第6讲平行四边形单元整体分类总复习
考点一多边形的内角和、外角和
知识点睛：
n边形的内角和为
，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数对角线公式
从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，n边形的对角线共有
条
类题训练
1．（九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
【分析】设这个多边形为n边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．
【解答】解：设这个多边形为n边形，它的外角分别为x1，x2，⋯，xn，则对应的内角分别为4x1+30°，4x2+30°，⋯，4xn+30°，
根据题意得，x1+x2+⋯+xn＝360°，
（4x1+30°）+（4x2+30°）+⋯+（4xn+30°）＝（n﹣2）×180°，
∴4×（x1+x2+⋯+xn）+30°n＝（n﹣2）×180°，
∴4×360°+30°n＝（n﹣2）×180°，
∴1440°+30°n＝180°n﹣360°，
∴150°n＝1800°，
∴n＝12，
故选：C．
2．（黄冈期末）一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．9条 B．8条 C．7条 D．6条
【分析】首先计算出多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．
【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，
从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），
故选：D．
3．（海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可得解．
【解答】解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，
则（n﹣2）•180°＝1350°﹣α，
∵0°＜α＜180°，
∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，
∴6
＜n−2＜7
，
∵n为正整数，
∴n＝9，
∴这个多边形的边数n的值是9．
故选：C．
4．（丹东期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可．
【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，
∴多边形的边数为5+3＝8，
故选：B．
5．（天元区期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（ ）
A．36° B．72° C．108° D．144°
【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．
【解答】解：如图，AB的延长线交l2于点M，
∵
五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形ABCDE的每个外角相等．
∴∠MBC＝
＝72°．
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠BMD，
∵∠1＝∠BMD+∠MBC，
∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，
∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．
故选：B．
6．（浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是110°，则∠ADC的外角α的度数是（ ）
A．90° B．85° C．80° D．70°
【分析】根据多边形外角和为360°，进行求解即可．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，
∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，
∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．
故选：D．
考点二平行四边形的性质
知识点睛：
平行四边形的性质定理∶
平行四边形的对边平行且相等.
平行四边形的对角相等，邻角互补.
平行四边形的对角线互相平分.
利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.
类题训练
1．（任城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列判断错误的是（ ）
A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，故A正确；
∴AD∥BC，故B正确；
∴AD＝BC，故C正确；
故选：D．
2．（鄞州区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（ ）
A．30° B．20° C．40° D．35°
【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
故选：A．
3．（秀英区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝8，AB＝5，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，则EF＝（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，
∴EF＝2；
故选：A．
4．（绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标．
【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，
∴
EF∥CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE＝CE，
∴AG＝2AF，CG＝2EF，
∵A（4，0），E（3，1），
∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，
∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，
∴AG＝2，
∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，
∴C（2，2）．
故选：D．
5．（越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝
，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（ ）
A．
+1 B．
C．
D．
【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝
，即可得到OE+2EF的值．
【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴BO＝2AO，
∵AB＝
，
∴AO＝1，BO＝2，
∴S△ABO＝
AO•AB＝
，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝
，
∵OF⊥AO，EF⊥OD，
∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝
＝
＝
，
即OE+2EF＝
．
故选：B．
6．（九江期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，∠BAC＝30°，AB＝5cm，则它的面积为 ．
【
分析】根据S▱ABCD＝2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．
【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E．
在直角三角形ABE中，
∠BAC＝30°，AB＝5cm，
∴BE＝AB•sin∠CAB＝5×
＝2.5（cm），
S△ABC＝AC•BE÷2＝10（cm2），
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝20cm2．
故答案为：20cm2．
7．（鄞州区校级期末）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是 ．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的值，然后根据三角形三边关系，即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝
AC＝
×10＝5，OB＝OD＝
BD＝
×6＝3，
∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
∴5﹣3＜m＜5+3，
∴m的取值范围是：2＜m＜8．
故答案为：2＜m＜8．
8．（桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】作AM⊥BC于M，如图所示：根据直角三角形的性质得到BM＝
AB＝
×2＝1，根据勾股定理得到AM＝
＝
＝
，得到S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3
，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BO＝DO，根据全等三角形的性质得到S△BOE＝S△DOF，于是得到结论．
【
解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝
AB＝
×2＝1，
在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，
∴AM＝
＝
＝
，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE＝S△DOF，
∴图中阴影部分的面积＝
▱ABCD的面积＝
，
故答案为：
．
9．（海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；
（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝
AD，CF＝
BC，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE；
（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，
∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，
∵AB＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．
10．（海曙区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
11．（桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，可证∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，然后通过SAS即可证得△ADE≌△CBF；
（2）证出四边形AHCG是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵OE＝OF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵△ADE≌△CBF，
∴∠DAE＝∠BCF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥HC，
∵AH∥CG，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴AH＝CG．
考点三平行四边形的判定
知识点睛：
平行四边形的判定方法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
将平行四边形问题化为三角形问题来解决，这是问题化为三角形问题来解决，这是解决平行四边形问题的常用方法。
在解决平行四边形的判定问题时，要结合题判定问题时，要结合题目条件选择恰当的方法进行证明。证明过程中的推理步骤要严谨，几何证明过程中的推理步骤要严谨，几何语言书写要规范。
类题训练
1．（泰山区期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对角分别相等 D．一组对边平行且相等
【分析】由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项B符合题意；
C、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
2．（任城区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝
，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或
s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或
s．
3．（沂源县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明：DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形，并说明理由．
【分析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE＝
AB＝AE，再根据等边三角形的性质可得AD＝CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE＝∠CDE＝30°，再有∠DCB＝150°，证明DE∥CB；
（2）当AC＝
AB时，证出DC∥BE，由平行四边形的判定可得出结论．
【
解答】（1）证明：连接CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE＝
AB＝AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD．
∴DE∥BC．
在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE＝30°．
∵∠DCB＝150°，
∴∠EDC+∠DCB＝180°．
∴DE∥CB．
（2）解：当AC＝
AB时，四边形DCBE是平行四边形．
理由：∵AC＝
AB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∵∠DCB＝150°，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴DC∥BE，
又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．
4．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，E，F是AC上两点，且AE＝CF．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
【分析】连接MN交AC于点O，可证得MN∥AD，可得O为AC和MN的中点，且可证明OE＝OF，可证得结论．
【解答】证明：连接MN交AC于点O，
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴DN＝
CD，AM＝
AB，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，且AB∥CD，
∴DN＝AM，且DN∥AM，
∴四边形AMND为平行四边形，
∴MN∥AD，
∴O为AC的中点，
∴ON＝OM＝
AD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形MFNE为平行四边形．
考点四平行四边形的性质与判定的综合
知识点睛：
在解题的过程中，我们有时既需要用到平行四边形的判定定理，又需要用到平行四边形的性质定理，请注意正确使用，不要混淆.在进行有关计算时，还需要用到特殊三角形等其他几何知识以及数形结合的数学思想。
在已知条件中，若出现两线段互相平分，则可构造平行四边形，利用平行四边形的性质解题.
类题训练
1．（莱芜区期末）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【
分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（任城区校级期末）如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【
分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【解答】解：设EF与NH交于点O，
∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边BEON、DFOH、DHNC、BEFC、BAHN、AEOH、AEFD、ONCF都是平行四边形，共8个．
故选：B．
3．（迁安市期末）如图，▱ABCD中，要在对角线BD上找点E、F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
甲
：只需要满足BE＝DF
乙：只需要满足AE＝CF
丙：只需要满足AE∥CF
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
【分析】只要证明△ABE≌△CDF，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
甲：在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故甲正确；
乙：由AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形AECF为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故丙正确；
故选：B．
4．（招远市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法：
①
四边形ABCD是平行四边形；
②AB＝BC；
③AC⊥BD
④AC平分∠BAD；
⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24．
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
∵AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确，
∵AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝
AC×BD＝
×6×8＝24，故⑤正确；
正确的个数有5个，
故选：D．
5．（莱阳市期末）如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，求得AE＝CF，根据全等三角形的性质得到AH＝CG，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠F，
∵AD＝BC，DE＝BF，
∴AD+DE＝BC+BF，
即AE＝CF，
在△AEH与△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA），
∴A＝CG，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形．
6．（任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
7．（阿城区期末）如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，E、F分别是线段BO、OD上的点，并且BE＝DF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，若E、F分别是线段BO、OD上的中点，在不添加辅助线的条件下，直接写出所有面积等于四边形AECF面积的三角形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是线段BO、OD上的中点，
由（1）可得四边形AECF是平行四边形，
∴△ABC的面积＝△ACD的面积＝△ABD的面积＝△BCD的面积＝四边形AECF面积的三角形．
考点五三角形的中位线
知识点睛：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
当题目中出现多条线段的中点时，要联想到三角形的中位线.三角形的中位线定理既有两条线段之间的位置关系（平行），又有两条线段之间的数量关系（1∶2）.
三角形的中位线通常可以用来解决线段的位置关系与数量关系的相关问题，在实际运用中，有些问题虽然没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过添加辅助线就可运用其解决相关问题.
类题训练
1．（晋江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，AB＝8，D、E分别是AB与AC的中点，则DE的长为（ ）
A．5 B．4 C．2
D．2
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠B＝30°，
∴AC＝
AB＝
×8＝4，
由勾股定理得：BC＝
＝
＝4
；
∵D、E分别是AB与AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝
BC＝2
，
故选：C．
2．（渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝
FC＝
×4＝2，
故选：B．
3．（安溪县期末）如图，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝10，CD＝6，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接CF并延长，交AB于G，证明△DFC≌△BFG，根据全等三角形的性质得到BG＝CD＝6，CF＝FG，进而求出AG，根据三角形中位线定理定理计算即可．
【解答】解：连接CF并延长，交AB于G，
∵AB∥DC，
∴
∠D＝∠B，
∵F为BD的中点，
∴DF＝BF，
在△DFC和△BFG中，
，
∴△DFC≌△BFG（ASA），
∴BG＝CD＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝4，
∵CF＝FG，CE＝EA，
∴EF＝
AG＝
×4＝2，
故选：B．
4．（宣化区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若DE＝3，则AB＝ ．
【分析】延长AC交BD的延长线于点F，证明△ADB≌△ADF，根据全等三角形的性质得到BD＝DF，AB＝AF，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长AC交BD的延长线于点F，
在
△ADB和△ADF中，
，
∴△ADB≌△ADF（ASA），
∴BD＝DF，AB＝AF，
∵DE∥AC，BD＝DF，
∴AF＝2DE＝2×3＝6，
∴AB＝6，
故答案为：6．
5．（九龙坡区校级开学）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝
BC＝6，BD＝AD＝
AB＝4，根据等腰三角形的判定定理求出DF，计算即可．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝
BC＝6，BD＝AD＝
AB＝4，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝BD＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
6．（开福区校级开学）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是 cm2．
【分析】根据三角形中位线定理证得DF∥BE，DF＝BE，推出四边形BEFD是平行四边形，进而证得△BDE≌△FED，同理证得△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，即可求出△DEF的面积．
【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝
BC，
∴DF∥BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝
BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝
S△ABC＝
×16＝4（cm2），
故答案为：4．
7．（丽水期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．
（1）求立柱OC的高度；
（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．
【分析】（1）根据三角形中位线定理求出OC；
（2）根据AD的长度求出OC的长度，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：OC∥AD，
∵
点C为AB的中点，
∴OC为△ABD的中位线，
∴OC＝
AD，
∵AD＝1米，
∴OC＝
米；
（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．
当AD＝1.25米时，OC＝0.625米，
所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．
8．（上城区期中）如图1，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF＝
AB．
（2）如图2，在△ABC外作∠EAG＝∠FEA，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．
【分析】（1）由DB＝BC，点E是CD的中点，证明BE⊥CD，得∠AEB＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明EF＝
AB；
（2）先证明AF＝EF，得∠EAB＝∠FEA，再由∠EAG＝∠FEA证得∠EAB＝∠EAG，再根据“角边角”即可证明△ABE≌△AGE．
【解答】（1）证明：如图1，∵DB＝BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠AEB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴EF＝
AB．
（2）证明：如图2，∵AF＝
AB，EF＝
AB，
∴
AF＝EF，
∴∠EAB＝∠FEA，
∵∠EAG＝∠FEA，
∴∠EAB＝∠EAG，
∵BE⊥CD，
∴∠AEB＝∠AEG＝90°，
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（ASA）．
9．如图，已知四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．求证：EF和GH互相平分．
【分析】要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明．
【
解答】证明：连接EG、GF、FH、HE，
∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴EG、HF分别是△ABC与△DBC的中位线，
∴EG＝
BC，HF＝
BC，
∴EG＝HF．
同理EH＝GF．
∴四边形EGFH为平行四边形．
∴EF与GH互相平分．