【324281】2024八年级数学下册 专题14 三角形的中位线（含解析）（新版）浙教版

专题14 三角形的中位线

阅卷人		一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分

1．（2分）（任丘期末）如图， 中，AB=10，AC=7，BC=9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（　　）

A．13 B． C．17 D．19

【答案】D

【规范解答】解： 点 、 、 分别是 、 、 的中点，

是 的中位线， 是 的中位线，

， ，

四边形 的周长为 ，

故答案为：D．

【思路点拨】根据线段的中点及三角形中位线定理可得 ， ，继而求出四边形 的周长.

2．（2分）（平远期末）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．35°

【答案】D

【规范解答】解：∵点P是BD的中点，点E是AB的中点，

∴PE是△ABD的中位线，

∴PE= AD，PE∥AD，

∴∠EPD=180°-∠ADB=80°，

同理可得，PF= BC，PE∥BC，

∴∠FPD=∠CBD=30°，

∵AD=BC，

∴PE=PF，

∴∠PFE= ×（180°-110°）=35°，

故答案为：D．

【思路点拨】根据中位线的性质可得PE= AD，PE∥AD，PF= BC，PE∥BC，求出∠FPD=∠CBD=30°，再利用三角形的内角和可得∠PFE= ×（180°-110°）=35°。

3．（2分）（历下期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD， ，若 ， ，E、F分别是AB和DC的中点，则 （　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．6

【答案】C

【规范解答】解：连接并延长 ，交 延长线于G，如图：

，

， ，

是 中点，

，

，

， ，

，

是 中点，

是 的中位线，

，故C符合题意．

故答案为：C．

【思路点拨】连接并延长 ，交 延长线于G，利用“AAS”证明 可得 ， ，再利用中位线的性质可得 。

4．（2分）（西青期末）如图，点O是矩形 的对角线 的中点，点E为 的中点．若 ，则 的周长为（　　）

A．10 B． C． D．14

【答案】B

【规范解答】解： 在矩形 中， ，

， ，

，

， ，

点 是矩形 的对角线 的中点，

，

点 为 的中点，

， ，

，

则 的周长为 ，

故答案为：B．

【思路点拨】利用中位线的性质可得OE的长，再利用勾股定理求出BE的长，利用直角三角形斜边上中线的性质可得OB的长，最后利用三角形的周长公式可得答案。

5．（2分）（怀仁期末）如图，矩形 中， 交于点 分别为 的中点，若 ，则 的度数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【规范解答】解：∵E、F分别为AO、AD的中点，

∴EF是△AOD的中位线，

∴OD=2EF=2×4=8，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD=OA=OC=8，
即：AC=16，

∵AB=8，

∴AC=2AB，

∵∠ABC=90°，

∴∠ACB=30°．

故答案为：A．

【思路点拨】先利用中位线求出OD=2EF=2×4=8，可得OB=OD=OA=OC=8，即AC=16，再利用AC=2AB，即可得到∠ACB=30°。

6．（2分）（本溪期末）如图，在 中， 是 的平分线， 是外角 的平分线， 于点E， 于点D，连接 ．若 ， ， ，则 的长是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【规范解答】解：如图，

延长 交 于点F，延长 、 交于点G，

∵ 平分 ， ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ， ，

∴ ，

∵ 平分 ， ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ 是 边上的中线，即点E是 的中点，

∵ ， ，

∴ 是 边上的中线，即点D是 的中点，

∴ 是 的中位线，

∴ ．

故答案为：C．

【思路点拨】延长 交 于点F，延长 、 交于点G，根据已知条件证明 ，得出 ，得出 是 的中位线，即可得解。

7．（2分）（临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（　　）

A．25cm² B．35cm² C．30cm² D．42cm²

【答案】C

【规范解答】解：如图，

连接MN，则MN是△ABC的中位线，
∴MN= BC=5cm，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF= BC=5cm，
∴AF= ，
∵图中阴影部分的三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴ .
故答案为：C.
【思路点拨】连接MN，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），可得出MN=DE=5cm，过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理求出△ABC的高为12cm，图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积.

8．（2分）（南充期末）如图，矩形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 于 ， 的延长线交 于 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【规范解答】解：连接CM、DM，

∵矩形ABCD

∴ ，

∵ ， M ， N 分别是边AB ， CD的中点，

∴

故①正确；

∵

∴四边形AMCN是平行四边形

∴AN∥CM

∴

∵

∴CM垂直平分PB

∴BC=PC

∴ （SSS）

∴

即

故②正确；

∵ ， ，

∴ （HL）

∴

故③正确；

取CQ中点E，连接EN

∵N是CD中点

∴EN是△CDQ的中位线

∴

∵

∴

∴ ，即

故④正确；

综上所述，正确的是①②③④

故答案为：D．

【思路点拨】连接CM、DM，由矩形的性质可得AB=CD，根据线段的中点及直角三角形斜边中线的性质可得 ，故①正确；可证四边形AMCN是平行四边形，可得AN∥MC，根据SSS证明 ，可得 ，故②正确；根据HL可证明 ，可得PQ=AQ，故③正确；取CQ中点E，连接EN，可得EN是△CDQ的中位线，可得DQ=2EN，根据大角对大边进行判断即可.

9．（2分）（港南期中）如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝ BC；④三角形BDF是直角三角形.其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠DCB=∠DCF=90°，

∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴∠CBE=∠CDF，

∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，

∴∠DEH+∠CDF=90°，

∴∠BHD=∠BHF=90°，

∵BE平分∠DBC，

∴∠HBD=∠HBF，

∵BH=BH，

∴△BHD≌△BHF（ASA），

∴DH=HF，

∵O为正方形ABCD的中心，

∴OD=OB，

∴OH是△DBF的中位线

∴OH∥BF，故①正确；

∴ ，∠DOH=∠CBD=45°，∠DGO=∠CGO=∠DCB=90°，

连接OC，则∠ODG=∠OCG=45°，

∴△OGC≌△OGD（AAS），

∴ ，

∴GH是△DCF的中位线，

∴ ，

∵CE=CF，

∴ ，

∵ ，

∴ ，故③错误.

∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF， ，

∴∠EBC=∠CDF=22.5°，

∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，

∵OH是△DBF的中位线，CD⊥BF，

∴FH=CH，

∴∠HCF=∠HFC=67.5°，

∴∠CHF=180°-∠HCF-∠HFC=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正确；

∵∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=∠BDC+∠CDF=67.5°，

∴三角形BDF不是直角三角形，故④错误；

故答案为：B.

【思路点拨】根据正方形的性质可得BC=DC，∠DCB=∠DCF=90°，证明△BCE≌△DCF，得到∠CBE=∠CDF，易得∠BHD=∠BHF=90°，由角平分线的概念可得∠HBD=∠HBF，证明△BHD≌△BHF，得到DH=HF，推出OH是△DBF的中位线，据此判断①；连接OC，证明△OGC≌△OGD，得到DG=CG= CD= BC，推出GH是△DCF的中位线，得到GH= CF，易得GH= CE，据此判断③；根据正方形的性质以及角平分线的概念可得BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，则∠CDF=67.5°，根据中位线的性质可得FH=CH，由等腰三角形的性质可得∠HCF=∠HFC=67.5°，结合内角和定理可判断②；易得∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=67.5°，据此判断④.

10．（2分）如图是一个由5张纸片拼成的 ，相邻纸片之间互不重湜也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 ，另两张直角三角形纸片的面积都为 ，中间一张矩形纸片EFGH的面积为 ，FH与GE相交于点 .当 的面积相等时，下列结论一定成立的是（　　）

A． . B． C． D．

【答案】A

【规范解答】 由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴ ∠ADE=∠DAE=∠BCG=∠GBC=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB，
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌△ABF，
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形，
∴GH=EF，HE=GF，
设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，如图所示，

∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，
∴
∵


∴ 即
∵ ，

∴ S₁=S₂，故选项A符合题意，
∵
∴S₁≠S₃，故选项B不符合题意，
∵ AB=AD，EH=GH都不一定成立，故C、D都不符合题意，
故答案为：A
【思路点拨】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出S₁，S₂，S₃进行判断即可.

阅卷人		二、填空题(共9题；每题2分，共18分)
得分

11．（2分）（虎林期末）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O，在 的延长线上取点E，使 ，连接 交 于点F，若 ，则 　 　．

【答案】3

【规范解答】解：过O作OM∥BC交CD于M，

∵在平行四边形ABCD中， ，

∴BO＝DO，

∴CM＝DM= ，

∵ ，

∴CE=CM，

∵OM∥BC，

∴CF是△EMO中位线，即 ；

故答案为：3．

【思路点拨】
根据平行四边形对角线互相平分和三角形中位线定理求得 ，再根据中位线定理求得CF.

12．（2分）（曲阳期末）已知在 中， ，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F， ，连接AF，CF，若 ，则AB＝　 　．

【答案】

【规范解答】解： ，点D是AC的中点，

∵点D、E分别是AC、BC的中点，

∴

故答案为：

【思路点拨】根据直角三角形斜边中线的性质可得 =3cm，从而求出DE=4cm，根据三角形的中位线定理可得 ，继而得解.

13．（2分）（抚远期末）如图， 是边长为1的等边三角形，取 边中点 ，作 ， ， ， 分别交 ， 于点 ， ，得到四边形 ，它的面积记作 ；取 中点 ，作 ， ， ， 分别交 ， 于点 ， ，得到四边形 ，它的面积记作 ……照此规律作下去，则 　 　．

【答案】

【规范解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，

∴△ABC的高为： ，

，

∵DE、EF分别是△ABC的中位线，

∴ ，

∴ ，

同理可得 ；

…，

∴ ；

故答案为： ．

【思路点拨】根据边长为1的等边三角形，解得△ABC的高，求得△ABC的面积，求得 、 面积，找出规律即可解得.

14．（2分）（本溪期末）如图， ， 是四边形 的对角线，点E，F分别是 ， 的中点，点M，N分别是 ， 的中点，顺次连接 ， ， ， ，若 ，则四边形 的周长是　 　．

【答案】4

【规范解答】解： 点E，F分别是 ， 的中点，点M，N分别是 ， 的中点，

、 、 、 分别为 、 、 、 的中位线，

∵AD=CD=2，

， ，

四边形 的周长 ．

故答案为： ．

【思路点拨】根据三角形中位线的性质可得 ， ，再利用四边形的周长公式计算即可。

15．（2分）（临渭期末）如图，已知△ABC（AB > AC）中，∠BAC = 60°，AC = 4，D为BC边上的中点，过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AB于点F，则DF的长为 　 　．

【答案】

【规范解答】解：如图：

延长延长BA至E，使AE=AC=4，取BE的中点F，连接DF，连接CE，过点A作AG⊥CE于点G，
∵D为BC边上的中点，
∴BD=CD，
∵EF=BF，
∴BD+BF=CD+AE+FA=CD+EF，
∴直线DF将△ABC的周长平分，
∵AE=AC=4，∠BAC=60°，
∴∠ACE=∠E=30°，
∴AG= AE=2，
∴EG= ，
∵AE=AC，AG⊥CE，
∴GE= CE，
∵D为BC的中点，F为BE的中点，
∴FD为△BCE的中位线，
∴DF= CE=EG= .
故答案为： .
【思路点拨】延长BA至E，使AE=AC=4，取BE的中点F，连接DF，则直线DF将△ABC的周长平分，连接CE，过点A作AG⊥CE于点G，根据作图可知FD为△BCE的中位线，根据三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）可求得DF= CE=EG，再用勾股定理求得EG即可.

16．（2分）（海曙期末）如图， 中， ，以AB为边在三角形外的 的对角线交于点F，AE=2，AB=5，则CF的最大值是　 　．

【答案】3.5

【规范解答】解：如图，取AB中点O，连结FO，CO，

∵▱AEDB，AE=2，AB=5，
∴BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，
∴OF是△ABD的中位线，
∴FO=1，
又∵∠ACB=90°，
∴OC=2.5，
在△FOC中，CF＜FO+OC，
∴当F、O、C三点共线时，CF最大，
∴CFmax=FO+OC=1+2.5=3.5.
故答案为：3.5.

【思路点拨】如图，取AB中点O，连结FO，CO，由平行四边形性质得BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，可证出OF是△ABD的中位线，即得FO=1，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得OC=2.5，在△FOC中，由三边关系得CF＜FO+OC，因此当F、O、C三点共线时，CF最大，求得CF值即可.

17．（2分）（拱墅期中）如图，在▱ 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为　 　.

【答案】

【规范解答】解：如图，延长AB 、 CF交于点H ，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，

平分 ，

，

在 和 中，

，

≌ ，

， ，

，

点E是BC的中点， ，

，

故答案为： .

【思路点拨】如图，延长AB、CF交于点H，由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠ACD=∠BAC=90°，用勾股定理可求得AC的值，由角平分线定义可得∠BAF=∠CAF，结合已知用角边角可证ΔAFH≌ΔAFC，则AC=AH，HF=CF，由线段的构成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根据三角形中位线定理得EF= BH可求解.

18．（2分）（青山期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为　 　．

【答案】

【规范解答】解：如下图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．

∵△APE是等腰直角三角形，

∴∠APB+∠TPE=90°．

∵四边形ABCD是正方形，ET⊥BC，

∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．

∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．

∴∠BAP=∠TPE．

．

．

∵四边形ABCD是正方形，

．

．

∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．

．

∴∠TEC=∠TCE=45°．

∵正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，

∴O是AC的中点，∠DBC=45°．

∴∠DBC=∠TCE．

．

∵M是AE的中点，

∴OM是△ACE的中位线．

∴ ．

∴点M在直线OD上．

∵点P在BC边上移动，

∴点M的运动轨迹是OD．

∵正方形ABCD的边长是6，且AC，BD相交于点O，

∴AB=6，AD=6，O是BD的中点．

∴ ．

∴ ．

故答案为： ．

【思路点拨】连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T，利用等腰直角三角形的性质可证得∠APE=90°，AP=PE，利用余角的性质可证得∠BAP=∠TPE，利用AAS证明△ABP≌△PTE，利用全等三角形的对应边相等，可得到AB=PT，PB=ET；利用正方形的性质可得到ABPBC，由此可推出BC=PT，即可得到PB=CT=ET；利用正方形的性质可得到点O是AC的中点，∠DBC=45°，从而可推出∠DBC=∠TCE，同时可证得OM是△ACE的中位线，由此可推出点M的运动轨迹是OD，利用勾股定理求出BD的长，即可得到OD的长.

19．（2分）（2021八下·苏州期末）如图，在 中， ， ， .将 绕点 按逆时针方向旋转后得 ，直线DA、BE相交于点F.取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为　 　cm.

【答案】4

【规范解答】解：取 的中点 ，连接 、 ，如图：

是由 绕 点旋转得到，

， ， ，

设 ，则 ，

在四边形 中，

，

在 中， ， ， ，

，

中， ，

是 中位线，

，

而 ，

当 、 、 在一条直线上时， 最大，最大值为 ，

故答案为：4.

【思路点拨】取AB的中点H，连接HG，HF，利用旋转的性质可证得CE=CB，CD=AC，∠BCE=∠ACD，设∠BCE=∠ACD=α，可表示出∠CBE；再利用四边形的内角和定理可求出∠BFA的度数，利用勾股定理求出AB的长；利用直角三角形的性质可求出HF的长；然后利用三角形的中位线定理可求出HG的长，利用三角形的三边关系定理可知当点F，H，G在同一直线上时，FG最大，最大值是HF+HG的长，即可求解.

阅卷人		三、解答题(共7题；共62分)
得分

20．（6分）（抚远期末）如图，在 中，已知 ， ， 平分 ， 于点 ， 为 中点．求 的长．

【答案】解：如图，延长 交 于点 ．

∵ 平分 ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

∴ ， ．

∴ 是 的中点．

∵ ， ，

∴ ．

∵ 为 的中点，

∴ 为 的中位线．

∴ ．

【思路点拨】做辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质可得 是 的中点 ，通过线段的加减可得FC，再根据中位线定理即可解得DE。

21．（7分）（房山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

已知：如图， 中，D、E分别是 的中点． 求证： ∥ ，且 ．
方法一 证明：如图，延长 至点F，使 ，连接 ．	方法二 证明：如图，过点C作 ∥ 交 的延长线于F．

【答案】证明∶方法一：如图，延长 至点F，使 ，连接 ．

∵点E为AC的中点，

∴AE=CE，

∵∠AED=∠CEF，DE=EF，

∴△ADE≌△CFE，

∴CF=AD，∠A=∠ECF，

∴AB∥CF，即BD∥CF，

∵点D为AB的中点，

∴BD=AD=CF，

∴四边形BCFD为平行四边形，

∴DF=BC，DF∥BC，

∵ ，

∴ ∥ ，且 ．

方法二：过点C作 ∥ 交 的延长线于F．

∴∠A=∠ECF，

∵点E为AC的中点，

∴AE=CE，

∵∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△CFE，

∴CF=AD，DE=EF，

∵点D为AB的中点，

∴BD=AD=CF，

∵CF∥BD，

∴四边形BCFD为平行四边形，

∴DF=BC，DF∥BC，

∵ ，

∴ ∥ ，且 ．

【思路点拨】利用平行四边形的判定方法和性质求解即可。

22．（6分）（威县期末）如图，在 中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上， 交BC于点G．

（1）（3分）证明：四边形EFGB是菱形；

（2）（3分）若 ，求DF的长度．

【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ ，∵ ，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE= AB，∴四边形EFGB是菱形；

（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE= BC= ×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF²+BF²=AB²，
∵AF=5，BF=12， ∴AB=13
∴EF= AB= ×13= ，
∴DF=DE－EF= － =3

【思路点拨】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE是△ABC的中位线， 再求出 AF²+BF²=AB²， 最后计算求解即可。

23．（8分）（城固期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．

（1）（4分）求证：AE垂直平分CD；

（2）（4分）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．

【答案】（1）证明：∵∠ACD+∠BCD=∠ABC=90°，
∵∠ADC+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵ AE平分∠CAB ，
∴AE⊥CD，CE=ED（三线合一），
即AE垂直平分CD；

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴AB= =10，
由（1）得AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵CE=ED，CF=FB，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF= BD=2.

【思路点拨】(1)根据余角的性质求出∠ACD=∠ADC，得出△ACD为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质，即可证出结论；
(2)根据勾股定理先求出AB，再根据线段的和差关系求出BD，然后根据三角形中位线定理求EF长即可.

24．（11分）（南海期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为 ， ，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：

（1）（2分）若点P是线段AC的中点，直接写出 　 　．

（2）（4分）如图2，过点P作 轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．

（3）（5分）连接BP，若 是等腰三角形，求CP的长度．

【答案】（1）

（2）解：∵PE⊥x轴，

∴PE∥CD，

若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则PE＝CD＝ OC＝ ．

∴点P的纵坐标绝对值是 ，

设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

把A（3，0）、C（0， ）代入得， ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为 ，

若点P在线段AC上，纵坐标是 ，

则 ，

解得：x＝ ，

此时，点P的坐标为（ ， ）；

若点P在线段CA的延长线上，纵坐标是 ，

则 ，

解得：x＝ ，

此时，点P的坐标为（ ， ），

综上所述，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）；

（3）解：①当PB＝PC时，如图：过点P作PQ⊥BC于点Q，

∴∠PQC＝90°，

∵PB＝PC，

∴点P在线段BC的垂直平分线上，

∴CQ＝BQ＝ BC＝ ，

∵BC∥OA，

∴∠PCQ＝∠CAO＝30°，

∴PQ＝ CQ＝ ，

∴CP＝2PQ＝ ；

②当CP＝CB时，CP＝3；

③当BP＝BC时，过点B作BH⊥CP于点H，如图：

∴∠CHB＝90°，CP＝2CH，

在Rt△BCH中，∠BCH＝30°，BC＝3，

∴BH＝ ，

∴CH＝ BH＝ ，

∴CP＝2CH＝ ．

综上，若△CPB是等腰三角形，CP的长度为： 或3或 ．

【规范解答】解：(1)∵C（0， ），∠AOC＝90°，∠CAO＝30°，

∴AC＝2OC＝2 ，

∴OA＝ ＝3，

∵点D是OC的中点，点P是线段AC的中点，

∴PD是△AOC的中位线，

∴PD＝ OA＝ ，

故答案为： ；

【思路点拨】（1）先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，再利用勾股定理求出OA的长，最后利用中位线的性质可得PD的长；
（2）先求出直线AC的解析式，再分两种情况：①若点P在线段AC上，②若点P在线段CA的延长线上，再分别求解即可；
（3）分三种情况：①当PB＝PC时，②当CP＝CB时，CP＝3；③当BP＝BC时，过点B作BH⊥CP于点H，再分别求解即可。

25．（11分）（晋中期末）综合与实践：图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中， ， ，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且 ，将△ABC绕点A在平面内旋转．

（1）（2分）观察猜想：若 ，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置 ，则DB与EC的数量关系为　 　；

（2）（4分）类比探究：若 ，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；

（3）（5分）拓展应用：如图4，在（2）的条件下，连接CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连接PM，PN，MN，若 ， ，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．

【答案】（1）

（2）解：

理由如下：如图1，∵ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置， ，

∴ ，

∴ ，即 ，

在△ADB与△AEC中， ，

∴ ，

∴ ，

如下图，设AB、CE交于点P，

∵ 是△BPO的外角，也是△ACP的外角，

∴ ，

∴ ，

∴DB，CE满足的位置关系为 ；

（3）解：∵M、P、N分别是DE、DC、BC的中点，

∴MP是 的中位线， 且 ，

∴PN是 的中位线， 且 ，

在（2）的条件下，

∴ ， ，

∴ ，即有 ，

∵ ， ，

∴ ，

又∵ ，

∴ 为等腰直角三角形，

∴当 最大时， 面积最大，

连接AM、AN，当M、A、N在同一直线时，MN最大，如下图，

此时B、C在DA、EA的延长线上，

∵M、N为DE、CB中点，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴M、A、N在一条直线上， ，

在 中， ，则 ，

∴ ，

在 中， ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【规范解答】（1）解：∵ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

由旋转的性质可知， ，

∴ ，即 ，

在△ADB与△AEC中， ，

∴ ，

∴ ．

故答案为： ；

【思路点拨】（1）证明 ，可得 ；
（2） .理由：证明 ，可得 ，设AB、CE交于点P，根据三角形外角的性质可得 ， 从而得出∠COB=∠CAB=90°，继而得解；
（3）先证明 为等腰直角三角形，可得PN=PM= MN，可得 面积= PM²= MN²，由此可得当 最大时， 面积最大，连接AM、AN，当M、A、N在同一直线时，MN最大，此时B、C在DA、EA的延长线上，可知MN的最大值=AM+AN，据此即可求解.

26．（13分）（诸暨期末）在矩形ABCD中，AB=6，∠BAC=60°，点E是边AD的中点，点P是对角线AC上一动点，连结EP，作点A关于直线EP的对称点A'．

（1）（4分）若点P是AC的中点，求EP的长度．

（2）（4分）若△AEP是以EP为腰的等腰三角形，求EP的长度．

（3）（5分）直线A'E交AC于点Q，连结QE，若△AEQ是直角三角形，求EP的长度．

【答案】（1）解：∵E、P分别为AC和AD的中点，
∴EP为△ABC的中位线，
∴EP= CD=3；

（2）解：①如图，当EA=EP时，


EP= AD= = ，

②如图，当EP=PA时，作PH⊥AE，

∵∠AEP=∠PAE=30°，
AE= AD=3 ，
∵HE= AE= ，
∴EP= = =3.

（3）Ⅰ.当∠AQE=90°时，
①如图，∵∠AEQ=60°，EP为∠AEQ的角平分线，

∴在Rt△PEQ中，∠PEQ=30°，
∴ ；
②如图，EP为∠AEQ的补角的平分线，

∴∠QEP=60°，
∴EP=AE=3 ；
Ⅱ.当∠AEQ=90°时，
①EP为∠AEQ的角平分线，

∴∠PEQ=∠AEP=45°，
∴AM=AE=3 ，
∴ME= AE=3 ，
∵EQ∥AM，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得：PE= ；
②如图，EP为∠AEQ的补角的平分线，

∴∠QEP=45°，
若点P与C点重合，
∵ED<CD，∴∠CED>45°，
此时∠CEQ<45°，
∴不符合P在AC上的条件，故舍去，
综上：EP=3或3 或 .

【思路点拨】(1)由题意得出EP是△ACD是中位线，根据三角形中位线定理即可求出EP长；
(2)分两种情况讨论，①当EA=EP时，②当EP=PA时，根据等腰三角形的性质，三角形中位线定理和三角函数定义分别求EP长即可；
(3)分两种情况讨论，当∠AQE=90°时，再分两种情况：①EP为∠AEQ的角平分线，②EP为∠AEQ的补角的平分线；当∠AEQ=90°时，再分两种情况：①EP为∠AEQ的角平分线，②EP为∠AEQ的补角的平分线，分别求出EP的长度即可.