专题19 反比例函数系数K的几何意义
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1．（2分）（济南期末）如图，两个反比例函数
和
在第一象限的图象分别是
和
，设点P在
上，
轴于点
，交
于
，则
的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【规范解答】解：∵
轴于点
，交
于点
，
∴
，
，
∴
=
．
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数k的几何意义可得
=
×4=2，
=
×2=1，再利用割补法求出
的面积即可。
2．（2分）（滁州期中）如图，点A在反比例函数
的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在y轴的负半轴上，若
，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．8 D．4
【答案】D
【规范解答】解：∵AB⊥x轴，点C在y轴上，△ABC的面积为2，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的面积公式可得
，求出
，再根据
可得答案。
3．（2分）（舟山月考）如图，在反比例函数
（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝（ ）
A．1 B．
C．
D．2
【答案】C
【规范解答】解：平移后如图，
当x=4时y=
，
∴矩形AOCB的面积为1×
=
；
当x=1时y=2，
∴S1＋S2＋S3+S矩形AOCB=2
∴S1＋S2＋S3=2-
=
.
故答案为：
【分析】利用平移法，分别求出x=4，x=1时的y的值，可证得S1＋S2＋S3+S矩形AOCB=2，然后求出S1＋S2＋S3的值.
4．（2分）（海阳期中）如图，已知双曲线
经过
斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为
，则
的面积为（ ）
A．
B．6 C．9 D．10
【答案】C
【规范解答】解：∵
的中点是D，点A的坐标为
，
∴
，
∵双曲线
经过点D，
∴
，
∴
的面积
．
又∵
的面积
，
∴
的面积
的面积
的面积
．
故答案为：C．
【分析】先根据线段的中点坐标得出点D的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出
的面积，再利用
的面积
的面积
的面积计算即可。
5．（2分）（越城期末）如图，点A是反比例函数y＝
（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣
的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为（ ）
A．2.5 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【规范解答】解：如图，过点A、B分别作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，
∵▱ABCD，
∴AB∥x轴，
∴四边形ABEF为矩形，
∴S▱ABCD=S矩形ABEF，
∵A、B分别在反比例函数y=
和y=-
的图象上，
∴S矩形ABEF=2+3=5，
∴S▱ABCD=5.
故答案为：C.
【分析】如图，过点A、B分别作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，由平行四边形性质得AB∥x轴，易得四边形ABEF为矩形，推出S▱ABCD=S矩形ABEF，根据反比例函数k几何意义，得S矩形ABEF=2+3=5，进而求得▱ABCD的面积.
6．（2分）（灌阳期中）如图，平行四边形
的顶点
在双曲线
上，顶点
在双曲线
上，
中点
恰好落在
轴上，已知
，则
的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
【答案】C
【规范解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线
上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线
上
∴
∴
．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得
，根据反比例函数k的几何意义得
，从而可得
，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
7．（2分）（乐山期末）如图，一次函数
与反比例函数
的图象相交于
、
两点，与
轴，
轴分别相交于
、
两点，连接
、
．过点
作
轴于点
，交
于点
．设点
的横坐标为
．若
，则
的值为（ ）
A．1 B．
C．2 D．4
【答案】B
【规范解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，
∵一次函数y=-x+b与反比例函数
的图象都关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，
∴DM=AM=BN=CN，
∴S矩形AMOE=4，
∴S△AOE=2=S△AOF+S△OEF，
设S△AOF=s，
∴S△OEF=2-s；
∵
，
∴S四边形EFBC=4-s，
∴△OBC和△OAD的面积都为6-2s，
∴△ADM的面积为2（2-s），
∴S△ADM=2S△OEF，
∵由对称性易证△AOM≌△BON，
∵DM=AM=BN=CN，
∴EF=
AM=
NB，
∴EF是△NBO的中位线，
∴点N（2，m，0），
将点B（2m，
）代入y=-x+m+
得
，
整理得m=
（取正值）.
故答案为：B.
【分析】过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，可得到一次函数y=-x+b与反比例函数
的图象都关于直线y=x对称，利用对称性可知AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，利用反比例函数的几何意义可得到矩形AMOE的面积，可推出S△AOE=2=S△AOF+S△OEF，设S△AOF=s，可表示出△OEF的面积，四边形EFBC，△OBC，△ADM的面积，由此可推出S△ADM=2S△OEF；由对称性易证△AOM≌△BON，再证明EF是△NBO的中位线，可表示出点N，B的坐标；然后将点B（2m，
）代入y=-x+m+
，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
8．（2分）（海州期末）两个反比例函数
和
在第一象限内的图象如图所示，点
在
的图象上，
轴于点
，交
的图象于点
，
轴于点
，交
的图象于点
，
轴于点
，当点
在
图象上运动时，以下结论：①
与
始终平行；②
与
始终相等；③四边形
的面积不会发生变化；④
的面积等于四边形
的面积.其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【规范解答】解：①正确；∵A，B在
上，
∴S△AOC=S△BOE
∴
OC∙AC=
OE∙BE，
∴OC∙AC= OE∙BE，
∵OC= PD， BE= PC，
∴PD∙AC= DB∙PC，
∴
∴AB//CD，故此选项正确；
②错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA= PB；
③正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA面积为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化，故此选项正确；
④正确，∵△ODB的面积=
∆OCA的面积=
，
∴△ODB与△OCA的面积相等，
同理可得：S△ODB= S△OBE ，
∵△OBA的面积=矩形OCPD的面积-S△ODB- S△BAP- S△AOC，
四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积- S△ODB- S△BAP- S△OBE .
∴△OBA的面积=四边形ACEB的面积，
故此选项正确，
故一定正确的是①③④
故答案为：C
【分析】①根据反比例函数的k的几何意义得S△AOC=S△BOE，于是
OC·AC=
OE·BE，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OCPD是矩形，由矩形的性质可得OC=PD，BE=PC，于是可得
，然后根据平行线分线段成比例定理可得AB∥CD；
②由题意可知，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=
PB，其它时候不成立；
③根据四边形PAOB的面积的构成S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△BOD-S△OCA；而S矩形OCPD、S△BOD、S△OCA为定值，所以可得四边形PAOB的面积不会发生变化；
④根据反比例函数的k的几何意义得S△AOC=S△BOE，所以可得S△AOB=S四边形ACBE.
9．（2分）（乐山期末）如图，反比例函数y=
（k>0）的图象经过矩形0ABC对角线的交点D，分别交AB、BC于点E、F。若四边形OEBF的面积为6，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【规范解答】解：设点D的坐标为（a，b），
∴k=ab，
，
∵点D是矩形OABC对角线的交点，
∴A（2a，0），B（2a，2b），C（0，2b），
∴点D的横坐标为2a，点E的纵坐标为2b，
∵点D、E在
的图像上，
∴点E的横坐标为
，点D的纵坐标为
，
∵S△OAD+S△OCE+S矩形ODBE=S矩形OABC，
∴
，
∴k=ab=2，
故答案为：B.
【分析】设点D的坐标为（a，b），再表示出点A、B、C、D、D，接着根据S△OAD+S△OCE+S矩形ODBE=S矩形OABC即可求解.
10．（2分）（鞍山月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形
的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数
的图象与正方形
的两边
、
分别交于点M、N，
轴，垂足为D，连接
、
、
，下列结论错误的是①
；②四边形
与
面积相等；③
；④若
，
，则点C的坐标为
.其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【规范解答】解：
都在
图象上，
在正方形
中，
①正确；
而
②正确；
的值不能确定，
的值不能确定，
只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
③错误；
作
于点E，如图，
为等腰直角三角形，
设
在
中，MN=2，
为等腰直角三角形
设正方形ABCO的边长为
则
在
中，
解得
（舍去）
④正确，故①②④正确.
故答案为：B.
【分析】①根据反比例函数的比例系数的几何意义，得到
，结合三角形面积公式及正方形性质解得，NC=AM，再根据SAS判断
；
②根据
及
解题即可；
③由全等三角形的性质解得ON=OM，由于k的值不能确定，则
的值不能确定，无法确定
为等边三角形，则可判断
；
④作
于点E，由等腰直角三角形的性质得到
，设
，结合勾股定理解得x的值，并用勾股定理逆定理证明
为等腰直角三角形，设正方形ABCO的边长为a，在
中，根据勾股定理解题即可解得a的值，继而得到结论.
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二、填空题(共10题；每题2分，共20分) |
得分 |
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11．（2分）（通川期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y＝
（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为
．
【答案】-12
【规范解答】解：如图所示，过点C作CD⊥OA于点D，
∵A点的坐标为（5，0），
∴菱形的边长OA＝5，
∴OC=5，
∵S菱形OABC＝OA·CD＝
OB·AC，
∴5CD＝
×40=20，
∴CD＝4，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得，OD＝
＝
＝3，
∴点C（3，-4），
∵函数y＝
（x＞0）的图象经过C点，
∴k＝3×（-4）＝-12．
故答案为：-12．
【分析】如图所示，过点C作CD⊥OA于D，根据点A的坐标求出菱形的边长，再根据菱形的面积计算公式可得5CD＝
×40=20，可求出CD长，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点C的坐标，再代入反比例函数解析式求解即可．
12．（2分）（诸暨期末）如图所示，点
是x轴正半轴上一点，以
为斜边作等腰
，直角顶点A在第一象限.反比例函数
图象交
于点C，交
于D，若
，求
.
【答案】
【规范解答】解：作
于点N，作
于点H，作
于点G，作
于点K，连接
，如图，
∵
是等腰直角三角形，且
，
∴
、
、
都是等腰直角三角形，
∵
，
∴
，
∴
，
设
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
解得
(舍去)或
，
∴
，
∴点C的坐标为
，
∵反比例函数
图象经过点C，
∴
.
故答案为：
.
【分析】作AN⊥OB于点N，作CH⊥OB于点H，作DG⊥OB于点G，作CK⊥AN于点K，连接OD，易得△COH、△ACK、△DBG都是等腰直角三角形，利用AAS证明△ACK≌△DBG，得到GB=CK，设OH=a，CK=BG=b，则a+b=AN=
OB=1，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OCH=S△ODG=
k，结合三角形的面积公式可得b的值，然后求出a，进而可得点C的坐标，然后代入y=
中就可求出k的值.
13．（2分）（文登期中）如图，在反比例函数
的图象上，有点
，
，
，
，
，
，
，它们的横坐标依次为1，2，3，4，
，n，
，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
，
，
，
，
，
，
，则
的结果为
【答案】
【规范解答】解：由题可知：点
坐标为
，点
的坐标为
，
∴点
与点
的纵坐标之差为
，
∴
．
故答案为：
．
【分析】先求出点
与点
的纵坐标之差为
，再列出算式可得
。
14．（2分）（镇巴期末）如图，点
是反比例函数
的图象上任意一点，
轴交反比例函数
的图象于点
，以
为边作平行四边形
，其中
在
轴上，则
.
【答案】5
【规范解答】解：连接OA，OB，AB交y轴于E，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∵
点
是反比例函数
的图象上任意一点，
轴交反比例函数
的图象于点
，
∴S△OEA＝
×3＝
，S△OBE＝
×2＝1，
∴
；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5.
故答案为：5.
【分析】连接OA，OB，AB交y轴于E，利用反比例函数的几何意义，可求出△BOE，△AOE的长面积，由此可求出△AOB的面积；然后利用S平行四边形ABCD＝2S△OAB，代入计算即可.
15．（2分）（惠山期末）如图，四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，反比例函数
（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，则
k的值为
.
【答案】8
【规范解答】解：如图，过点A、C、F分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D、G，
四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，
轴，
，
∴
，
若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，
，
，
，
，
，
即
，
，
即
，
解得
.
故答案为：8.
【分析】过点A、C、F分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D、G，根据平行四边形的性质可得AC∥
x轴，AE=CD，OA=BC，证明△OAE≌△CBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOE=S△CBD=
，易得S△OFB=S△AFC=
S△AOF=3，证明△BFG∽△BCD，根据相似三角形的性质可得S△BFG=
，则S△OBF+S△BGF=
，据此求解.
16．（2分）（越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为
．
【答案】12
【规范解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，
∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y=
（k＞0，x＞0）图象上，
∴S△AOG=S△FOH=
，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S△AOE=S△ABE=18，
∴S△AOG=
S△AOE=6，
∴
=6，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=
，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=
S△AOE=6，则
=6，即可求出k值.
17．（2分）（泰山期中）如图，在x轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A…An﹣1An（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝
（x＞0）交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn﹣1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是
【答案】
【规范解答】设OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴P1(1，y1)，P2(2，y2)，P3(3，y3)，…Pn(n，yn)，
∵P1，P2，P3…Pn在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝
，y3＝
…yn＝
，
∴S1＝
×1×（y1﹣y2）＝
×（1﹣
），
S2＝
×1×（y2﹣y3）＝
×（
﹣
），
S3＝
×1×（y3﹣y4）＝
×（
﹣
），
…
Sn﹣1＝
（
﹣
），
∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1═
（1﹣
+
﹣
+
﹣
+…+
﹣
）＝
．
故答案为：
．
【分析】设OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，得出P1(1，y1)，P2(2，y2)，P3(3，y3)，…Pn(n，yn)，再根据P1，P2，P3…Pn在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，得出y1＝1，y2＝
，y3＝
…yn＝
，推出S1的的答案，从而得出S2、S3、…，从而得出Sn﹣1＝
（
﹣
），即可得出答案。
18．（2分）（大邑期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数
（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若
＝
．记
CEF的面积为S1，
OEF的面积为S2，则
＝
．
【答案】
【规范解答】解：如图，过点F作FR⊥MO于点R，EW⊥NO于点W，
∵
，
∴
，
∵ME•EW＝FR•NF，
∴
＝
，
设E点坐标为：（x，4y），则F点坐标为：（4x，y），
∴S1＝
（4x﹣x）（4y﹣y）＝
xy，
∵△OEF的面积为：S2＝S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON
＝CN•ON﹣
xy﹣
ME•MO﹣
FN•NO
＝4x•4y﹣
xy﹣
x•4y﹣
y•4x
＝16xy﹣
xy﹣4xy
＝
xy，
∴
．
故答案为：
．
【分析】过点F作FR⊥MO于点R，EW⊥NO于点W，根据反比例函数系数k的几何意义可得ME•EW＝FR•NF，即得
＝
，可设E（x，4y），则F（4x，y），可得S1＝
xy，从而求出△OEF的面积S2＝S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON=＝
xy，从而求出
的值.
19．（2分）（吴兴期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数
的图象经过点A，与AF交于点E，且AE=EF，△ADF的面积为6，则k的值为
．
【答案】-4
【规范解答】解：连结BD，则BO⊥AC，又
AF⊥AC
，所以AF//BD，又点O在BD上，
所以S△AFO=S
△ADF
=6
过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
则EM//AN，又
AE=EF
所以FM=MN
根据题意设E（
，a），则A（
，2a），M（
，0），N（
，0）
S△AFO=
FO×AN=
FO×2a=6
，得FO=
所以
F（-
，0）
FM=
-（-
）=
+
，MN=
-
所以
+
=
-
解得k=-4
故答案为：-4
【分析】连结BD，证明AF//BD即可得到S△AFO=S
△ADF=6，过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，再结合题意即可得到FM=MN根据题意设E（
，a），则A（
，2a），M（
，0），N（
，0），再运用S△AFO=
FO×AN即可求出F点坐标的表达式，再写出FM、MN的表达式即可求解.
20．（2分）（来宾期末）如图，反比例函数
的图象经过矩形
对角线的交点
，分别交
，
于点
、
.若四边形
的面积为12，则
的值为
.
【答案】4
【规范解答】∵
、
、
位于反比例函数图象上，
∴
，
，
过点
作
轴于点
，作
轴于点
，
∴四边形ONMG是矩形，
∴
，
∵
为矩形
对角线的交点，
∴
，
∵函数图象在第一象限，
∴
，
∴
+
+S四边形ODBE=
，
解得：
.
故答案为4
【分析】
从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、□OABC的面积与|k|的关系，
根据
+
+S四边形ODBE列出等式求出k值．
阅卷人 |
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三、解答题(共8题；共60分) |
得分 |
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21．（5分）（桐城期末）如图，点A在反比例函数
的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数
的图象于点B，点C在y轴上，若
的面积为8，求k的值．
【答案】解：连接
，
．
∵
轴，
∴
，
∴
，
解得
，
∵
，
∴
．
【思路点拨】根据平行线的性质得出
， 列出关于K的方程，并根据图象所在的象限求得K即可。
22．（5分）（天心期中）如图，已知双曲线
（x＞0）经过长方形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，求k的值．
【答案】如图，连接OB，因为点F为长方形OABC的边AB的中点，
所以
，
又因为E、F都是双曲线
上的点，
设E（a，b）、F（m，n），
所以
，
，
所以
，
所以
．
因为S四边形OEBF＝2，
所以
，
即
，
解得k＝2．
【思路点拨】设出点E和点F的坐标，根据反比例函数k的几何意义，即可得到三角形的面积，求出k的值即可。
23．（8分）（扶沟期末）如图，双曲线
上的一点
，其中
，过点M作
轴于点N，连接
.
（1）（4分）已知
的面积是4，求k的值；
（2）（4分）将
绕点M逆时针旋转
得到
，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，求
的值.
【答案】（1）解：
双曲线
上的一点
，过点M作
轴于点N，
，
，
又
的面积是4，
，
，
点
在双曲线
上，
；
（2）解：如图，延长
交x轴于R，
由旋转可得
，
，
，
，
，
轴，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
点
，
都在双曲线上，
，
即
，
方程两边同时除以
，得
，
解得
，
，
.
【思路点拨】（1）利用已知条件可表示出MN，ON的长，再根据△MON的面积为4，可求出ab的值；再根据点M（a，b）在反比例函数图象上，可得到k的值.
（2）延长PQ交x轴于点R，利用旋转的性质可证得△MON≌△MQP，∠NMP=90°，利用全等三角形的性质可得到MP，PQ的长，同时可证得∠MPQ=90°，即可推出四边形MNRP是矩形，利用矩形的性质可得到∠PRN=90°，可表示出PR，QR，OR的长，由此可得到点Q的坐标，利用点M，Q都在反比例函数图象上，可得到关于a，b的方程，据此可求出a与b的比值.
24．（7分）（汽开区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=
（x＞0）和y=
（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）（3分）求点P的坐标；
（2）（4分）若△POQ的面积为8，求k的值．
【答案】（1）解：∵
轴，
∴点P的纵坐标为2，
把
代入
得
，
∴P点坐标为
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
而
，
∴
．
【思路点拨】（1）先求出点P纵坐标，代入
求出和坐标即可；
（2）根据
列方程，解之求出k的值。
25．（7分）（晋江期末）如图，在平面直角坐标系
中，矩形
的边
在x轴上，
在y轴上，
，
，点D是
边上的动点（不与B，C重合），反比例函数
的图象经过点D，且与
交于点E，连接
，
，
.
（1）（3分）若
的面积为4，
①求k的值；
②点P在x轴上，当
的面积等于
的面积时，试求点P的坐标；
（2）（4分）当点D在
边上移动时，延长
交y轴于点F，连接
，判断四边形
的形状，并证明你的判断.
【答案】（1）解：①∵
的面积为4，反比例函数
的图象经过点D，
∴k=2×4=8；
②∵
，
的面积为4，
∴CD=2，
∵
的面积=
的面积为4，
，
∴AE=1，
∴
的面积=4×8-
×（8-2）×（4-1）-4-4=15，
∵点P在x轴上，
∴设P(x，0)
∴
的面积=
|x|×4=15，解得：x=
，
∴P(
，0)或(-
，0)；
（2）解：连接AC，四边形
是平行四边形，理由如下：
由题意得：D(
，4)，E(8，
)，
设EF的函数解析式为：y=ax+b，
则
，解得：
，
∴OF=
，
∴CF=OF-4=
=AE，
又∵CF∥AE，
∴四边形
是平行四边形.
【思路点拨】（1）①根据反比例函数k的几何意义进行求解；
②由OC的值以及△CDO的面积可得CD，进而求出AE的值，得到△ODE的面积，设P（x，0），然后表示出△ODP的面积，求解可得x的值，据此可得点P的坐标；
（2）连接AC，由题意得：D（
，4），E（8，
），利用待定系数法求出直线EF的解析式，得到OF、CF的值，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
26．（8分）（乐山期末）如图，点
、
分别在反比例函数
和
的图象上，线段
与
轴相交于点
．
图① 图②
（1）（4分）如图①，若
轴，且
，
．求
、
的值；
（2）（4分）如图②，若点
是线段
的中点，且
的面积为2．求
的值．
【答案】（1）解：令点
，因为
轴，且
所以
，即
，
又∵
，
∴
，即
，则
（2）解：作
轴，
轴，
由
为
中点，易证
，
即得
，
由题得
，
得
【思路点拨】（1）设点P（a，0），根据|AP|=2|PB|，结合函数解析式，可得到
，可推出k1=2k2；再由k1+k2=1，解方程组求出k1，k2的值.
（2）过点A作AM⊥x轴，过点B作BN⊥y轴，利用点P是AB的中点，可证得AP=BP，利用AAS证明△AMP≌△BNP，利用全等三角形的性质可得到S△AMP=S△BNP，由此可推出S△AOB=S△AOM+S△BON，由此可求出k1-k2的值.
27．（8分）（浙江期末）如图1所示，已知
图象上一点
轴于点
，点
，动点
是
轴正半轴点
上方的点，动点
在射线AP上，过点
作AB的垂线，交射线AP于点
，交直线MN于点
，连结AQ，取AQ的中点
.
（1）（3分）如图2，连结BP，求
的面积；
（2）（5分）当点
在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为
.
①求此时点Q，P的坐标；
②此时在y轴上找到一点E，求使|EQ-EP|最大时的点E的坐标.
【答案】（1）解：连结OP.
设点
的坐标为
，
（2）解：①∵四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，
∠BQC=∠NQC.
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
∴
∴
连结
.
∵
令
∴
又∵
，
∴
∴
在Rt
中，
，
∴
∵
∴
又∵点
在反比例函数
的图象上，
∴点
的坐标为
，
∵
∴
∴
∵
∴
②如图，作PQ交
轴于点
，此时
最大.
设直线PQ的表达式为
，
∵
，
∴
解得
∴直线PQ的表达式为
令
，则
.
∴
【思路点拨】(1)连结OP
，由于PA∥y轴，把△PAB的面积转化为△PAO的面积，然后根据反比例函数图象k的几何意义，解答即可.
(2)由菱形的性质得出，BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，然后利用SAS证明△ABQ≌△ANQ，
得出
，连接BN，
令
根据菱形BQNC的面积为2
建立关于
t方程求出BN和BQ长，在
Rt
中，
根据含30°角的直角三角形的性质求出AB和OA的长，结合反比例函数的解析式，求出点P的坐标，然后利用全等三角形的性质求出AN长，再求出QN长，即可解答；
(3)
作PQ交
轴于点
，根据三角形的三边关系得出
最大，由(2)
求得点P、Q的坐标，
设直线PQ的表达式为
，利用待定系数法求出直线PQ的解析式，令x=0，求出E点坐标即可.
28．（12分）（淮阴期末）如图
（1）（3分）（探究新知）如图1，已知
与
的面积相等，试判断
与
的位置关系，并说明理由.
（2）（4分）（结论应用）如图2，点M，N在反比例函数
的图象上，过点M作
轴，过点N作
轴，垂足分别为E，F.试证明：
.
（3）（5分）（拓展延伸）若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数
图象上的位置，如图3所示，
与x轴、y轴分别交于点A、点B，若
，请求
的长.
【答案】（1）解：
，理由如下：
过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H，如图所示：
∴
，
∴
，
∵
与
的面积相等，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
；
（2）证明：连接MF、NE，如图所示：
设
，
∵点M，N在反比例函数
的图象上，
∴
，
∵
轴，
轴，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴由（1）中结论可知
；
（3）解：过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥MN于点H，过点F作FG⊥MN于点G，如图所示：
同理可证
，
∵
，
∴四边形EMAF、四边形FNBE都为平行四边形，
∴根据反比例函数k的几何意义可得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
.
【思路点拨】(1)
过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H
，由
与
的面积相等 ，得到CG=DH，进而得到
四边形
是平行四边形 ，进而证出AB//CD.
(2) 连接MF、NE
，设
M(a，b)，N(m，n)
，由反比例函数几何意义得到
，进而得证.
(3) 过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥MN于点H，过点F作FG⊥MN于点G
，先证出
四边形EMAF、四边形FNBE都为平行四边形
，再由反比例函数几何意义得到
，进而得证.