，因为P为AD的中点

所以PF＝ DE，即PF＝ BF，所以BP＝3PF．

（2）由（1）得：PF、DE分别是DE、BF的中位线，

∴AF＝EF，CE＝EF．

∴AC＝AF+EF+CE＝3AF．

∵AC＝13，

∴AF＝ ．