专题07菱形的性质与判定压轴题五种模型全攻略
【类型一】菱形的性质与判定综合考
例题：（辽宁·沈阳市第四十三中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D分别作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BED＝150°，∠C＝45°，CD＝3
，直接写出四边形BEDF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）18
【解析】
【分析】
（1）由两个平行条件即可得四边形BEDF为平行四边形，再由角平分线的性质与平行的性质即可得邻边BE=DE，从而四边形BEDF为菱形；
（2）过D作DG⊥BC于点G，由已知可得△DGC及△DGF分别是等腰直角三角形和有30度角的直角三角形，从而易得菱形的高与边长，从而可求得菱形的面积．
【详解】
（1）∵DE∥BC，DF∥AB
∴DE∥BF，DF∥EB
∴四边形BEDF是平行四边形
∵BD平分∠ABC
∴∠EBD=∠FBD
∵DE∥BC
∴∠EDB=∠FBD
∴∠EDB=∠EBD
∴BE=DE
∴四边形BEDF是菱形
（2）过D作DG⊥BC于点G，如图
∴∠GDC=∠C=45゜
∴DG=CG
∴
∵四边形BEDF是菱形，∠BED=150゜
∴∠DFB=∠BED=150゜
∴∠DFG=30゜
∴DF=2DG=6
∴BF=DF=6
∴菱形BEDF的面积为：BF×DG=6×3=18.
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积计算，等腰三角形的判定与性质，30度角的直角三角形的性质，求菱形面积时关键作垂线DG，从而在两个特殊直角三角形中分别计算出菱形的高与边长．
【变式训练1】（陕西·西安市铁一中学八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝6，∠DAB＝60°，求OE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证AB＝AD，即可得出结论；
（2）证△ABD是等边三角形，得∠ADB＝60°，再由菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得OD＝
AD＝3，OA＝
OD＝3
，证∠E＝∠EAO，得OE＝OA，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝
∠DAB＝30°，
∴∠AOD＝90°，
∵DE=OB，
∴OD＝ED，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠ADO＝∠E+∠DOE＝60°，
∴∠E＝∠DOE＝30°，
∴OD＝
AD＝3，OA＝
OD＝3
，
∵∠DAO＝30°，
∴∠E＝∠EAO，
∴OE＝OA＝3
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出AB=AD是解题的关键
【变式训练2】（云南玉溪·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC和BD相交于点O，过点O作AC的垂线分别交AD，BC于点E，点F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若
，
，求四边形AFCE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由四边形ABCD是平行四边形，得到
，
，再证
，得出
，从而证得四边形AFCE是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；
（2）先证得四边形ABCD是矩形，从而利用勾股定理求出BC长，再由四边形AFCE是菱形，得到AF=CF，则可设
，则
，利用勾股定理求出x值，即可求解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵
，
∴四边形AFCE是菱形．
(2)
解：∵
，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
∴
，
在
中，
，
由（1）知，四边形AFCE是菱形，
设
，则
，
在Rt△ABF中，
，即，
，
解得：
．
∴四边形AFCE的周长为：
．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练3】（江苏·启东市长江中学八年级阶段练习）如图，矩形
的对角线
、
相交于点
，DE
AC，CE
BD．
(1)求证：四边形
为菱形；
(2)连接
交
于点
，求证：
平分
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO=CO，即可得出答案；
（2）利用全等三角形的判定和性质得出即可．
(1)
解：
，
，
四边形
是平行四边形，
矩形
的对角线
、
相交于点
，
，
四边形
为菱形；
(2)
解：连接
交
于点
，
四边形
为菱形，
，
，
，
矩形
，
，
，
在
与
中
，
，
，
即
平分
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及菱形的性质与判定和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质进而得出对应线段关系是解题关键．
【类型二】菱形中的折叠问题
例题：（山西·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
，
，
分别是边
，
上的点，将
沿EF折叠，使点
的对应点
落在边
上，若
，则
的长为______．
【答案】
##
【解析】
【分析】
根据菱形性质和
，可得
，
，
，过点
作
于点
，
于点
，过点
于点
，得矩形
，然后利用含
度角的直角三角形可得
，得
，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：在菱形
中，
，
，
，
，
如图，过点
作
于点
，
于点
，过点
于点
，
得矩形
，如图所示：
，
，
，
，
，
，
由翻折可知：
，
，
，
，
，
，
解得
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，根据勾股定理，得：
，
，
解得
，
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式训练1】（云南·麻栗坡县第二中学一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，点E在边AB上，将△BCE沿CE折叠．若点B的对应点B′落在AD边所在的直线上，则BE的长为________．
【答案】4或
【解析】
【分析】
分两种情况，第一种情况，由折叠性质可知：
=
CB=
CD，可知E点与A点重合，BE=AB，第二种情况，由折叠性质可知，BC=
，得∠B=∠
E=
45°，再证∠A
E
= 90°，设BE=
E=
x，得
，即可得答案．
【详解】
解：
第一种情况，如上图，由折叠性质可知：
=
CB=
CD，
∴在AD线上仅D点符合题意，
∵∠B=∠D= 45°，
∴E点与A点重合，BE=AB，
∴BE=4；
第二种情况，如上图，由折叠性质可知，BC=
，
∴∠B=∠
E=
45°，
∵在菱形中BC=CD=
，
∴∠D=∠B=∠
D=
45°，AD
BC，∠
AE=∠B=
45°，
∴∠A
E=∠D
C+∠E
C=
90°，
∴A
=
E，
设BE=
E=
x，则
，
，
解得：
，
故答案为：4或
．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、菱形的性质、一元一次方程的解法，解题的关键是注意两种情况．
【变式训练2】（云南文山·一模）如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿EF对折，点B与点D恰好重合．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若AB＝6，BC＝8，求折痕EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质可知，OB=OD，BD⊥EF，只需要证明△DEO≌△BFO得到OE=OF即可得到结论；
（2）由菱形的性质得到BF=DF，设CF=x，则BF=BC-CF=8-x，在Rt△DCF中，由
，得到
，求出
，
，再利用勾股定理求出OF的长即可得到答案．
(1)
解：由折叠的性质可知，OB=OD，BD⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
，
∴∠DEO=∠BFO，∠EDO=∠FBO，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴平行四边形BFDE是菱形；
(2)
解：∵四边形BFDE是菱形，
∴BF=DF，
设CF=x，则BF=BC-CF=8-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，CD=AB=6
在Rt△DCF中，
，
∴
，
解得
，
∴
，
，
在Rt△BCD中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练3】（江苏·景山中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG．
(1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由．
(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
．
【解析】
【分析】
（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，FE=CE，根据FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，从而∠FGE=∠BEF，FG=FE，故FG=EC，四边形CEFG是平行四边形，即可得证；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF的长，可得DF=1，设EF=x，则CE=x，DE=3-x，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程可解得CE，在Rt△BCE中，即可求出答案．
(1)
证明：（1）∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，
∴△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠BEC，
∴∠FGE=∠BEF，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
(2)
解：∵矩形ABCD中，AD=10，
∴BC=10，
∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=10，
在Rt△ABF中，AB=6，AF=
=8，
∴DF=AD-AF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，
∴22+（6-x）2=x2，解得x=
，
∴CE=
，
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=
×2=
．
【点睛】
本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【考点三】菱形中的动点问题
例题：（江苏·南师附中树人学校八年级阶段练习）在
中，
点D是边AB上的一个动点，连接CD．作
，
，连接ED．
（1）如图1，当
时，求证：
；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是______；请说明理由．
②若
，
，则四边形ADCE的面积为______．
【答案】（1）见解析；（2）①菱形，②6．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，得出四边形
是平行四边形，再由
，即可得
是矩形，根据矩形性质即可得出结论；
（2）①由直角三角形斜边上中线的性质得
，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得出结论；②根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】
解：（1）
，
，
∴四边形
是平行四边形，
又
，
，
四边形
是矩形，
；
（2）①∵在
中，
是
的中点，
∴
，
又
四边形
是平行四边形
∴四边形
是菱形；
故答案为：菱形；
②设
和
交于点
，如图，
，
∵在
中，
，
∴
，
又∵四边形
是菱形；
∴
，
，
，
又∵
，
∴
，
∴在
中，
，
∴
，
S菱形ADCE=
．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，涉及了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，菱形面积的计算，勾股定理等知识点，熟知以上几何图形的判定定理以及性质是解题的关键．
【变式训练1】（重庆市垫江第一中学校八年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，∠ADB=30°．一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿从DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t>0）．过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ．
(1)求证：PE=DQ；
(2)四边形PEQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
(3)当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析.
(2)当t=
时，四边形PEQD为菱形.
(3)当t=2或
时，△POE为直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得到∠ADB =∠PBE= 30°，由垂直得∠BEP=90°，在Rt△BEP中，由BP=2t，得PE= t，即可得到PE= DQ .
（2）先证四边形PEQD为平行四边形， PD=8-2t，DQ=t，当PD= DQ时四边形PEQD为菱形，即可求解.
（3）分①当∠EPQ=90°时， ②当∠PQE =90°时，③当∠PEQ=90°时，三种情况讨论即可.
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵∠ADB = 30°，
∴∠PBE= 30°，
∵PE⊥BC，
∴∠BEP=90°，
在Rt△BEP中，BP=2t，
∴PE= t，又∵DQ=t，
∴PE= DQ .
(2)
解：能．理由如下：
∵∠BEP=∠C=90º，
∴PE∥DQ，
又∵PE= DQ，
∴四边形PEQD为平行四边形，
在Rt△ABD中，AB=4，∠ADB = 30°，
∴BD=2AB =8，
∵BP=2t，
∴PD= BD-BP=8-2t，
若使平行四边形PEQD为菱形，则需PD= DQ，即t =8-2t，
∴t=
，
即当t=
时，四边形PEQD为菱形.
(3)
解：①当∠EPQ=90°时，四边形EPQC为矩形，
∴PE =QC，
∵PE=t，QC=4-t，
∴t = 4- t，即t = 2；
②当∠PQE =90°时，∠DPQ=∠PQE= 90º，
在Rt△DPQ中，∠PQD= 30°，
∴DQ = 2DP，
∵DQ=t，DP=8-2t，
∴t
= 2(8-2t)
，即t
=
.
③当∠PEQ=90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t=2或
时，△POE为直角三角形.
【点睛】
此题考查了动点的问题和菱形性质及矩形性质,动点题是每年中考的必考题型之一，找到动点运动的规律和路线、速度，以及是否停止，和有无取值范围是解答此题的基础.
【变式训练2】（全国·八年级专题练习）在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，∠NMP=________度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．
【答案】（1）30；（2）1；（3）t=
或t=
时，△PNC是直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）当t=2时，此时点M、N分别为AB、BC的中点，点P与点C重合，易求得∠NMP的度数；
（2）若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，连接AP，根据平行四边形的性质可得关于t的方程，解方程即可；若点P在线段DC延长线时，这样的平行四边形不存在；
（3）满足条件的点P不可能在线段CD上，分两种情况考虑即可：当∠NPC=90゜时；当∠PNC=90゜时；然后可30度直角三角形的性质通过建立方程，即可求得t的值．
【详解】
解：（1）如图所示，当t=2时，此时点M、N分别为AB、BC的中点，点P与点C重合
∵PM⊥AB
∴MN=BN=NC
∵∠B=60゜
∴∠NCM=∠NMP=30゜
故答案为：30
（2）若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，连接AP，如图2所示
在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4，
∴∠DAE=30゜
∴DE=
AD=2，
∴CE=DE=2
∵AB∥CD，AE∥MP，
∴四边形AMPE是平行四边形，
∴PE=AM=t，PC=CE−PE=2﹣t，
要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC，
∴t=2﹣t，
∴t=1．
若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．
（3）若点P在线段CD上时，∠NCP=120゜，则不存在Rt△NPC，
∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，
如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，
∴∠CNP=∠MNB=30°，
∴BM=
BN，
∵BM=AB−AM=4−t，
∴4﹣t=
t，
解得，t=
．
如图4中，当∠PNC=90°时，
∵∠B=60゜，MP⊥AB，
∴∠BGM=∠PGC=30゜，
∴BG=2（4﹣t），GP=2PN，
由勾股定理得：
，
∵GN=BN−BG=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，
∴PN=
，
∵∠NPC=30゜，NP⊥BC，
∴PC=2NC，
由勾股定理得：
，
∴
，
∵NC=BC−BN=4−t，
∴
，
解得t=
，
综上所述，t=
s或t=
s时，△PNC是直角三角形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识，运用了方程思想，涉及分类讨论思想．
【变式训练3】（辽宁沈阳·九年级期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边
APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2
，BE＝2
，请直接写出
APE的面积．
【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31
【解析】
【分析】
（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；
（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；
（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝
∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，
∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2
，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝
AB＝
，OB＝
AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2
，BC＝AB＝2
，
∴CE＝
＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝
＝
＝2
，
∵△APE是等边三角形，
∴S△AEP＝
×（2
）2＝7
，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝
＝
＝2
，
∴S△AEP＝
×（2
）2＝31
，
【点睛】
此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
【考点四】菱形中的动点最值问题
例题：（重庆巴蜀中学八年级阶段练习）如图，菱形ABCD 中，∠D = 120°，AB = 4，点E 为BC 的中点，点P 为对角线AC 上的任意一点，连接PB，PE，则PB + PE 的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据菱形的对称性可知点B、D关于AC对称，则PB+PE的最小值即为DE的长，再利用勾股定理求出DE的长即可．
【详解】
解：连接BD，与AC相交于点O，连接DE，与AC相交于点P，
则此时PB + PE 取最小值，如图所示，
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形
∴ 对角线AC与BD互相垂直平分，AD
BC，BC＝CD＝AB＝4
∴ 点B、D关于AC对称，∠BCD＝180°－∠ADC＝60°
∴ PD＝PB，△BDC是等边三角形
∴PB+PE＝PD+PE
当PD与PE共线时，即DE就是PD＋PE的最小值，即PB+PE的最小值就是DE的长，
∵点E 为BC 的中点，
∴DE⊥BC，CE＝
∴∠CED＝90°
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
∴
即PB
+ PE
的最小值为2
．
故答案为：2
．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式训练1】（河南郑州·一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），
于点E，
于点F，若
，
，则EF的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝
AC＝10，BD＝
BD＝5，根据勾股定理得到AB＝
，根据矩形的性质得到EF＝OP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接OP，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝
AC＝10，BD＝
BD＝5，
∴AB＝
，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABO＝
OA•OB＝
AB•OP，
∴OP＝
＝2
，
∴EF的最小值为2
，
故答案为：2
．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
【变式训练2】（北京育才学校八年级期中）如图，在□ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EF
AB．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时，PC+PF取得最小值，最小值是多少．
【答案】(1)见解析
(2)
点与
点重合时，
最小，最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据对边平行可得四边形
是平行四边形，根据平行线、角平分线的定义以及等角对等边可得
，进而证明四边形
是菱形；
（2）根据菱形的对称性可知
与
关于
对称，根据点P在线段AE上，可得
，代入数值即可求解．
(1)
四边形
是平行四边形，
四边形
是平行四边形
AE平分∠BAD，
四边形
是菱形
(2)
四边形
是菱形
与
关于
对称，
，
当
点与
点重合时，
最小，最小值为
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质与判定，轴对称的性质求线段和的最值问题等，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
【变式训练3】（广东·广州市第二中学八年级期中）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为；最小值为．
【答案】（1）见解析；（2）①
；②36，
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的边长；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∵EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝10，
在Rt△CDE中，DE＝
＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝2；
在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE，
∴
，解得：
，
∴菱形BFEP的边长为
；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2，
，
，
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，
，
∴菱形的面积范围：
．
菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是
．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键．
【考点五】菱形中的作图问题
例题：（江西吉安·九年级期末）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使
．取CD的中点F，连接EF，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中作出△CEF中CF边上的中线；
(2)在图2中作出BC的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC和BD交于点O，连接OE交CD于点G，EG即为所求；
（2）连接AC和BD交于点O，连接FO并延长交AB于点M，连接MC交BD于点N，连接AN并延长，交BC于点H，点H即为所求.
(1)
解：如图，EG即为所求；
(2)
解：如图，点H即为所求；
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质，灵活运用所学知识解决问题.
【变式训练1】（江西南昌·八年级期末）如图，点
为线段
上一点且不与
，
两点重合，分别以
，
为边向
的同侧做锐角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，连接
，若
，作出线段
的中点
；
（2）在图2中，连接
，若
，作出线段
的中点
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AF，BD交于点O，连接DF，连接CO延长CO交DF于点M，点M即为所求．
（2）连接AD，BF，延长AD交BF的延长线于E，连接CE，DF交于点N．点N即为所求．
【详解】
解：（1）
如图点
为
的中点
（2）
如图点
为
的中点
【点睛】
本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中线等知识，解题的关键是利用三角形中线的定义，平行四边形的性质解决问题．
【变式训练2】（江西南昌·八年级期末）如图，菱形ABCD及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）如图1，若点P在AB上，请在CD上作出点Q，使CQ=AP；
（2）如图2，若点P在菱形ABCD外，请在菱形外作点Q，使△CQD≌△APB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接
，
交于点
，连接
延长
交
于点
，点
即为所求．
（2）连接
，
交于点
，延长
交
的延长线于
，连接
交
的延长线于
，连接
，连接
，延长
交
于点
，连接
，点
即为所求．
【详解】
解：（1）如图1中，点
即为所求．
（2）如图2中，点
即为所求．
【点睛】
本题考查作图
复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心
，属于中考常考题型．
【变式训练3】（江苏无锡·一模）（1）请仅用无刻度的直尺作图：
①如图1，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，以EF为边作一个矩形；
②如图2，菱形ABCD中，E是对角线BD上一点（BE＜DE），以AE为边作一个菱形．（保留作图痕迹，不写做法）
（2）尺规作图：如图3，已知四边形ABCD，请你在CD边上求作一点P，使得△ADP的面积等于△ADB的面积的一半．（要求：利用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交CD于G，连接FO，延长FO交BC于H，连接EH，GH，FG即可；②连接AC交BD于O，延长AE交BC于Q，连接QO，延长QO交AD于P，连接CP交BD于F，连接AF，CF，EC即可；
(2)
作
BT//AD交CD于T，作线段DT的垂直平分线MN交DT于点P，连接AP即可．
【详解】
解：（1）①如图1中，矩形EFGH即为所求作；
②如图2中，菱形AECF即为所求作．
（2）如图3中，△APD即为所求作．
【点睛】
本题考查作图--复杂作图，三角形的面积，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．