第9讲特殊四边形中的折叠问题专题训练
类型一折叠与角度
1．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段BC上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（ ）
A．28° B．32° C．34° D．36°
【分析】根据矩形纸片沿EF折叠，可得∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠AEC＝∠DCB，再由对顶角相等，即可解决问题．
【解答】解：∵矩形纸片沿EF折叠，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，
∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，
∴∠AEC＝∠DCB，
∴∠AEC＝∠BFD，
∵∠AEC＝32°，
∴∠BFD＝32°，
故选：B．
2．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△ABE处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小．
【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，
∴∠BEF＝69+45＝114°，
由折叠的性质可知：∠BEA＝
∠BEF＝57°，
∴∠BAE＝90﹣57＝33°，
∴∠EAC＝45﹣33＝12°．
故选：B．
3．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 度．
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝70°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝110°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝110°，
∴∠FED′＝110°﹣70°＝40°；
故答案为：40．
4．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是 ，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是 ．
【分析】根据图形的翻折变换依据平行线性质即可求解．
【解答】解：根据折叠可知：
∠FGD＝2∠FEG＝40°．
∵AD∥BC
∴∠EFG＝∠DEF＝20°
∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°
故答案为40°、120°．
5．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为 ．
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得：∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故
答案为：75°．
类型二折叠与长度
6．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而EC＝
BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，所以x＝3．
故选：A．
7．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，再结合勾股定理得出答案．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴AE＝
＝3．
故选：B．
8．如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．
D．4
【分析】由折叠的性质得出AE＝AD＝10，EF＝DF，根据勾股定理求出BE＝8，设EF＝x，则CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；
由翻折变换的性质得：
AE＝AD＝10，EF＝DF，
∵BE2＝AE2﹣AB2，
∴BE＝
＝8，
∴CE＝2，
设EF＝x，则CF＝6﹣x；
在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2
∴x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝
，
即EF＝
．
故选：C．
9．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，若D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为（ ）
A．3或4 B．
或
C．
或
D．
或
【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′＝PD′，
设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，
∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，
又折叠图形可得AD＝AD′＝5，
∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，
即MD′＝3或4．
在Rt△END′中，设ED′＝a，
①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，
∴a2＝22+（4﹣a）2，
解得a＝
，即DE＝
，
②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，
∴a2＝12+（3﹣a）2，
解得a＝
，即DE＝
．
故选：B．
10．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知AN＝3，MN＝5，设BN＝x，则x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出AM＝4，由折叠的性质得出AN＝NE＝3，CE＝CD，由勾股定理得出x2+82＝（x+6）2，解方程即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵AN＝3，MN＝5，
∴AM＝
＝
＝4，
∵M是AD边中点，
∴AM＝DM＝4，BC＝8，
∵将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，
∴AN＝NE＝3，CE＝CD，
∵BN2+BC2＝CN2，
∴x2+82＝（x+6）2，
解得x＝
．
故选：B．
11．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝
×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得AC＝
＝30，
∴CD′＝30﹣18＝12，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，
在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，
即x2+144＝（24﹣x）2，
解得x＝9，
即DE＝9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．
12．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．13 B．
C．60 D．120
【分析】由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，于是矩形ABCD的面积等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面积可以求出，
【解答】解：如图，由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，
∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF•EH＝2×5×12＝120，
故选：D．
13．（雁江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2
，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG分别平分∠EAD，则GH长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．想办法求出BN，CT即可解决问题．
【解答】解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．
由题意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，
∵AB＝AG＝2
，
∴AM＝AG•cos30°＝3，
同法可得CT＝3，
易知四边形ABNM，四边形GHTN是矩形，
∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，
故选：B．
14．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB，AD上，则EG的长为（ ）
A．
B．
C．4 D．4
【分析】作EM⊥AD于M，由直角三角形的性质得出DM＝
DE＝2，ME＝
DM＝2
，由折叠的性质得AG＝EG，在Rt△GME中，由勾股定理得出EG2＝（8﹣EG+2）2+（2
）2，解得EG＝
即可．
【解答】解：作EM⊥AD于M，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，
∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠MDC＝60°，
∵E是CD中点，
∴DE＝4，
∵ME⊥AD，∠DMC＝60°
∴∠MED＝30°，且ME⊥AD
∴DM＝
DE＝2，ME＝
DM＝2
，
由折叠的性质得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，
在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．
∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2
）2，
解得：EG＝
，
故选：A．
15．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）
A．
cm B．
cm C．
cm D．8cm
【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．
【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x＝
．
故选：B．
类型三折叠与综合
16．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝5，∠BAD＝135°，现将△ABE沿AE折叠，点B'是点B的对应点，设CE的长为x．若点B'落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是 ．
【分析】点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，求出CE＝1；
点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再证明DA＝DE＝5，求出EB′即可解决问题．
【解答】解：点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．
点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝135°，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠B＝45°，
由折叠的性质得：∠AB'H＝∠B＝45°，AB'＝AB＝4，∠AEB＝∠AED，
在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝45°，AB′＝4，
∴HB′＝AH＝
AB'＝2
，
在Rt△ADH中，DH＝
＝
＝
，
∴B'D＝DH﹣HB'＝
﹣2
，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AED，
∴DA＝DE＝5，
∴EB′＝BE＝DE﹣B'D＝5﹣（
﹣2
）＝5﹣
+2
，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣（5﹣
+2
）＝
﹣2
，
∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是1≤x≤
﹣2
，
故答案为：1≤x≤
﹣2
．
17．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．AE＝EC
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，可得BE＝DE，可证AE＝CE，由“SAS”可证△ABE≌△CDE，即可求解．
【解答】解：如图，
∵把矩形纸片ABC'D沿对角线折叠，
∴∠CBD＝∠DBC'，CD＝C'D＝AB，BC＝BC'，
∵AD∥BC'，
∴∠ADB＝∠DBC'，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴BE＝DE，
∴AE＝CE，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴选项A、C、D都不符合题意，
故选：B．
18．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的序号是 ．
【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可．
【解答】解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，
由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，
∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，
设GD＝GF＝x，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝
（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，
在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，
∴x＝6，
∵CD＝BC＝BE+EC＝12，
∴DG＝CG＝6，
∴FG＝GC，
∵FG＞EF，
∴F不是EG的中点，
∴FG≠FC，故②错误，
∵GF＝GD＝GC，
∴∠DFC＝90°，
∴CF⊥DF，
∵AD＝AF，GD＝GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG＝
×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，
∴FG：EG＝3：5，
∴S△GFC＝
×24＝
，故④错误，
故答案为：①③．
19．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF＝2
以上结论中，你认为正确的有 ．（填序号）
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；
③根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出③错误；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故①正确；
②点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，
故②正确；
③∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，
故③错误；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝
＝2
，
故④正确．
综上所述，结论正确的有①②④．
故答案为：①②④．
20．如图，正方形ABCD的边长AB＝12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN＝5，连接AN．
（1）求△AEN的面积；
（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．
【分析】（1）由折叠的性质得NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE＝
，由三角形面积公式即可得出答案；
（2）作FH⊥AB于H，则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得出EF⊥AN，证明△EFH≌△NAB（ASA），得出EF＝AN即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
由折叠的性质得：NE＝AE，
设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，
在Rt△EBN中，由勾股定理得：52+（12﹣x）2＝x2，
解得：x＝
，
∴AE＝
，
∴△AEN的面积＝
AE×BN＝
×
×5＝
；
（2）EF⊥AN，EF＝AN，理由如下：
作FH⊥AB于H，如图所示：
则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，
由折叠的性质得：EF⊥AN，
∴∠NAB+∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠NAB，
在△EFH和△NAB中，
，
∴△EFH≌△NAB（ASA），
∴EF＝AN．
21．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝3，求：
（1）△ADE的周长；
（2）△ACO的面积．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠ACD＝∠ACE＝90°，AD＝AE，CD＝CE，由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD＝3＝CE，∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，由直角三角形的性质可求AD＝2CD＝6，即可求解；
（2）由勾股定理可求AC的长，可证四边形ABEC是平行四边形，可得AO＝OE，可得S△ACO＝
S△ACE＝
×
×3
×3＝
．
【解答】解：（1）∵将△ADC沿AC折叠
∴∠ACD＝∠ACE＝90°，AD＝AE，CD＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝3＝CE，∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，
∴AD＝2CD＝6＝AE，
∴△ADE的周长＝AD+AE+CE+CD＝6+6+3+3＝18；
（2）∵AD＝6，CD＝3，
∴AC＝
＝
＝3
∵AB∥CE，AB＝CE＝CD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AO＝OE，
∴S△ACO＝
S△ACE＝
×
×3
×3＝
．
22．综合与实践：学习完了矩形后，兴趣小组的同学们在一起共同研究矩形的折叠．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）依据矩形的性质以及折叠的性质，即可得到AF∥CE，AE∥CF，即可得到四边形AECF是平行四边形；
（2）设CE＝x，则EM＝BE＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，利用勾股定理即可得到CE的长，进而得出四边形AECF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠BAC＝∠DCA，
由折叠的性质知，∠EAC＝
∠BAC，∠FCA＝
∠DCA，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴AE∥CF，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得，
BC＝
＝8，
由折叠的性质知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，
在Rt△CEM中，CM＝AC﹣AM＝10﹣6＝4，
设CE＝x，则BE＝EM＝8﹣x，
由勾股定理得，ME2+CM2＝EC2，
即（8﹣x）2+16＝x2，
解得x＝5，
∵由（1）得，四边形AECF为平行四边形，
∴S四边形AECF＝EC•CD＝5×6＝30．
23．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，2），点E，F分别在边AB，BC上．沿着OE折叠该纸片，使得点A落在OC边上，对应点为A'，如图①．再沿OF折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．
（Ⅰ）求点C的坐标；
（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与AB相交于点P，展开矩形纸片，如图③．
①求∠OPF的大小；
②点M，N分别为OF，OE上的动点，当PM+MN取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）先由折叠的性质得OA'＝OA＝2，OC＝OE，再证四边形OA'EA是正方形，得OA'＝A'E＝2，然后由勾股定理得OE＝2
，即可求解；
（Ⅱ）①连接EF，由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2
，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，再证△EBF是等腰直角三角形，得BE＝BF＝AB﹣AE＝2
﹣2，设AP＝x，则PB＝2
﹣x，然后由勾股定理得出方程，解得：x＝2
﹣2，最后证Rt△POA≌Rt△FPB（HL），得∠POA＝∠FPB，进而得出结论；
②作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，再求出OG＝NG＝
ON＝2﹣
，即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A（0，2），
∴OA＝2，
由折叠的性质得：OA'＝OA＝2，OC＝OE，
∵四边形OABC是矩形，
∴四边形OA'EA是正方形，
∴OA'＝A'E＝2，
在Rt△OA'E中，由勾股定理得：OE＝
＝
＝2
，
∴点C的坐标为：（2
，0）；
（Ⅱ）①连接EF，如图③所示：
由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2
，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，
由折叠的性质得：∠OEF＝∠OCF＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴BE＝BF＝AB﹣AE＝2
﹣2，
设AP＝x，则PB＝2
﹣x，
由折叠的性质得：PO＝PF，即PO2＝PF2，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：PO2＝OA2+AP2，
在Rt△PBF中，由勾股定理得：PF2＝PB2+BF2，
∴22+x2＝（2
﹣x）2+（2
﹣2）2，
解得：x＝2
﹣2，
∴AP＝BF，
在Rt△POA和Rt△FPB中，
，
∴Rt△POA≌Rt△FPB（HL），
∴∠POA＝∠FPB，
∵∠POA+∠APO＝90°，
∴∠FPB+∠APO＝90°，
∴∠OPF＝180°﹣（∠FPB+∠APO）＝90°；
②由①知，AP＝2
﹣2，∠EOC＝45°，
作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，如图④所示：
则△OGN为等腰直角三角形，
当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，
此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，
∴四边形APN′O为矩形，
∴ON＝ON′＝AP＝2
﹣2，
∴OG＝NG＝
ON＝
×（2
﹣2）＝2﹣
，
∴N（2﹣
，2﹣
）．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；
（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
（4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由．
【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF＝t，又AE＝t，则DF＝AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE＝
AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，此时AD＝
AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD，则t＝12﹣2t，所以t＝4．即当t＝4时，四边形AEA′D为菱形．
【解答】解：（1）AE＝t，AD＝12﹣2t；
（2）∵DF⊥BC，∠C＝30°
∴DF＝
CD＝
×2t＝t
∵AE＝t
∴DF＝AE，
∵∠ABC＝90°，DF⊥BC
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
此时AE＝
AD∴
∴t＝3，
③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°
∴∠AED＝90°﹣∠A＝30°
∴AD＝
AE∴
∴
，
综上：当t＝3秒或
秒时，△DEF为直角三角形；
（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD
∴t＝12﹣2t
∴t＝4
∴当t＝4时，四边形AEA′D为菱形，
设EA′交BC于点G
在Rt△EBG中，∠BEG＝180°﹣∠AEG＝60°
∴GE＝2BE
∵BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2
∴GE＝4＝EA′，
∴点G与点A′重合
∴点A在BC上．
25．如图，在四边形AOCB中，A（0，2），B（
，n）C（
，0），其中△ABO是等边三角形．
（1）如图（a），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使点A与点C重合．
①求点E坐标；
②求△BCF的面积；
（2）如图（b），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使EF∥OB，设点A对折后所对应的点为A′，△A′EF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，t）（t＞0），求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．
【分析】（1）①设点E坐标为（0，y），根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，且求出∠OBC为30度，进而求出n的值，由折叠的性质得到AE＝EC＝2﹣y，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出E坐标；
②过F作FM垂直于CB，设MB＝x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出三角形BCF的面积；
（2）分两种情况考虑：当点A′落在四边形EOBF内或BC上时，如图（b）所示，重合部分的面积即为三角形AEF的面积，表示出S与t的关系式即可；当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，重合部分面积由两等边三角形面积之差，表示出S与t关系式即可．
【解答】解：（1）①设点E的坐标为（0，y），
∵A（0，2），B（
，n），C（
，0），
∴BC⊥x轴，OA＝2，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠BOC＝30°，OA＝OB＝AB＝2，
∴n＝1，
由对折可得AE＝EC＝2﹣y，
在Rt△OCE中，y2+3＝（2﹣y）2，
解得：y＝
，
则E坐标为（0，
）；
②作FM⊥CB于点M，设MB＝x，
∵∠MBF＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△MBF中，FB＝2x，FM＝
x，
在Rt△MCF中，根据勾股定理得：（2﹣2x）2＝（x+1）2+（
x）2，
解得：x＝
，
则S△BCF＝
BC•FM＝
；
（2）∵EF∥OB，
∴△A′EF为等边三角形，
当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，
得S＝
（2﹣t）2﹣
（2﹣2t）2＝﹣
t2+
t（0＜x≤1）；
当点A′落在四边形EOBF内或OB上时，如图（b）所示，
得S＝
（2﹣t）2（1≤x＜2）．
