【324285】2024八年级数学下册 专题18 反比例函数的性质（含解析）（新版）浙教版

专题18 反比例函数的性质

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

题号	一	二	三	总分
评分

阅卷人		一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分

1．（2分）（灌云期末）已知 ， ， 是反比例函数 图象上的三个点，且 ，那么 ， ， 的大小关系是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【规范解答】解：∵ 反比例函数 中k=-4＜0，

∴ 此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，

∴ （ ， ）在第二象限，（ ， ），（ ， ）在第四象限，

∴ ， ＜ ＜0，即 ＞ ＞ ，

故答案为：C．

【思路点拨】利用反比例函数的性质求解即可。

2．（2分）（舟山期末）已知点A（1，y₁），B（2，y₂），C（﹣3，y₃）都在反比例函数y （k＞0）的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₃＜y₁＜y₂ B．y₁＜y₂＜y₃ C．y₂＜y₁＜y₃ D．y₃＜y₂＜y₁

【答案】D

【规范解答】解：∵k＞0，
∴y随x的增大而减小，
∵-3＜1＜2，
∴ y₃＜y₂＜y₁.
故答案为：D.
【思路点拨】利用反比例函数 ，当k＞0时y随x的增大而减小；当k＜0时y随x的增大而增大；先比较点A，B，C的横坐标的大小，据此可得到y₁，y₂，y₃的大小关系.

3．（2分）（泉港期末）已知双曲线 过点 、 、 、 ，且 ．下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【规范解答】解： ，

，

反比例函数 的图象在第二、四象限，

反比例函数的图象过点 、 、 ，

点 、 在第四象限， 在第二象限，

， ，

．

故答案为：C.

【思路点拨】由题意可得反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此进行比较.

4．（2分）（南浔期末）已知反比例函数 的图象在第一、三象限，则ｋ的取值范围是（　　）

A．ｋ＞0 B．ｋ＜0 C．ｋ＞1 D．ｋ＜1

【答案】C

【规范解答】解：∵ 反比例函数 的图象在第一、三象限，
∴k-1＞0，
解之：k＞1.
故答案为：C.
【思路点拨】利用反比例函数 （k≠0），当k＞0时，图象分支在第一、三象限，当k＜0时图象分支在第二、四象限，据此可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集.

5．（2分）（鼓楼期末）如图，在直角坐标系中，直线 的图象上有8个点，从左往右依次记为 ， ，…， （横坐标依次增加2个单位），要使这些点平均分布在函数 的图象两侧，每侧4个点，则 可以取到的整数值有（　　）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

【答案】A

【规范解答】解：∵一次函数与反比例函数相交，M_k在直线 上 ，

∴ ， ，M₃（6，6），M₄（8，5），M₅（10，4），M₆（12，3），M₇（14，2）， ，

横纵坐标乘积为 ，

8个点横纵坐标乘积分别为16，28，36，40，40，36，28，16，

由题意知有4个点在反比例函数内部，4个点在外部，所以k的值应比乘积中4个值大，比另4个值小，

则 ，

其中整数值29，30，31，32，33，34，35共7个.

故答案为：A.

【思路点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征，分别求出8个点的坐标，再计算出各点横纵坐标乘积，根据从小到大分两组，4个较小的乘积在一组，4个较大的乘积在一组，从而得出 ，求出其整数值即可.

6．（2分）（吴兴期末）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数 在第一象限的图象经过点B，若 ，则 的值为(　　)．

A．6 B．3 C． D．

【答案】B

【规范解答】解：由题意可知，OC＝AC，DB＝DA，OA＝ OC，AB＝ BD，
点B的横坐标为：OC＋BD，纵坐标为OC−BD，
∵OA²−AB²＝6，
∴OC²−DB²＝3，
即（OC＋BD）（OC−BD）＝3
∴k=3
故答案为：B.

【思路点拨】由题意可知OA＝ OC，AB＝ BD，又OA²−AB²＝6，因为点B的横坐标为：OC＋BD，纵坐标为OC−BD，故可求K的值.

7．（2分）（扬州期中）如图，平面直角坐标系xOy中，线段BC∥x轴、线段AB∥y轴，点B坐标为(4，3)，反比例函数y＝ （x＞0）的图像与线段AB交于点D，与线段BC交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，则点B'的纵坐标是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【规范解答】解：∵四边形OABC是矩形，

∴CB∥x轴，AB∥y轴，

∵点B坐标为（4，3），

∴D的横坐标为4，E的纵坐标为3，

∵D、E在反比例函数y＝ （x＞0）的图像上，

∴D的坐标为：(4,1)，E的坐标为：( ，3)，

∴BE=4- = ， BD=3-1=2，

∴ ，

连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：

∵B，B′关于ED对称，

∴BF=B′F，BB′⊥ED，

∴BF•ED=BE•BD，

即： ,

∴ ，

∴BB′= ，

设EG=x，则BG= -x，

，

∴ ，

解得： ，

∴EG ，

∴ ，

则点B'的纵坐标为： ，

故答案为：B.

【思路点拨】先根据矩形的性质和点B坐标把D、E的坐标计算出来，再计算BE、BD、ED的长度，利用对称和等面积法把BF的长度计算出来，最后根据勾股定理计算即可得到答案；

8．（2分）（乐清期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象上有三点 ，若 且 ，则B的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【规范解答】解：如图，

点P(2，2)在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∵点Q( ， )在反比例函数 图象上，

∴ ，

∴Q( ， )，

∵双曲线关于 轴对称，

∴与 ( ， )对称的 的坐标为( ， )，

∵点M( ， )在反比例函数 图象上，且 ，PM>PQ，

∴点M在第三象限 左边的曲线上，或在 右侧的曲线上，

∴点M的纵坐标 的取值范围为： 或 .

故答案为：D.

【思路点拨】首先根据题意求出K的值，进一步确定出点Q的坐标，然后利用双曲线关于y=x轴对称进一步如图分两种情况分析求解即可.

9．（2分）（安岳期中）如图，两双曲线y= 与y=﹣ 分别位于第一、四象限，A是y轴上任意一点，B是y=﹣ 上的点，C是y= 上的点，线段BC⊥x轴于点 D，且4BD=3CD，则下列说法：①双曲线y= 在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为3，则点C的坐标为（3，﹣ ）；③k=4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（　　）

A．‚①② B．ƒ①③ C．‚ƒ②③ D．ƒ③④

【答案】B

【规范解答】①∵双曲线y= 在第一象限，

∴k>0，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故①正确；

②∵点B的横坐标为3，

∴y=− =−1，

∴BD=1，

∵4BD=3CD，

∴CD= ，

∴点C的坐标为(3, )，故②错误；

③设点B的坐标为(x,− )，

∵4BD=3CD,即BD= ,则DC= ，

∴C点坐标为：(x, )，

∴k=x⋅ =4，故③正确；

④设B点横坐标为：x,则其纵坐标为：− ,故C点纵坐标为： ，

则BC= + = ，

则△ABC的面积为： ×x× =3.5，故此选项错误。

故答案为：B.

【思路点拨】（1）双曲线y= 位于第一象限,根据反比例函数的性质可知，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①符合题意；
（2）若点B的横坐标为3，将x=3代入解析式y=- 可得y=-1，则点B的坐标为（3，-1），则BD=1，而4BD=3CD，所以CD= ，则点C的坐标为（3， ），不符合题意。
（3）根据题意可设点B的坐标为(x,- ),而4BD=3CD，即BD= ，DC= ,所以C点坐标为：(x, ），则可求k=4，符合题意。
（4）由（3）可知B点纵坐标为- ,C点纵坐标为, ,BC= + = ,△ABC的面积= x =3 5,符合题意。故选项B符合题意。

10．（2分）（温岭期末）已知 、 、 为双曲线 上的三个点，且 ，则以下判断正确的是（　　）

A．若 ，则 B．若 ，则

C．若 ，则 D．若 ，则

【答案】D

【规范解答】解：A、∵y=- ，若x₁x₂＞0，
当x₁＜x₂＜x₃＜0时，
∴y₃＞y₂＞y₁＞0，
∴y₁y₃＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=- ，若x₁x₃＜0，
当x₁＜0＜x₂＜x₃时，
∴y₁＞0＞y₃＞y₂，
∴y₁y₂＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=- ，若x₂x₃＞0，
当x₁＜0＜x₂＜x₃时，
∴y₁＞0＞y₃＞y₂，
∴y₁y₃＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=- ，若x₂x₃＜0，
∴x₁＜x₂＜0＜x₃时，
∴y₂＞y₁＞0＞y₃，
∴y₁y₃＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【思路点拨】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.

阅卷人		二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
得分

11．（2分）（成都月考）若点A（x₁，13），B（x₂，﹣3），C（x₃，11）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则x₁，x₂，x₃的大小关系是 　 　．

【答案】x₃＜x₁＜x₂

【规范解答】解：∵k²+1＞0，
∴-k²-1＜0
∴反比例函数图象分支在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵ 点A（x₁，13），B（x₂，﹣3），C（x₃，11）
∴x₃＜x₁＜0，x₂＞0，
∴x₃＜x₁＜x₂.
故答案为：x₃＜x₁＜x₂
【思路点拨】利用函数解析式可知-k²-1＜0，利用反比例函数的图象和性质可得到反比例函数图象分支在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，由此可知x₃＜x₁＜0，x₂＞0，即可得到 x₁，x₂，x₃的大小关系.

12．（2分）（临淄期中）已知方程 有两个不相等的实数根 ， ．而点 ， 为反比例函数 的图象上两点，若 ，则 　 　 （填“>”或“<”或“=”）．

【答案】>

【规范解答】解：∵方程 有两个不相等的实数根，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

∴反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，

∵ ，

∴ ；

故答案为： ．

【思路点拨】先求出 ，可得反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再利用反比例函数的性质求解即可。

13．（2分）（莱西期中）下列函数：① ；② ；③ ；④ ，其中y的值随x的增大而增大的函数为　 　．（填序号）

【答案】②③

【规范解答】① ，其中 ，故y的值随x的增大而减小，不符合题意；

② ，其中 ，故y的值随x的增大而增大，符合题意；

③ ，其中 ，故当 时，y的值随x的增大而增大，符合题意；

④ ，其中 ，即其图象开口向上，对称轴为y轴，故当 时，y的值随x的增大而减小，不符合题意．

综上可知y的值随x的增大而增大的函数为②③．

故答案为：②③．

【思路点拨】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质与系数的关系逐项判断即可。

14．（2分）（吴兴期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数 的图象经过点A，与AF交于点E，且AE=EF，△ADF的面积为6，则k的值为　 　．

【答案】-4

【规范解答】解：连结BD，则BO⊥AC，又 AF⊥AC ，所以AF//BD，又点O在BD上，

所以S△AFO=S △ADF =6
过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
则EM//AN，又 AE=EF 所以FM=MN
根据题意设E（ ，a），则A（ ，2a），M（ ，0），N（ ，0）
S△AFO= FO×AN= FO×2a=6 ，得FO= 所以 F（- ，0）
FM= -（- ）= + ，MN= -
所以 + = - 解得k=-4
故答案为：-4

【思路点拨】连结BD，证明AF//BD即可得到S△AFO=S △ADF=6，过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，再结合题意即可得到FM=MN根据题意设E（ ，a），则A（ ，2a），M（ ，0），N（ ，0），再运用S△AFO= FO×AN即可求出F点坐标的表达式，再写出FM、MN的表达式即可求解.

15．（2分）（玉环期末）如图，过原点的直线与反比例函数 （ ）的图象交于 ， 两点，点 在第一象限.点 在 轴正半轴上，连结 交反比例函数图象于点 . 为 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，连结 .若 是线段 中点， 的面积为4，则 的值为　 　.

【答案】

【规范解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，

∵过原点的直线与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A，B两点，

∴A与B关于原点对称，

∴O是AB的中点，

∵BE⊥AE，

∴OE=OA，

∴∠OAE=∠AEO，

∵AE为∠BAC的平分线，

∴∠DAE=∠AEO，

∴AD∥OE，

∴S_△ACE=S_△AOC，

∵D是线段AC中点， 的面积为4，

∴AD=DC,S_△ACE=S_△AOC=8，

设点A（m， ），

∵D是线段AC中点，DH∥AF，

∴2DH=AF，

∴点D（2m， ），

∵CH∥GD，AG∥DH，

∴∠ADG=∠DCH，∠DAG=∠CDH，

在△AGD和△DHC中，

∴S_△HDC=S_△ADG，

∵S_△AOC=S_△AOF+S_梯形AFHD+S_△HDC= k+ ×（DH+AF）×FH+S_△HDC

= k+ k+ =8；

∴ k=8，

∴k= .

故答案为 .

【思路点拨】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，

可得AD∥OE，进而可得S_△ACE=S_△AOC；设点A（m， ），由已知条件D是线段AC中点，DH∥AF，可得2DH=AF，则点D（2m， ），证明△DHC≌△AGD，得到S_△HDC=S_△ADG，所以S_△AOC=S_△AOF+S_梯形AFHD+S_△HDC= k+ k+ =8；即可求解；

16．（2分）（澧县月考）反比例函数y＝ 的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x²－x＋ ＝0的根的情况是　 　．

【答案】没有实数根

【规范解答】解：∵反比例函数y= 的图象位于一、三象限，

∴a+4＞0，

∴a＞-4，

∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，

∴2xy＞12，

即a+4＞6，a＞2

∴a＞2．

∴△=（-1）²-4（a-1）× =2-a＜0，

∴关于x的方程（a-1）x²-x+ =0没有实数根．

故答案为：没有实数根．

【思路点拨】由比例函数y= 的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．

17．（2分）（衢州期末）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为　 　.

【答案】

【规范解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，AD∥BC，

∵∠DEB＝90°，AD∥BC，

∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，

∴四边形DEBF是矩形，

∴DF＝BE，DE＝BF，

∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，

∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，

∵CD²＝DF²+CF²，

∴25＝9DE²+(5﹣DE)²，

∴DE＝1，

∴DF＝BE＝3，

设点C(5，m)，点D(1，m+3)，

∵反比例函数y＝ 图象过点C，D，

∴5m＝1×(m+3)，

∴m＝ ，

∴点C(5， )，

∴k＝5× ＝ .

故答案为： .

【思路点拨】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，可证四边形DEBF是矩形，可得DF＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函数的性质可求k的值.

18．（2分）（槐荫期中）已知点 、 、 都是反比例函数 图象上的点，且满足 ，则 ， ， 的大小关系是　 　．

【答案】

【规范解答】解：∵反比例函数 中k= 2＜0，

∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

∵ ，

∴B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在第四象限，A（x₁，y₁）在第二象限，

∴y₁，y₂，y₃由小到大的顺序是y₂＜y₃＜y₁．

故答案为： ．

【思路点拨】结合反比例函数 的图像的性质即可判断大小.

19．（2分）（沭阳期末）如果点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，那么 ， ， 的大小关系是　 　（用“<”连接）.

【答案】y₃< y₁<y₂

【规范解答】解：∵ 中k=-10<0，

∴函数图象的两个分支分别在第二，第四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大，

∵点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，

∴点A、B在第二象限内，点C在第四象限内，且y₃最小，

∵-2<-1，

∴y₁<y₂，

∴y₃< y₁<y₂.

故答案为：y₃< y₁<y₂.

【思路点拨】根据反比例函数的性质可得：其图象的两个分支分别在第二，第四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大，据此进行比较.

20．（2分）（长兴期末）如图，经过原点O的直线与反比例函数y= 的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作AC∥x轴，与反比例函数y= 图象交于点C，则△ABC的面积为　 　．

【答案】8

【规范解答】解：如图，连接CO，

∵AC∥x轴，
∴S_△AOC=1+3=4，
∵经过原点O的直线与反比例函数y= 的图象交于A，B两点（点A在第一象限），
∴A和B关于原点O中线对称，即OB=OA，
∴S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC=2S_△AOC=2×4=8.
故答案为：8.
【思路点拨】先利用反比例函数“k”的几何意义求得S_△AOC=4，再由反比例函数关于原点中心对称，可得OB=OA，从而得S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC=2S_△AOC，代入数据即可求解.

阅卷人		三、解答题(共8题；共60分)
得分

21．（8分）（杭州期中）函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．

（1）（4分）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2(x-1)²+1的最大值和最小值．

（2）（4分）对于二次函数y=2(x-m)²+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．

【答案】（1）解：∵在函数y=2x+1中，k=2 0，∴函数y随x的增大而增大，∴y=2x+1的最大值为9，最小值为5； 中，k=2 0，∴函数y随x的增大而减小，则函数y= 的最大值为1，最小值为 ；

y=2(x+1)²-1的最大值为19，最小值为3.

（2）解：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式，解得m= （舍去）或m=1∴m=1②当2≤m≤4时，m-2=1，∴m=3

③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式，无解．综上所述：m=1或m=3

【思路点拨】(1)在函数y=2x+1中，k=2 0，根据一次函数的性质可求解；在函数y= 中，k=2 0，根据反比例函数的性质可求解；在函数y=2(x+1)²-1中，根据二次函数的性质即可求解；
（2）二次函数y=2(x-m)²+m-2的顶点坐标为（m，m-2），由二次函数的性质可得最值为m-2.
由题意分3种情况讨论：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式计算即可求解；
②当2≤m≤4时，由题意可得m-2=1，解方程即可求解；
③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式计算即可求解。

22．（5分）（苏州期中）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：

（Ⅰ）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；

（Ⅱ）求图中t的值；

（Ⅲ）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？

【答案】（Ⅰ）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b，

依据题意，得 ，解得： ，

故此函数解析式为：y=10x+20；

（Ⅱ）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y= ，

依据题意，得：100= ，即m=800，故y= ，

当y=20时，20= ，解得：t=40；

（Ⅲ）∵45﹣40=5≤8，

∴当x=5时，y=10×5+20=70，

答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．

【思路点拨】（Ⅰ）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；

（Ⅱ）首先求出反比例函数解析式进而得到t的值；

（Ⅲ）利用已知由x=5代入求出饮水机的温度即可．

23．（7分）（蚌埠月考）已知在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ．

（1）（3分）求反比例函数的表达式．

（2）（4分）若点 也在反比例函数 的图象上，当 时，求y的取值范围．

【答案】（1）解：将点 代入 ，

得 ，

∴ ，

将点A的坐标代入 ，

得 ，

∴

（2）解：∵ ，

当 时， ；

当 时，

∵ ，

∴在每个象限内，y随x的增大而增大，

∴当 时，求y的取值范围是 ．

【思路点拨】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入 求出k的值即可；
（2）将x=1和x=6分别代入 ，求出y的值，即可得到y的取值范围。

24．（6分）（定海期末）背景：点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ，分别在射线 ， 上取点 ， ，使得四边形 为正方形，如图 ，点 在第一象限内，当 时，小李测得 ．

探究：通过改变点 的位置，小李发现点 ， 的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）（2分）求 的值．

（2）（4分）设点 ， 的横坐标分别为 ， ，将 关于 的函数称为“ 函数”，如图2，小李画出了 时“ 函数”的图象．

求这个“ 函数”的表达式．

补画 时“ 函数”的图象，并写出这个函数的性质 两条即可 ．

【答案】（1）解：当 ， 时， ，

四边形 是正方形，

，

，

点 在反比例函数 ，的图象上，

；

（2）解：①由题意知， ，

，

；

②如图，

性质：当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而增大；

函数图象与 轴无交点．

【思路点拨】（1）当AC=4，CD=3.5时，AD=0.5，由正方形的性质得AD=AB=0.5，则A（4，0.5），然后代入y= 中进行计算可得k的值；
（2）①由题意知A（x，x-z），代入反比例函数解析式中可得z与x的关系式；
②利用描点法，画出函数z的图象，根据增减性以及与坐标轴的交点个数进行解答.

25．（10分）（桐庐月考）已知二次函数 的图象经过三点（1，0），（-6，0）（0，-3）.

（1）（3分）求该二次函数的解析式.

（2）（3分）若反比例函数 的图象与二次函数 的图象在第一象限内交于点A（ ）， 落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数.

（3）（4分）若反比例函数 的图象与二次函数 的图象在第一象限内的交点为B，点B的横坐标为m，且满足3<m<4，求实数k的取值范围.

【答案】（1）解：∵二次函数图象经过（1，0），（-6，0），（0，-3），

∴设二次函数解析式为 ，

将点（0，3）代入解析式得 ，

∴ ；

∴ ，

即二次函数解析式为 ；

（2）解：如图，

根据二次函数与反比例函数在第一象限的图像可知，

当 时，有 ；

当 时，有 ，

故两函数交点的横坐标 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2

（3）解：根据函数图象性质可知：

当 时，对 ， 随着 的增大而增大，

对 ， 随着 的增大而减小，

∵点B为二次函数与反比例函数交点，

∴当 时， ，

即 ，解得 ，

同理，当 时， ，

即 ，解得 ，

∴ 的取值范围为 ；

【思路点拨】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2） 画出二次函数与反比例函数在第一象限的图像， 可知两函数交点的横坐标 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2 ；
（3）根据函数图象性质可知：当 时，对 ， 随着 的增大而增大，对 ， 随着 的增大而减小，由点B为二次函数与反比例函数交点，可得当 时， ，据此建立不等式并解之求出k的范围；同理求出当 时求出k的范围，继而得解.

26．（7分）（乐山期末）如图，点 、 分别在反比例函数 和 的图象上，线段 与 轴相交于点 ．

图① 图②

（1）（3分）如图①，若 轴，且 ， ．求 、 的值；

（2）（4分）如图②，若点 是线段 的中点，且 的面积为2．求 的值．

【答案】（1）解：令点 ，因为 轴，且

所以 ，即 ，

又∵ ，

∴ ，即 ，则

（2）解：作 轴， 轴，

由 为 中点，易证 ，

即得 ，

由题得 ，

得

【思路点拨】（1）设点P（a，0），根据|AP|=2|PB|，结合函数解析式，可得到 ，可推出k₁=2k₂；再由k₁+k₂=1，解方程组求出k₁，k₂的值.
（2）过点A作AM⊥x轴，过点B作BN⊥y轴，利用点P是AB的中点，可证得AP=BP，利用AAS证明△AMP≌△BNP，利用全等三角形的性质可得到S_△AMP=S_△BNP，由此可推出S_△AOB=S_△AOM+S_△BON，由此可求出k₁-k₂的值.

27．（7分）（泉港期末）点 为平面直角坐标系的原点，点 、 在反比例函数 的图象上，点 、 在反比例函数 的图象上，且 .

（1）（3分）若点 的坐标为 ，点 恰好为 的中点，过点 作 轴于点 ，交 的图象于点 .

①请求出 、 的值；

②试求 的面积.

（2）（4分）若 轴， ， 与 间的距离为6，试说明 的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

【答案】（1）解：①把 代入反比例函数 ，得a=6×4=24

∵点 为 的中点，

∴B（3，2）

把B（3，2）代入反比例函数 ，得b=3×2=6

②∵S_△AOP= S_△AON-S_△NOP= =9

∵B点是 的中点，

∴BP是△AOP的中线

∴ 的面积= ×9=

（2）解：如图，延长AB、CD交y轴于点E、F，

∵点 、 在反比例函数 的图象上，点 、 在反比例函数 的图象上，a＞b＞0， 轴，

∵ 与 间的距离为6，

∴OE+OF=6

∴S_△AOE＝ ＝ a＝S_△COF，S_△BOE＝ ＝ b＝S_△DOF，

∴S_△AOB＝S_△AOE−S_△BOE＝ a− b＝ AB•OE＝ OE，

S_△COD＝S_△COF−S_△DOF＝ a− b＝ CD•OF＝ OF，

∴S_△AOB＋S_△COD＝a−b＝ OE＋ OF＝ （OE＋OF）=

【思路点拨】（1）①将点A的坐标代入反比例函数解析式 即可求出a的值，再根据中点坐标的性质即可得到点B的坐标，再将点B的坐标代入反比例函数解析式 即可求出b的值；

②先根据S_△AOP= S_△AON-S_△NO 结合中点的性质得到BP是△AOP的中线，进而即可求出 的面积；
（2） 延长AB、CD交y轴于点E、F， 根据题意即可得到OE+OF=6，进而得到S_△AOE＝ ＝ a＝S_△COF，S_△BOE＝ ＝ b＝S_△DOF，再求出S_△AOB＝ OE，S_△COD＝ OF，最后根据S_△AOB＋S_△COD＝a−b即可求解.

28．（10分）（高新期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数 的图像上.

（1）（3分）求点P的坐标；

（2）（3分）若OA＝OB，则①∠P的度数为 ▲ ；②求出此时直线AB的函数关系式；

（3）（4分）如果直线AB的关系式为y＝kx＋n，且0＜n＜2，作反比例函数 ，过点P(0，1)作x轴的平行线与 的图像交于点M，与 的图像交于点N，过点N作y轴的平行线与y＝kx＋n的图像交于点Q，若MN＋QN的和始终是一个定值d，求此时k的值及定值d.

【答案】（1）解：过P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于点E，如图1，

∵AP和BP分别是∠BAF和∠ABC的平分线，

∴PC=PE=PD，

设PC=a，则P（a，a），

把P（a，a）代入 中得，a²=4，

∴ ，

由于 ，因此 ，

∴P(2，2)；

（2）22.5°；解：②过P作PD⊥y轴于点D，如图2，

∵OA=OB，OP平分∠AOB，

∴OP⊥AB，

∵AP平分∠BAD，

∴PH=PD，

由（1）知P（2，2），

∴PH=PD=OD=2，OP= ，

∴OH= ，

∴OB=OA= OH= ，

∴A（0， ），B（ ，0），

设直线AB的解析式为：y=mx+n（m≠0），则

，

解得 ，

∴直线AB的函数关系式为 ；

（3）解：如图，

把y＝1代入 中，x＝4，

∴M(4，1).

把y＝1代入 中，x＝－n，

∴N(－n，1).

把x＝－n代入 y＝kx＋n 中，y＝－kn＋n，

∴Q(－n，－kn＋n).

∴MN＋QN＝（4＋n）＋（－kn＋n－1）＝－kn＋2n＋3＝（－k＋2）n＋3，

∵0＜n＜2，

∴当k＝2时，MN＋QN为定值，定值d＝3.

【规范解答】（2）①∵OA=OB，∠A0B=90°，

∴∠OAB=45°，

∴∠BAD=135°，

∵∵AP和BP分别是∠BAF和∠ABC的平分线，

∴∠PAD=67.5°，∠POA=45°，

∴∠APO=∠PAD-∠POA=22.5°，

∴∠P＝22.5°；

【思路点拨】（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得PC=PD，再根据反比例函数的解析求得P点坐标；（2）①由等三角形的外角定理求得∠BAD的度数，再由角平分线求出∠PAD和∠POA的度数，最后由三角形的外角即可求得结果；②过P作PD⊥y轴于点D，由角平分线得PH=PD，进而求得OH，OA，得出A、B两点坐标，再用待定系数法求得AB的解析式；（3）由已知点P的坐标，根据已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得MN+NQ的解析式，根据解析式的特点进行解答即可.