【324286】2024八年级数学下册 专题19 反比例函数系数K的几何意义（含解析）（新版）浙教版

专题19 反比例函数系数K的几何意义

阅卷人		一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分

1．（2分）（济南期末）如图，两个反比例函数 和 在第一象限的图象分别是 和 ，设点P在 上， 轴于点 ，交 于 ，则 的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【规范解答】解：∵ 轴于点 ，交 于点 ，

∴ ， ，

∴ = ．

故答案为：A．

【分析】利用反比例函数k的几何意义可得 = ×4=2， = ×2=1，再利用割补法求出 的面积即可。

2．（2分）（滁州期中）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在y轴的负半轴上，若 ，则k的值为（　　）

A．2 B．1 C．8 D．4

【答案】D

【规范解答】解：∵AB⊥x轴，点C在y轴上，△ABC的面积为2，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：D．

【分析】根据三角形的面积公式可得 ，求出 ，再根据 可得答案。

3．（2分）（舟山月考）如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，P₄，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃，则S₁＋S₂＋S₃＝（　　）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【规范解答】解：平移后如图，

当x=4时y= ，
∴矩形AOCB的面积为1× = ；
当x=1时y=2，
∴S₁＋S₂＋S₃+S_矩形AOCB=2
∴S₁＋S₂＋S₃=2- = .
故答案为：
【分析】利用平移法，分别求出x=4，x=1时的y的值，可证得S₁＋S₂＋S₃+S_矩形AOCB=2，然后求出S₁＋S₂＋S₃的值.

4．（2分）（海阳期中）如图，已知双曲线 经过 斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为 ，则 的面积为（　　）

A． B．6 C．9 D．10

【答案】C

【规范解答】解：∵ 的中点是D，点A的坐标为 ，

∴ ，

∵双曲线 经过点D，

∴ ，

∴ 的面积 ．

又∵ 的面积 ，

∴ 的面积 的面积 的面积 ．

故答案为：C．

【分析】先根据线段的中点坐标得出点D的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出 的面积，再利用 的面积 的面积 的面积计算即可。

5．（2分）（越城期末）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣ 的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S_▱ABCD为（　　）

A．2.5 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【规范解答】解：如图，过点A、B分别作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，

∵▱ABCD，
∴AB∥x轴，
∴四边形ABEF为矩形，
∴S_▱ABCD=S_矩形ABEF，
∵A、B分别在反比例函数y= 和y=- 的图象上，
∴S_矩形ABEF=2+3=5，
∴S_▱ABCD=5.
故答案为：C.
【分析】如图，过点A、B分别作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，由平行四边形性质得AB∥x轴，易得四边形ABEF为矩形，推出S_▱ABCD=S_矩形ABEF，根据反比例函数k几何意义，得S_矩形ABEF=2+3=5，进而求得▱ABCD的面积.

6．（2分）（灌阳期中）如图，平行四边形 的顶点 在双曲线 上，顶点 在双曲线 上， 中点 恰好落在 轴上，已知 ，则 的值为（　　）

A．-8 B．-6 C．-4 D．-2

【答案】C

【规范解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，

∵点P是BC的中点

∴PC=PB

∵

∴

∴

∵

∴

∵点B在双曲线 上

∴

∴

∴

∴

∵点C在双曲线 上

∴

∴ ．

故答案为：C．

【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得 ，根据反比例函数k的几何意义得 ，从而可得 ，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.

7．（2分）（乐山期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 、 两点，与 轴， 轴分别相交于 、 两点，连接 、 ．过点 作 轴于点 ，交 于点 ．设点 的横坐标为 ．若 ，则 的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】B

【规范解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，

∵一次函数y=-x+b与反比例函数 的图象都关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，
∴DM=AM=BN=CN，
∴S_矩形AMOE=4，
∴S_△AOE=2=S_△AOF+S_△OEF，
设S_△AOF=s，
∴S_△OEF=2-s；
∵ ，
∴S_四边形EFBC=4-s，
∴△OBC和△OAD的面积都为6-2s，
∴△ADM的面积为2（2-s），
∴S_△ADM=2S_△OEF，
∵由对称性易证△AOM≌△BON，
∵DM=AM=BN=CN，
∴EF= AM= NB，
∴EF是△NBO的中位线，
∴点N（2，m，0），
将点B（2m， ）代入y=-x+m+ 得
，
整理得m= （取正值）.
故答案为：B.
【分析】过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，可得到一次函数y=-x+b与反比例函数 的图象都关于直线y=x对称，利用对称性可知AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，利用反比例函数的几何意义可得到矩形AMOE的面积，可推出S_△AOE=2=S_△AOF+S_△OEF，设S_△AOF=s，可表示出△OEF的面积，四边形EFBC，△OBC，△ADM的面积，由此可推出S_△ADM=2S_△OEF；由对称性易证△AOM≌△BON，再证明EF是△NBO的中位线，可表示出点N，B的坐标；然后将点B（2m， ）代入y=-x+m+ ，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.

8．（2分）（海州期末）两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点 在 的图象上， 轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ，当点 在 图象上运动时，以下结论：① 与 始终平行；② 与 始终相等；③四边形 的面积不会发生变化；④ 的面积等于四边形 的面积.其中一定正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【答案】C

【规范解答】解：①正确；∵A，B在 上，

∴S_△AOC=S_△BOE

∴ OC∙AC= OE∙BE，

∴OC∙AC= OE∙BE，

∵OC= PD， BE= PC，

∴PD∙AC= DB∙PC，

∴

∴AB//CD，故此选项正确；

②错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA= PB；

③正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA面积为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化，故此选项正确；

④正确，∵△ODB的面积= ∆OCA的面积= ，

∴△ODB与△OCA的面积相等，

同理可得：S_△ODB= S_△OBE ，

∵△OBA的面积=矩形OCPD的面积-S_△ODB- S_△BAP- S_△AOC，

四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积- S_△ODB- S_△BAP- S_△OBE .

∴△OBA的面积=四边形ACEB的面积，

故此选项正确，

故一定正确的是①③④

故答案为：C

【分析】①根据反比例函数的k的几何意义得S_△AOC=S_△BOE，于是 OC·AC= OE·BE，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OCPD是矩形，由矩形的性质可得OC=PD，BE=PC，于是可得 ，然后根据平行线分线段成比例定理可得AB∥CD；
②由题意可知，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA= PB，其它时候不成立；
③根据四边形PAOB的面积的构成S_四边形PAOB=S_矩形OCPD-S_△BOD-S_△OCA；而S_矩形OCPD、S_△BOD、S_△OCA为定值，所以可得四边形PAOB的面积不会发生变化；
④根据反比例函数的k的几何意义得S_△AOC=S_△BOE，所以可得S_△AOB=S_四边形ACBE.

9．（2分）（乐山期末）如图，反比例函数y= （k>0）的图象经过矩形0ABC对角线的交点D，分别交AB、BC于点E、F。若四边形OEBF的面积为6，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【规范解答】解：设点D的坐标为（a，b），
∴k=ab， ，
∵点D是矩形OABC对角线的交点，
∴A（2a，0），B（2a，2b），C（0，2b），
∴点D的横坐标为2a，点E的纵坐标为2b，
∵点D、E在 的图像上，
∴点E的横坐标为 ，点D的纵坐标为 ，
∵S_△OAD+S_△OCE+S_矩形ODBE=S_矩形OABC，
∴ ，
∴k=ab=2，
故答案为：B.
【分析】设点D的坐标为（a，b），再表示出点A、B、C、D、D，接着根据S_△OAD+S_△OCE+S_矩形ODBE=S_矩形OABC即可求解.

10．（2分）（鞍山月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数 的图象与正方形 的两边 、 分别交于点M、N， 轴，垂足为D，连接 、 、 ，下列结论错误的是① ；②四边形 与 面积相等；③ ；④若 ， ，则点C的坐标为 .其中正确的结论有（　　）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④

【答案】B

【规范解答】解： 都在 图象上，

在正方形 中，

①正确；

而

②正确；

的值不能确定，

的值不能确定，

只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，

③错误；

作 于点E，如图，

为等腰直角三角形，

设

在 中，MN=2，

为等腰直角三角形

设正方形ABCO的边长为

则

在 中，

解得 （舍去）

④正确，故①②④正确.

故答案为：B.

【分析】①根据反比例函数的比例系数的几何意义，得到 ，结合三角形面积公式及正方形性质解得，NC=AM，再根据SAS判断 ；
②根据 及 解题即可；
③由全等三角形的性质解得ON=OM，由于k的值不能确定，则 的值不能确定，无法确定 为等边三角形，则可判断 ；
④作 于点E，由等腰直角三角形的性质得到 ，设 ，结合勾股定理解得x的值，并用勾股定理逆定理证明 为等腰直角三角形，设正方形ABCO的边长为a，在 中，根据勾股定理解题即可解得a的值，继而得到结论.

阅卷人		二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
得分

11．（2分）（通川期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y＝ （x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为 　 　．

【答案】-12

【规范解答】解：如图所示，过点C作CD⊥OA于点D，

∵A点的坐标为（5，0），
∴菱形的边长OA＝5，
∴OC=5，
∵S_菱形OABC＝OA·CD＝ OB·AC，
∴5CD＝ ×40=20，
∴CD＝4，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得，OD＝ ＝ ＝3，
∴点C（3，-4），
∵函数y＝ （x＞0）的图象经过C点，
∴k＝3×（-4）＝-12．
故答案为：-12．
【分析】如图所示，过点C作CD⊥OA于D，根据点A的坐标求出菱形的边长，再根据菱形的面积计算公式可得5CD＝ ×40=20，可求出CD长，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点C的坐标，再代入反比例函数解析式求解即可．

12．（2分）（诸暨期末）如图所示，点 是x轴正半轴上一点，以 为斜边作等腰 ，直角顶点A在第一象限.反比例函数 图象交 于点C，交 于D，若 ，求 　 　.

【答案】

【规范解答】解：作 于点N，作 于点H，作 于点G，作 于点K，连接 ，如图，

∵ 是等腰直角三角形，且 ，

∴ 、 、 都是等腰直角三角形，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，即 ，

解得 (舍去)或 ，

∴ ，

∴点C的坐标为 ，

∵反比例函数 图象经过点C，

∴ .

故答案为： .

【分析】作AN⊥OB于点N，作CH⊥OB于点H，作DG⊥OB于点G，作CK⊥AN于点K，连接OD，易得△COH、△ACK、△DBG都是等腰直角三角形，利用AAS证明△ACK≌△DBG，得到GB=CK，设OH=a，CK=BG=b，则a+b=AN= OB=1，根据反比例函数系数k的几何意义可得S_△OCH=S_△ODG= k，结合三角形的面积公式可得b的值，然后求出a，进而可得点C的坐标，然后代入y= 中就可求出k的值.

13．（2分）（文登期中）如图，在反比例函数 的图象上，有点 ， ， ， ， ， ， ，它们的横坐标依次为1，2，3，4， ，n， ，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ， ， ， ， ， ， ，则 的结果为　 　

【答案】

【规范解答】解：由题可知：点 坐标为 ，点 的坐标为 ，

∴点 与点 的纵坐标之差为 ，

∴ ．

故答案为： ．

【分析】先求出点 与点 的纵坐标之差为 ，再列出算式可得 。

14．（2分）（镇巴期末）如图，点 是反比例函数 的图象上任意一点， 轴交反比例函数 的图象于点 ，以 为边作平行四边形 ，其中 在 轴上，则 　 　.

【答案】5

【规范解答】解：连接OA，OB，AB交y轴于E，

∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∵ 点 是反比例函数 的图象上任意一点， 轴交反比例函数 的图象于点 ，
∴S_△OEA＝ ×3＝ ，S_△OBE＝ ×2＝1，
∴ ；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S_{平行四边形}ABCD＝2S_△OAB＝5.
故答案为：5.

【分析】连接OA，OB，AB交y轴于E，利用反比例函数的几何意义，可求出△BOE，△AOE的长面积，由此可求出△AOB的面积；然后利用S_{平行四边形}ABCD＝2S△OAB，代入计算即可.

15．（2分）（惠山期末）如图，四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，反比例函数 （k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，则 k的值为　 　.

【答案】8

【规范解答】解：如图，过点A、C、F分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D、G，

四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，

轴， ，
∴

，

若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，

，

，

，

，

，

即 ，

，

即 ，

解得 .

故答案为：8.

【分析】过点A、C、F分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D、G，根据平行四边形的性质可得AC∥
x轴，AE=CD，OA=BC，证明△OAE≌△CBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S_△AOE=S_△CBD= ，易得S_△OFB=S_△AFC= S_△AOF=3，证明△BFG∽△BCD，根据相似三角形的性质可得S_△BFG= ，则S_△OBF+S_△BGF= ，据此求解.

16．（2分）（越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 　 　．

【答案】12

【规范解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，

∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y= （k＞0，x＞0）图象上，
∴S_△AOG=S_△FOH= ，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S_△AOE=S_△ABE=18，
∴S_△AOG= S_△AOE=6，
∴ =6，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S_△AOG=S_△FOH= ，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S_△AOE=S_△ABE=18，进而可得S_△AOG= S_△AOE=6，则 =6，即可求出k值.

17．（2分）（泰山期中）如图，在x轴正半轴上依次截取OA₁＝A₁A₂＝A₂A…A_n﹣1A_n（n为正整数），过点A₁、A₂、A₃、…、A_n分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝ （x＞0）交于点P₁、P₂、P₃、…、P_n，连接P₁P₂、P₂P₃、…、P_n﹣1P_n，过点P₂、P₃、…、P_n分别向P₁A₁、P₂A₂、…、P_n﹣1A_n﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是　 　

【答案】

【规范解答】设OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝…＝A_n﹣1A_n＝1，

∴P₁(1，y₁)，P₂(2，y₂)，P₃(3，y₃)，…P_n(n，y_n)，

∵P₁，P₂，P₃…P_n在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，

∴y₁＝1，y₂＝ ，y₃＝ …y_n＝ ，

∴S₁＝ ×1×（y₁﹣y₂）＝ ×（1﹣ ），

S₂＝ ×1×（y₂﹣y₃）＝ ×（ ﹣ ），

S₃＝ ×1×（y₃﹣y₄）＝ ×（ ﹣ ），

…

S_n﹣1＝ （ ﹣ ），

∴S₁+S₂+S₃+…+S_n﹣1═ （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝ ．

故答案为： ．

【分析】设OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝…＝A_n﹣1A_n＝1，得出P₁(1，y₁)，P₂(2，y₂)，P₃(3，y₃)，…P_n(n，y_n)，再根据P₁，P₂，P₃…P_n在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，得出y₁＝1，y₂＝ ，y₃＝ …y_n＝ ，推出S₁的的答案，从而得出S₂、S₃、…，从而得出S_n﹣1＝ （ ﹣ ），即可得出答案。

18．（2分）（大邑期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数 （k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若 ＝ ．记 CEF的面积为S₁， OEF的面积为S₂，则 ＝　 　．

【答案】

【规范解答】解：如图，过点F作FR⊥MO于点R，EW⊥NO于点W，

∵ ，

∴ ，

∵ME•EW＝FR•NF，

∴ ＝ ，

设E点坐标为：（x，4y），则F点坐标为：（4x，y），

∴S₁＝ （4x﹣x）（4y﹣y）＝ xy，

∵△OEF的面积为：S₂＝S_矩形CNOM﹣S₁﹣S_△MEO﹣S_△FON

＝CN•ON﹣ xy﹣ ME•MO﹣ FN•NO

＝4x•4y﹣ xy﹣ x•4y﹣ y•4x

＝16xy﹣ xy﹣4xy

＝ xy，

∴ ．

故答案为： ．

【分析】过点F作FR⊥MO于点R，EW⊥NO于点W，根据反比例函数系数k的几何意义可得ME•EW＝FR•NF，即得 ＝ ，可设E（x，4y），则F（4x，y），可得S₁＝ xy，从而求出△OEF的面积S₂＝S_矩形CNOM﹣S₁﹣S_△MEO﹣S_△FON=＝ xy，从而求出 的值.

19．（2分）（吴兴期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数 的图象经过点A，与AF交于点E，且AE=EF，△ADF的面积为6，则k的值为　 　．

【答案】-4

【规范解答】解：连结BD，则BO⊥AC，又 AF⊥AC ，所以AF//BD，又点O在BD上，

所以S△AFO=S △ADF =6
过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
则EM//AN，又 AE=EF 所以FM=MN
根据题意设E（ ，a），则A（ ，2a），M（ ，0），N（ ，0）
S△AFO= FO×AN= FO×2a=6 ，得FO= 所以 F（- ，0）
FM= -（- ）= + ，MN= -
所以 + = - 解得k=-4
故答案为：-4

【分析】连结BD，证明AF//BD即可得到S△AFO=S △ADF=6，过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，再结合题意即可得到FM=MN根据题意设E（ ，a），则A（ ，2a），M（ ，0），N（ ，0），再运用S△AFO= FO×AN即可求出F点坐标的表达式，再写出FM、MN的表达式即可求解.

20．（2分）（来宾期末）如图，反比例函数 的图象经过矩形 对角线的交点 ，分别交 ， 于点 、 .若四边形 的面积为12，则 的值为　 　.

【答案】4

【规范解答】∵ 、 、 位于反比例函数图象上，

∴ ， ，

过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，

∴四边形ONMG是矩形，

∴ ，

∵ 为矩形 对角线的交点，

∴ ，

∵函数图象在第一象限，

∴ ，

∴ + +S_四边形ODBE= ，

解得： .

故答案为4

【分析】 从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、□OABC的面积与|k|的关系， 根据 + +S_四边形ODBE列出等式求出k值．

阅卷人		三、解答题(共8题；共60分)
得分

21．（5分）（桐城期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数 的图象于点B，点C在y轴上，若 的面积为8，求k的值．

【答案】解：连接 ， ．

∵ 轴，

∴ ，

∴ ，

解得 ，

∵ ，

∴ ．

【思路点拨】根据平行线的性质得出 ， 列出关于K的方程，并根据图象所在的象限求得K即可。

22．（5分）（天心期中）如图，已知双曲线 （x＞0）经过长方形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，求k的值．

【答案】如图，连接OB，因为点F为长方形OABC的边AB的中点，

所以 ，

又因为E、F都是双曲线 上的点，

设E（a，b）、F（m，n），

所以 ，

，

所以 ，

所以 ．

因为S_四边形OEBF＝2，

所以 ，

即 ，

解得k＝2．

【思路点拨】设出点E和点F的坐标，根据反比例函数k的几何意义，即可得到三角形的面积，求出k的值即可。

23．（8分）（扶沟期末）如图，双曲线 上的一点 ，其中 ，过点M作 轴于点N，连接 .

（1）（4分）已知 的面积是4，求k的值；

（2）（4分）将 绕点M逆时针旋转 得到 ，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，求 的值.

【答案】（1）解： 双曲线 上的一点 ，过点M作 轴于点N，

， ，

又 的面积是4，

，

，

点 在双曲线 上，

；

（2）解：如图，延长 交x轴于R，

由旋转可得 ， ，

， ， ，

轴，

，

四边形 是矩形，

，

， ， ，

，

点 ， 都在双曲线上，

，

即 ，

方程两边同时除以 ，得

，

解得 ，

，

.

【思路点拨】（1）利用已知条件可表示出MN，ON的长，再根据△MON的面积为4，可求出ab的值；再根据点M（a，b）在反比例函数图象上，可得到k的值.
（2）延长PQ交x轴于点R，利用旋转的性质可证得△MON≌△MQP，∠NMP=90°，利用全等三角形的性质可得到MP，PQ的长，同时可证得∠MPQ=90°，即可推出四边形MNRP是矩形，利用矩形的性质可得到∠PRN=90°，可表示出PR，QR，OR的长，由此可得到点Q的坐标，利用点M，Q都在反比例函数图象上，可得到关于a，b的方程，据此可求出a与b的比值.

24．（7分）（汽开区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y= （x＞0）和y= （x＜0）的图象交于点P、点Q．

（1）（3分）求点P的坐标；

（2）（4分）若△POQ的面积为8，求k的值．

【答案】（1）解：∵ 轴，

∴点P的纵坐标为2，

把 代入 得 ，

∴P点坐标为 ；

（2）解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

而 ，

∴ ．

【思路点拨】（1）先求出点P纵坐标，代入 求出和坐标即可；
（2）根据 列方程，解之求出k的值。

25．（7分）（晋江期末）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 在x轴上， 在y轴上， ， ，点D是 边上的动点（不与B，C重合），反比例函数 的图象经过点D，且与 交于点E，连接 ， ， .

（1）（3分）若 的面积为4，

①求k的值；

②点P在x轴上，当 的面积等于 的面积时，试求点P的坐标；

（2）（4分）当点D在 边上移动时，延长 交y轴于点F，连接 ，判断四边形 的形状，并证明你的判断.

【答案】（1）解：①∵ 的面积为4，反比例函数 的图象经过点D，

∴k=2×4=8；

②∵ ， 的面积为4，

∴CD=2，

∵ 的面积= 的面积为4， ，

∴AE=1，

∴ 的面积=4×8- ×（8-2）×（4-1）-4-4=15，

∵点P在x轴上，

∴设P(x，0)

∴ 的面积= |x|×4=15，解得：x= ，

∴P( ，0)或(- ，0)；

（2）解：连接AC，四边形 是平行四边形，理由如下：

由题意得：D( ，4)，E(8， )，

设EF的函数解析式为：y=ax+b，

则 ，解得： ，

∴OF= ，

∴CF=OF-4= =AE，

又∵CF∥AE，

∴四边形 是平行四边形.

【思路点拨】（1）①根据反比例函数k的几何意义进行求解；
②由OC的值以及△CDO的面积可得CD，进而求出AE的值，得到△ODE的面积，设P（x，0），然后表示出△ODP的面积，求解可得x的值，据此可得点P的坐标；
（2）连接AC，由题意得：D（ ，4），E（8， ），利用待定系数法求出直线EF的解析式，得到OF、CF的值，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.

26．（8分）（乐山期末）如图，点 、 分别在反比例函数 和 的图象上，线段 与 轴相交于点 ．

图① 图②

（1）（4分）如图①，若 轴，且 ， ．求 、 的值；

（2）（4分）如图②，若点 是线段 的中点，且 的面积为2．求 的值．

【答案】（1）解：令点 ，因为 轴，且

所以 ，即 ，

又∵ ，

∴ ，即 ，则

（2）解：作 轴， 轴，

由 为 中点，易证 ，

即得 ，

由题得 ，

得

【思路点拨】（1）设点P（a，0），根据|AP|=2|PB|，结合函数解析式，可得到 ，可推出k₁=2k₂；再由k₁+k₂=1，解方程组求出k₁，k₂的值.
（2）过点A作AM⊥x轴，过点B作BN⊥y轴，利用点P是AB的中点，可证得AP=BP，利用AAS证明△AMP≌△BNP，利用全等三角形的性质可得到S_△AMP=S_△BNP，由此可推出S_△AOB=S_△AOM+S_△BON，由此可求出k₁-k₂的值.

27．（8分）（浙江期末）如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP上，过点 作AB的垂线，交射线AP于点 ，交直线MN于点 ，连结AQ，取AQ的中点 .

（1）（3分）如图2，连结BP，求 的面积；

（2）（5分）当点 在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为 .

①求此时点Q，P的坐标；

②此时在y轴上找到一点E，求使|EQ-EP|最大时的点E的坐标.

【答案】（1）解：连结OP.

设点 的坐标为 ，

（2）解：①∵四边形BQNC是菱形，

∴BQ=BC=NQ，

∠BQC=∠NQC.

∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，

∴ ，

∴ ，

在 和 中，

∴

∴

∴

连结 .

∵

令

∴

又∵ ，

∴

∴

在Rt 中， ，

∴

∵

∴

又∵点 在反比例函数 的图象上，

∴点 的坐标为 ，

∵

∴

∴

∵

∴

②如图，作PQ交 轴于点 ，此时 最大.

设直线PQ的表达式为 ，

∵ ，

∴ 解得

∴直线PQ的表达式为

令 ，则 .

∴

【思路点拨】(1)连结OP ​​​​​，由于PA∥y轴，把△PAB的面积转化为△PAO的面积，然后根据反比例函数图象k的几何意义，解答即可.
(2)由菱形的性质得出，BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，然后利用SAS证明△ABQ≌△ANQ， 得出 ，连接BN， 令 根据菱形BQNC的面积为2 建立关于 t方程求出BN和BQ长，在 Rt 中， 根据含30°角的直角三角形的性质求出AB和OA的长，结合反比例函数的解析式，求出点P的坐标，然后利用全等三角形的性质求出AN长，再求出QN长，即可解答；
(3) 作PQ交 轴于点 ，根据三角形的三边关系得出 最大，由(2) 求得点P、Q的坐标， 设直线PQ的表达式为 ，利用待定系数法求出直线PQ的解析式，令x=0，求出E点坐标即可.

28．（12分）（淮阴期末）如图

（1）（3分）（探究新知）如图1，已知 与 的面积相等，试判断 与 的位置关系，并说明理由.

（2）（4分）（结论应用）如图2，点M，N在反比例函数 的图象上，过点M作 轴，过点N作 轴，垂足分别为E，F.试证明： .

（3）（5分）（拓展延伸）若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数 图象上的位置，如图3所示， 与x轴、y轴分别交于点A、点B，若 ，请求 的长.

【答案】（1）解： ，理由如下：

过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H，如图所示：

∴ ，

∴ ，

∵ 与 的面积相等，

∴ ，

∴四边形 是平行四边形，

∴ ；

（2）证明：连接MF、NE，如图所示：

设 ，

∵点M，N在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∵ 轴， 轴，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴由（1）中结论可知 ；

（3）解：过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥MN于点H，过点F作FG⊥MN于点G，如图所示：

同理可证 ，

∵ ，

∴四边形EMAF、四边形FNBE都为平行四边形，

∴根据反比例函数k的几何意义可得： ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ .

【思路点拨】(1) 过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H ，由 与 的面积相等 ，得到CG=DH，进而得到 四边形 是平行四边形 ，进而证出AB//CD.
(2) 连接MF、NE ，设 M(a，b)，N(m，n) ，由反比例函数几何意义得到 ，进而得证.
(3) 过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥MN于点H，过点F作FG⊥MN于点G ，先证出 四边形EMAF、四边形FNBE都为平行四边形 ，再由反比例函数几何意义得到 ，进而得证.