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【324273】2024八年级数学下册 专题08 正方形的性质与判定压轴题五种模型全攻略(含解析)(新

时间:2025-01-15 21:51:19 作者: 字数:49498字


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类型一正方形的性质与判定综合考模型

例题:(四川达州·九年级期末)如图,在Shape1 中,Shape2 Shape3 的中点、Shape4 Shape5 中点,过点Shape6 Shape7 Shape8 的延长线于点Shape9 ,连接Shape10

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(1)求证:Shape11

(2)Shape12 ,试判断四边形Shape13 的形状,并证明你的结论;

(3)直接回答:当Shape14 满足________时,四边形Shape15 是正方形.

【答案】(1)见解析;

(2)四边形Shape16 是菱形,见解析;

(3)AC=BC

【解析】

【分析】

1)利用Shape17 推出∠DBE=∠AFE,由此证明△BED≌△FEAAAS),得到BD=AF,即可得到结论;

2)根据直角三角形斜边中线得到AD=CD,即可证得四边形Shape18 是菱形;

3)当△ABC满足AC=BC时,理由等腰三角形的三线合一的性质得到ADBC,即可证得四边形Shape19 是正方形.

(1)

证明:∵Shape20

∴∠DBE=∠AFE

Shape21 Shape22 中点,

AE=DE

∵∠BED=∠AEF

∴△BED≌△FEAAAS),

BD=AF

Shape23 Shape24 的中点,

BD=CD

CD=AF

(2)

四边形Shape25 是菱形,理由如下:

AFCDAF=CD

四边形ADCF是平行四边形,

ACBC,点DBC的中点,

AD=BD=CD

四边形Shape26 是菱形;

(3)

当△ABC满足AC=BC时,四边形Shape27 是正方形,理由如下:

∵∠BAC=90°AC=BCAD为中线,

ADBC

菱形Shape28 是正方形,

故答案为:AC=BC

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定及性质,证明四边形是菱形,证明四边形是正方形,等腰三角形三线合一的性质,熟记各定理并熟练应用是解题的关键.

【变式训练1(江苏·南京外国语学校八年级阶段练习)如图,在ABC中,∠ACB90°CDAB边上的中线,ECD的中点,过点CCFShape29 AB,交AE的延长线于点F,连接BF

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(1)求证:四边形BDCF是菱形;

(2)ABC满足什么条件时,四边形BDCF是正方形?请说明理由.

【答案】(1)见解析;

(2)ACBC,理由见解析

【解析】

【分析】

1)由“AAS可证CEF≌△DEA,可得CFAD,由直角三角形的性质可得CDADBDCF,由菱形的判定可证四边形BDCF是菱形;

2)由等腰三角形的性质可得CDAB,即可证四边形BDCF是正方形.

(1)

证明:∵CFShape30 AB

∴∠CFA=∠BAF,∠ADC=∠FCD

ECD的中点,

CEDE

∴△CEF≌△DEAAAS

CFAD

CDRtABC的中线

CDADBD

CFBD

CFShape31 AB

四边形BDCF是平行四边形,

CDBD

四边形BDCF是菱形

(2)

ACBC时,四边形BDCF是正方形,

理由如下:∵∠ACB90°ACBC

∴△ABC是等腰直角三角形

CDAB边上的中线

CDAB

∴∠BDC90°

四边形BDCF是菱形

四边形BDCF是正方形.

【点睛】

本题考查了正方形的判定,全等三角形的判定和性质,菱形的判定,直角三角形的性质和等腰三角形的性质,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

【变式训练2(浙江杭州·一模)已知:如图,边长为Shape32 的菱形Shape33 的对角线Shape34 Shape35 相交于点Shape36 ,若Shape37

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(1)求证:四边形Shape38 是正方形.

(2)Shape39 Shape40 上一点,Shape41 ,且Shape42 ,垂足为Shape43 Shape44 Shape45 相交于点Shape46 ,求线段Shape47 的长.

【答案】(1)见解析

(2)Shape48

【解析】

【分析】

1)由菱形的性质得出Shape49 Shape50 Shape51 ,得出Shape52 ,证出Shape53 ,求出Shape54 ,即可得出结论;

2)由正方形的性质得出Shape55 Shape56 Shape57 Shape58 ,得出Shape59 Shape60 ,证出Shape61 ,证明Shape62 Shape63 ,即可得出结论.

(1)

证明:Shape64 四边形Shape65 是菱形,

Shape66 Shape67 Shape68

Shape69

Shape70

Shape71

Shape72

Shape73

Shape74 四边形Shape75 是正方形;

(2)

解:Shape76 四边形Shape77 是正方形,Shape78

Shape79 Shape80

Shape81 Shape82

Shape83 Shape84

Shape85 ,垂足为Shape86

Shape87 Shape88

Shape89

Shape90

Shape91 Shape92 中,

Shape93

Shape94Shape95

Shape96

Shape97

Shape98

【点睛】

本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质,全等三角形的判定与性质等知识;熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键.

【变式训练3(广东深圳·二模)如图1,正方形ABCD中,AC为对角线,点P在线段AC上运动,以DP为边向右作正方形DPFE,连接CE

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(1)【初步探究】

APCE的数量关系是,APCE的夹角度数为;

(2)【探索发现】

P在线段AC及其延长线上运动时,如图1,图2,探究线段DCPCCE三者之间的数量关系,并说明理由;

(3)【拓展延伸】

P在对角线AC的延长线上时,如图3,连接AE,若AB=Shape99 AE=Shape100 ,求四边形DCPE的面积.

【答案】(1)AP=CE90°

(2)Shape101 ,理由见解析

(3)12

【解析】

【分析】

1)根据正方形的性质,可得Shape102 Shape103 ,再根据同角的余角相等,可得Shape104 ,再根据“边角边”证得Shape105 ,即可求解;

2)跟(1)小题思路一样,先证得Shape106 ,可得Shape107 ,再根据Shape108 是等腰直角三角形,可得Shape109 ,即可求解;

3)由四边形ABCD是正方形,可得Shape110 ,再根据勾股定理,可求得Shape111 Shape112 ,进而可以求出Shape113 Shape114 ,即可求解.

(1)

解:Shape115 四边形ABCD和四边形DPFE是正方形,

Shape116 Shape117

Shape118

Shape119

Shape120 Shape121 中,

Shape122

Shape123

Shape124

Shape125

Shape126 APCE的夹角的度数是90°

(2)

解:Shape127 四边形ABCD和四边形DPFE是正方形,

Shape128 Shape129

Shape130

Shape131

Shape132 Shape133 中,

Shape134

Shape135

Shape136

Shape137 是等腰直角三角形,

Shape138

Shape139

(3)

解:连接BDCE

Shape140 四边形ABCD是正方形,

Shape141

Shape142 是等腰直角三角形,

Shape143

Shape144

由(1)可知Shape145

Shape146

由(2)可知,Shape147

Shape148

Shape149

Shape150 中,Shape151

Shape152 是等腰直角三角形,

Shape153

Shape154

Shape155 +Shape156 =12

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质和三角形的全等、勾股定理、直角三角形的性质以及割补法求图形的面积.



类型二正方形的折叠问题模型

例题:(广西南宁·八年级期中)如图,AC是正方形ABCD的对角线,EBC上的点,Shape157 ,将Shape158 沿AE折叠,使点B落在AC上点F处,则AB的长为(       

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A2 B3 CShape159 DShape160

【答案】C

【解析】

【分析】

由正方形的性质得ABBC,∠BCD=∠B90°,∠ECFShape161 BCD45°,由折叠的性质得∠AFE=∠B90°FEBE1,证出CEF是等腰直角三角形,则CEShape162 FEShape163 ,进而得出答案.

【详解】

解:∵四边形ABCD是正方形,

ABBC,∠BCD=∠B90°,∠ECFShape164 BCD45°

由折叠的性质得:∠AFE=∠B90°FEBE1

∴∠CFE90°

∴△CEF是等腰直角三角形,

CEShape165 FEShape166

BCBECE1Shape167

ABBC1Shape168

故选:C

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识;熟练掌握翻折变换和正方形的性质是解题的关键.

【变式训练1(江苏师范大学附属实验学校一模)如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在边CD的中点E处,折痕为FG,点FG分别在边ADBC上,则折痕FG的长度为______

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【答案】Shape169

【解析】

【分析】

过点GGHADH,根据翻折变换的性质可得GFAE,然后求出∠GFH=∠D,再利用“角角边”证明△ADE和△GHF全等,根据全等三角形对应边相等可得GF=AE,再利用勾股定理列式求出AE,从而得解.

【详解】

解:如图,过点GGHADH,则四边形ABGH中,HG=AB

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由翻折变换的性质得GFAE

∵∠AFG+∠DAE=90°,∠AED+∠DAE=90°

∴∠AFG=∠AED

四边形ABCD是正方形,

AD=AB

HG=AD

ADEGHF中,

Shape170

∴△ADE≌△GHFAAS),

GF=AE

ECD的中点,

DE=Shape171 CD=2

RtADE中,由勾股定理得,AEShape172

GF的长为2Shape173

故答案为:Shape174

【点睛】

本题考查翻折变换的问题,折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.

【变式训练2(广东·普宁市红领巾实验学校九年级阶段练习)如图,在正方形纸片ABCD中,ECD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD4cm,求CF的长

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【答案】6﹣Shape175

【解析】

【分析】

BFx,则FGxCF4﹣xRtGEF中,利用勾股定理可得EF2Shape176 ,在RtFCE中,利用勾股定理可得EF2=(4﹣x2+22,从而得到关于x的方程,求解x即可.

【详解】

解:设BFx,则则FGxCF4﹣x

ECD的中点,

DE=CE=Shape177

RtADE中,利用勾股定理可得AEShape178

根据折叠的性质可知AGAB4BF=FG=x

GEAE-AG=Shape179 ﹣4

RtGEF中,利用勾股定理可得EF2=(Shape180 42+x2

RtFCE中,利用勾股定理可得EF2=(4﹣x2+22

Shape181 42+x2=(4﹣x2+22

解得xShape182 2

BF2Shape183 ﹣2

FC=BC-BF=4-2Shape184 ﹣2=6-2Shape185

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【点睛】

本题主要考查了正方形的性质及翻转折叠的性质,准确运用题目中的条件用两种方法表示出EF,列出方程式解题的关键.

【变式训练3(广东深圳·八年级阶段练习)把正方形纸片放在直角坐标系中,如图所示,正方形纸片ABCD的边长为3,点EF分别在BCCD上,将ABAD分别沿AEAF折叠,点BD恰好都落在点G处,已知3BEBC

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1)请直接写出DE两点的坐标,并求出直线EF的解析式;

2)在直线EF上是否存在点M,使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半,若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.

3)若点PQ分别是线段AGAF上的动点,则EPPQ的最小值是多少?并求出此时点Q的坐标.

【答案】(1D点坐标为(33),E点坐标为(10),直线EF的解析式为Shape186 ;(2)当M的坐标为(2Shape187 )或(4Shape188 )时,使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半;(3)(22

【解析】

【分析】

1)根据正方形的性质即可得到BC=CD=3,∠BCD=90°,则D点坐标为(33),再由3BE=BC,得到BE=1,则E点坐标为(10),CE=BC-BE=2,由折叠的性质可知,EF=BE=1FG=DF,设CF=x,则GF=DF=3-xEF=EG+FG=4-x,由Shape189 ,得到Shape190 ,即可求出F的坐标为(3Shape191 ),设直线EF的解析式为Shape192 ,把EF的坐标代入求解即可;

2)由△AEF和△AFM等高,则Shape193 ,从而得到Shape194 ,然后分当M在线段EF上时,即MEF的中点时,此时记作M1,当MEF延长线上时,此时记作M2,则Shape195 ,即此时FShape196 的中点,根据中点坐标公式求解即可;

3)由Shape197 ,得到当QPE三点共线的时候Shape198 有最小值EQ,再由点到直线的距离垂线段最短可知,当EQAF时,EQ有最小值,即Shape199 有最小值,先用面积法求出Shape200 ,然后求出直线AF的解析式为Shape201 ;设Q点坐标为(tShape202 ),则Shape203 ,由此求解即可.

【详解】

解:(1)∵四边形ABCD是边长为3的正方形,

BC=CD=3,∠BCD=90°

D点坐标为(33),

3BE=BC

BE=1

E点坐标为(10),CE=BC-BE=2

由折叠的性质可知,EG=BE=1FG=DF

CF=x,则GF=DF=3-xEF=EG+FG=4-x

Shape204

Shape205

解得Shape206

F的坐标为(3Shape207 ),

设直线EF的解析式为Shape208

Shape209

Shape210

直线EF的解析式为Shape211

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2)假设在直线EF上是否存在点M,使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半,

∵△AEF和△AFM等高,

Shape212

Shape213

M在线段EF上时,即MEF的中点时,此时记作M1

E点坐标为(10),F的坐标为(3Shape214 ),

Shape215

M1的坐标为(2Shape216 );

MEF延长线上时,此时记作M2,则Shape217 ,即此时FShape218 的中点,

Shape219

Shape220

M2的坐标为(4Shape221 );

综上所述,当M的坐标为(2Shape222 )或(4Shape223 )时,使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半;

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3)如图所示,连接EQ

Shape224

QPE三点共线的时候Shape225 有最小值EQ

再由点到直线的距离垂线段最短可知,当EQAF时,EQ有最小值,即Shape226 有最小值,

由(1)得Shape227 ,有折叠的性质可得AG=AB=3,∠AGE=∠AGF=∠ABC=90°

Shape228

Shape229

Shape230

设直线AF的解析式为Shape231

Shape232

Shape233

直线AF的解析式为Shape234

Q点坐标为(tShape235 ),

Shape236

解得Shape237

Q点坐标为(22

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【点睛】

本题主要考查了一次函数与几何综合,正方形的性质,两点距离公式,解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识.


类型三正方形的动点问题模型

例题:(广东·深圳市龙华区潜龙学校九年级阶段练习)如图,已知四边形Shape238 为正方形,Shape239 ,点Shape240 为对角线Shape241 上一动点,连接Shape242 ,过点Shape243 Shape244 ,交Shape245 于点Shape246 ,以Shape247 Shape248 为邻边作矩形Shape249 ,连接Shape250

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(1)求证:矩形Shape251 是正方形;

(2)探究:①Shape252 Shape253 有怎样的位置关系?请说明理由.

Shape254 的值为______

【答案】(1)见解析

(2)①Shape255 ,理由见解析;②2

【解析】

【分析】

1)作Shape256 Shape257 Shape258 Shape259 ,得到Shape260 ,然后证得Shape261 ,得到Shape262 Shape263 ,则有Shape264 ,根据正方形的判定即可证得矩形Shape265 是正方形;

2)①根据正方形的性质得到Shape266 Shape267 ,根据余角的性质得到Shape268 ,根据全等三角形的性质得到Shape269 ,根据垂直的定义即可得到结论;

根据全等三角形的性质得到Shape270 ,根据线段的和差即可得的结论.

(1)

如图,作Shape271 Shape272 Shape273 Shape274

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Shape275

Shape276 Shape277 是正方形Shape278 对角线上的点,

Shape279

Shape280

Shape281

Shape282

Shape283 Shape284 中,

Shape285

Shape286Shape287

Shape288

Shape289 四边形Shape290 是矩形,

Shape291 矩形Shape292 是正方形;

(2)

Shape293 ,理由如下:

Shape294 正方形Shape295 和正方形Shape296

Shape297 Shape298

Shape299

Shape300

Shape301 Shape302 中,

Shape303

Shape304Shape305

Shape306

Shape307 Shape308

Shape309

Shape310

Shape311 知,Shape312 Shape313

Shape314

Shape315

故答案为:Shape316

【点睛】

此题主要考查了正方形的性质,矩形的性质,正方形的判定,三角形的全等的性质和判定,勾股定理,解本题的关键是正确作出辅助线,证得Shape317 Shape318

【变式训练1(山西阳泉·九年级期末)综合与实践:如图(1),已知点E为正方形Shape319 对角线Shape320 上一动点(不与点C重合),连接Shape321

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

(1)实践与操作:在图中,画出以点B为旋转中心,将线段Shape322 逆时针旋转Shape323 的线段Shape324 ,并且连接Shape325

(2)观察与猜想:

观察图(1),猜想并推理可以得到以下结论:

结论1Shape326 Shape327 之间的位置关系是______

结论2Shape328 Shape329 之间的数量关系是______

(3)探究与发现:

如图(2),若点EShape330 延长线上时,(2)中的两个结论是否仍然成立,说明理由.

如图(2),若Shape331 Shape332 ,请直接写出Shape333 的长.

【答案】(1)见解析

(2)Shape334 Shape335

(3)①成立,理由见解析;②Shape336

【解析】

【分析】

1)按题意直接作图即可;

2)先证ABFCBE,可得AF=CE,再证得∠CAF =90°,即得Shape337

3)①先证得Shape338 ,可得Shape339 Shape340 ,进一步得到Shape341 .最后证得Shape342

Shape343 可得CE=AF,再由Shape344 Shape345 可得AC的长,进而求得AB的长.

(1)

画图正确;

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

(2)

Shape346 Shape347

理由如下:

四边形ABCD是正方形,

AB=BC,∠ABC=90°

以点B为旋转中心,将线段逆时针旋转的线段,

BE=BF,∠EBF=90°

∴∠ABC=∠EBF =90°

∴∠ABF=∠CBE

ABFCBE中,

Shape348

∴△ABFCBESAS),

AF=CE,∠BAF=∠BCE

∵∠BAC+∠BCE =90°

∴∠BAC+∠BAF =90°

∴∠CAF =90°

Shape349

故答案为   Shape350 Shape351

(3)

当点EShape352 的延长线上时(2)中的两个结论仍然成立

理由:

由正方形Shape353 Shape354 Shape355 Shape356

Shape357

Shape358

Shape359

由旋转的性质可知Shape360

Shape361 Shape362 中,

Shape363

Shape364

Shape365 Shape366

Shape367

Shape368

Shape369 的长为Shape370

理由:∵Shape371

CE=AF

Shape372 Shape373

AC=5

四边形ABCD是正方形,

AB=Shape374

【点睛】

本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定,关键是要作辅助线构造全等的三角形,在正方形和三角形中辅助线一般是垂线段,要牢记正方形的两个性质,即四边相等,四个内角都是90°

【变式训练2(湖南岳阳·八年级期末)在Shape375 中,Shape376 为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

(1)如果Shape377

如图1,当点D在线段BC上时(与点B不重合),线段CFBD之间的位置关系为;数量关系为;

如图2,当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;

(2)如图3,如果Shape378 ,点D在线段BC上运动(与点B不重合).试探究:当Shape379 时,(1)中的CFBD之间的位置关系是否仍然成立,并说明理由.

【答案】(1)①Shape380 Shape381 ;②成立,理由见解析

(2)成立,理由见解析

【解析】

【分析】

1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质即可得到结论;

由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质得到CFBD,∠ACF=∠ABD,根据余角的性质即可得到结论;

2)过点AAGACCBCB的延长线于点G,于是得到∠GAC90°,可推出∠ACB=∠AGC,证得ACAG,根据(1)的结论于是得到结果.

(1)

解:(1)①Shape382 Shape383

理由:正方形ADEF中,ADAF

∵∠BAC=∠DAF90°

∴∠BAD=∠CAF

在△DAB与△FAC中,

Shape384

∴△DAB≌△FACSAS),

CFBD,∠B=∠ACF

ABAC,∠BAC90°

∴∠B=∠ACB45°

∴∠ACF=∠B45°

∴∠ACB+∠ACF90°,即CFBD

故答案为:Shape385 Shape386

成立.

理由:在等腰直角Shape387 中,Shape388

在正方形ADEF中,Shape389

Shape390

Shape391

Shape392 Shape393

Shape394

Shape395

Shape396

Shape397

又在等腰直角Shape398 中,Shape399

Shape400

Shape401

Shape402

(2)

解:成立.

理由:过点AShape403 ,交CB的延长线于点G如图所示:

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

Shape404

Shape405 是等腰直角三角形,

Shape406

Shape407

在正方形ADEF中,Shape408

Shape409

Shape410

Shape411 Shape412

Shape413

Shape414

Shape415

Shape416

Shape417

【点睛】

本题考查了四边形的综合题,全等三角形的判定和性质,正方形的性质,余角的性质,过点AAGACCB的延长线于点G构造全等三角形是解题的关键.



类型四正方形中的动点最值问题模型

例题:(北京市第二中学分校八年级期中)在正方形ABCD中,Shape418 ,点EF分别为ADAB上一点,且Shape419 ,连接BECF,则Shape420 的最小值是______

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【答案】Shape421

【解析】

【分析】

如图所示,作D关于直线AB的对称点Shape422 ,连接Shape423 ,先证明△ABE≌△ADF得到BE=DF,则Shape424 ,从而推出当CFShape425 三点共线时,Shape426 有最小值,即BE+CF有最小值,最小值为Shape427 ,由此求解即可.

【详解】

解:如图所示,作D关于直线AB的对称点Shape428 ,连接Shape429

Shape430 Shape431

四边形ABCD是正方形,

AB=AD=CD,∠ADC=90°

又∵∠FAD=∠EABAF=AE

∴△ABE≌△ADFSAS),

BE=DF

Shape432

Shape433

CFShape434 三点共线时,Shape435 有最小值,即BE+CF有最小值,最小值为Shape436

RtShape437 中,Shape438

故答案为:Shape439

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质,轴对称最短路径问题,勾股定理,全等三角形的性质与判定,正确作出辅助线是解题的关键.

【变式训练1(广东汕头·一模)如图,正方形ABCD的边长为Shape440 cm,动点EF分别从点AC同时出发,都以0.5cm/s的速度分别沿ABCD向终点BD移动,当点E到达点B时,运动停止,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为______cm

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【答案】Shape441

【解析】

【分析】

连接BD,交EF于点O.取OB中点M,连接MAMG,则MAMG为定长,利用两点之间线段最短解决问题即可.

【详解】

解:连接BD,交EF于点O.取OB中点M,连接MAMG

在正方形ABCD中,AB=CDShape442

Shape443

Shape444

Shape445

Shape446

Shape447

Shape448 中,Shape449

Shape450

Shape451 中,Shape452

连接AC,则Shape453 于点O

Shape454 中,Shape455

Shape456

Shape457 AGAM-MG=Shape458

AMG三点共线时,AG最小=Shape459 cm

故答案为:Shape460

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,连接OB,取OB中点M,连接MAMG,则MAMG为定长,利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键.

【变式训练2(山东德州·一模)已知:点E是正方形ABCD边上的一点,将线段AE绕点E顺时针旋转90°,得到线段EA,若AB2,则线段DA的最小值为________

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【答案】Shape461

【解析】

【分析】

证明Shape462 ,点Shape463 Shape464 上运动,当Shape465 时,Shape466 最小,进而勾股定理求解即可.

【详解】

如图,在Shape467 上取一点Shape468 ,使得Shape469 ,连接Shape470 Shape471 ,过Shape472 Shape473 于点Shape474

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>


Shape475 四边形Shape476 是正方形,

Shape477 Shape478

Shape479

Shape480

∴∠BGE=∠BEG45°

∴∠AGE135°

∵∠AEShape481 90°

∴∠AEB+∠CEShape482 90°

∴∠GAE=∠CEShape483

在△AGE和△ECShape484 中,

Shape485

∴△AGE≌△ECShape486 SAS),

∴∠AGE=∠ECShape487

∴∠AGE135°

∴∠DCShape488 135°−90°45°

Shape489

Shape490

Shape491 Shape492 与点Shape493 重合时,

Shape494 最小,最小值为Shape495

【点睛】

本题考查了正方形的性质,旋转的性质,求得∠DCShape496 45°是解题的关键.

【变式训练3(陕西师大附中三模)如图,在正方形ABCD中,AB4Shape497 P为对角线上一点,在边AD上方作∠QDA45°,且QDBP,连接PQ,则PQD周长的最小值为 _____

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【答案】Shape498

【解析】

【分析】

根据正方形性质得出BD=Shape499 ,根据QDBP,得出CPDQ=PQ+QD+PD=PQ+8,△PQD周长的最小,只要PQ最短,根据Shape500 ,得出Shape501 ,根据BD为正方形ABCD的对角线,得出∠ADB=45°,可证∠PDQ=∠ADB+∠QDA=45°+45°=90°,根据勾股定理PQ=Shape502 即可.

【详解】

解:∵四边形ABCD为正方形,

AB=AD=4Shape503 ,∠A=90°

BD=Shape504

QDBP

PD+DQ=DP+BP=BD=8

CPDQ=PQ+QD+PD=PQ+8

∴△PQD周长的最小,只要PQ最短,

|PQ-QD|≥0

Shape505

Shape506

Shape507

BD为正方形ABCD的对角线,

∴∠ADB=45°

∵∠QDA45°

∴∠PDQ=∠ADB+∠QDA=45°+45°=90°

PQ=Shape508

PQ最小=Shape509 ,此时PD=QD

PD+QD=8

PD=QD=4

PQ最小=Shape510

∴△PQD周长的最小值为Shape511

故答案为Shape512

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【点睛】

本题考查正方形性质,直角三角形判定与性质,勾股定理,掌握正方形性质,直角三角形判定与性质,勾股定理是解题关键


类型五正方形的无刻度作图问题模型

例题:(江苏南京·八年级期末)已知正方形Shape513 Shape514 Shape515 的中点,请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留画图痕迹,不写画法)

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

(1)在图①中,画Shape516 ,垂足为Shape517

(2)在图②中,画Shape518 ,垂足为Shape519

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

1)连接点P与正方形的对角线的交点,并延长交AB于一点,即为点Q

2)连接BD,交AP于点F,连接CF并延长交AD于点E,连接BEAP于一点即为点H

(1)

解:如图,Shape520 即为所求.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

(2)

解:连接BD,交AP于点F,连接CF并延长交AD于点E,连接BEAP于一点即为点H

四边形ABCD是正方形,BD为对角线,

∴∠ADB=∠CDBAD=CD

DF=DF

∴△ADF≌△CDF

∴∠DAF=∠DCF

∵∠ADP=∠CDE=90°

∴△ADP≌△CDE

DE=DP

AE=DP

AB=AD,∠BAE=∠ADP=90°

∴△ABE≌△DAP

∴∠ABE=∠DAP

∵∠BAH+∠DAP=90°

∴∠ABE+∠BAH=90°

∴∠AHB=90°,即Shape521

如图,Shape522 即为所求.

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【点睛】

此题考查了利用正方形的性质作垂线,全等三角形的判定及性质,熟记正方形的性质是解题的关键.

【变式训练1(江西·九年级期中)如图所示的是正方形ABCDShape523 ,点EBC在同一直线上,且Shape524 .请仅用无刻度的直尺按要求作图(保留作图痕迹).

1)如图1PCD的中点,作Shape525 于点M

2)如图2,作Shape526

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】

【分析】

1)根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答;

2)利用全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定解答即可.

【详解】

解:(1)如图1CM即为所求.

连接ACBD交于点O,则OAC中点,

PCD中点,

OPAD,连接PO并延长交AB于点QAQPD为矩形,Shape527

连接CQ并延长交AEM,则ABE≌△CBQ

∴∠E=∠1=∠2

∵∠E+∠3=90°

∴∠2+∠3=90°

∴∠AMC=90°

CMAE

2)如图2CN即为所求,

连接ACBD交于O,连接EO并延长交AD延长线于点N,连接CN,易证EOB≌△NOD

EB=ND

AN平行且相等,

四边形AECN为平行四边形,

CNAE

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质及平行四边形的判定与性质,解题的关键是灵活运用这些性质.

【变式训练2(江西吉安·九年级期中)如图所示,四边形ABCD是正方形,Shape528 是等边三角形,请仅用无刻度的直尺分别按下列要求做图(保留作图痕迹).

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

1)在图1中,作CD的中点M

2)在图2中,在CD边上作一点N,使Shape529

【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析

【解析】

【分析】

1)根据正方形的性质作图即可;

2)根据正方形的性质的性质作图即可;

【详解】

1)连接ACBD交于点F,连接EF并延长交DCM,即点M时所求点;

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

2)在(1)的基础上延长MEAB于点H,连接HCBM交于点P,连接FP,并延长交BC于点G,连接CFMG交于点Q,连接PQ并延长交DC于点N,即可得到Shape530

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>

【点睛】

本题主要考查了利用正方形和等边三角形的性质作图,准确作图是解题的关键.

【变式训练3(江西赣州·八年级期末)如图,已知正方形ABCD,请仅用无刻度的直尺,分别按照下列要求作图.(保留作图痕迹,不写作法).

1)如图(1),若点EAD边上,连接BE,请作出Shape531 BEDF

2)如图(2),若点E在正方形ABCD的对角线AC上,请以BEDE为边作一个菱形.

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【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】

【分析】

1)连接ACBD交于点O,连接点E与点O,并延长交BCF,连接DF,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解;

2)连接BDAC于点O,延长BEAD相交于点M,连接MO并延长,交BCN,连接DNAC于点F,连接BFDF,利用一组邻边相等的平行四边形是菱形求解.

【详解】

解:(1)如图1,连接ACBD交于点O,连接点E与点O,并延长交BCF,连接DFShape532 BEDF即为所求;

2)如图2.连接BDAC于点O,延长BEAD相交于点M,连接MO并延长,交BCN,连接DNAC于点F,连接BFDF,菱形BEDF即为所求.

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【点睛】

本题属于作图题.主要考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点.




课后训练

1.(河南·西峡县基础教育教学研究室一模)如图,点DE分别是ABCBCAC边的中点,延长DEF,使EF=DE,连结AFADCF,下列说法不正确的是(       

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A.当AB=AC时,四边形ADCF是矩形;

B.当∠BAC=90°时,四边形ADCF是菱形;

C.当AB=AC,∠BAC=90°时,四边形ABDF是正方形;

D.当AB=AC,∠BAC=90°时,四边形ADCF是正方形.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角形中位线定理,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理去判断即可.

【详解】

DE分别是ABCBCAC边的中点,EF=DE

四边形ADCF是平行四边形,DE=Shape533 DEAB

AB=AC

DE=Shape534 =AE=EC

∴∠ADC=90°

四边形ADCF是矩形,

A正确,不符合题意;

∵∠BAC=90°时,

∴∠DEC=90°

EF垂直平分AC

四边形ADCF是菱形,

B正确,不符合题意;

AB=AC,∠BAC=90°时,

ADCF是矩形也是菱形,

四边形ADCF是正方形.

D正确,不符合题意;

AB=AC,∠BAC=90°时,无法判断四边形ABDF是正方形,

C错误,符合题意;

故选C

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理,熟练掌握从对角线条件下判定四边形形状是解题的关键.

2.(山东临沂·八年级期中)如图,正方形Shape535 的边长为4,点M在边Shape536 上,Shape537 ,点N是对角线Shape538 上一动点,则线段Shape539 的最小值为(       

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A5 BShape540 CShape541 D4

【答案】A

【解析】

【分析】

连接MBACN,此时DN+MN最小,先证明这个最小值就是线段BM的长,利用勾股定理即可解决问题.

【详解】

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连接MBACN,此时Shape542 的值最小

Shape543 四边形ABCD是正方形

Shape544 关于AC对称

Shape545

Shape546

Shape547

Shape548 Shape549

Shape550

故选:A

【点睛】

本题考查最短距离问题、正方形性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识,解题的关键是利用对称找到点N的位置.

3.(重庆八中一模)如图,正方形ABCD的边长为6,点EF分别在DCBC上,BFCE4,连接AEDFAEDF相交于点G,连接AF,取AF的中点H,连接HG,则HG的长为(  )

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AShape551 BShape552 C5 D2Shape553

【答案】B

【解析】

【分析】

根据AD=DCBF=CE,有ED=FC,则可知Shape554 ,则有∠EAD=∠CDF,则有∠CDF+∠DEA=90°=∠DGE,即有△AGF是直角三角形,根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半可知HG=Shape555 AF,在RtABF中,利用勾股定理可得AF,则问题得解.

【详解】

AD=DCBF=CE

ED=FC

Shape556

∴∠EAD=∠CDF

∴∠CDF+∠DEA=90°=∠DGE

AEDF

∴△AGF是直角三角形,

Shape557

RtABF中,由勾股定理得∶Shape558

Shape559

故选:B

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识.灵活运用直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一知识是解答本题的关键.

4.(广东·广州市番禺区恒润实验学校九年级期末)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点,PEBC于点EPFCD于点F,连接EF,有下列5个结论:①APEF;②APEF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤EF的最小值等于Shape560 .其中正确结论的个数是()

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A2 B3 C4 D5

【答案】C

【解析】

【分析】

延长FPAB于点N,延长APEF于点M,只需要证明△ANP≌△FPE得到AP=EF,∠PFE=∠BAP即可判断①④;根据三角形的内角和定理即可判断②;根据P的任意性可以判断③;根据AP=EF,当AP最小时,EF有最小值,即可判断⑤;

【详解】

解:延长FPAB于点N,延长APEF于点M

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四边形ABCD是正方形.

∴∠ABP=∠CBDABC=90°AB=BC

又∵NPABPEBC

∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°PN=PE

四边形BNPE是正方形,∠ANP=∠EPF=90°,四边形BCFN是矩形,

NP=EP=BEBC=NF

AN=PF

在△ANP与△FPE中,

Shape561

∴△ANP≌△FPESAS),

AP=EF,∠PFE=∠BAP(故①④正确);

在△APN与△FPM中,∠APN=∠FPM,∠NAP=∠PFM

∴∠PMF=∠ANP=90°

APEF,(故②正确);

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PBD上任意一点,因而△APD是等腰三角形不一定成立,(故③错误);

AP=EF

APBD时,AP有最小值即EF有最小值,

AB=ADAPBD

此时PBD的中点,

又∵∠BAD=90°

Shape562 ,即EF的最小值为Shape563 (故⑤正确)

故正确的是:①②④⑤.

故选:C

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质,三角形内角和定理,等腰直角三角形的性质,正确证明ANP≌△FPE,以及理解P的任意性是解决本题的关键.

5.(北京市第二中学分校八年级期中)如图,点EFGH分别是四边形ABCD的边ABBCCDDA的中点.则下列说法:

Shape564 ,则四边形EFGH为矩形;

Shape565 ,则四边形EFGH为菱形;

ACBD互相垂直且相等,则四边形EFGH是正方形;

若四边形EFGH是平行四边形,则ACBD互相平分.

其中正确的个数是(       

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A1 B2 C3 D4

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形,然后根据菱形,矩形,正方形的判定进行逐一判断即可.

【详解】

解:∵点EFGH分别是四边形ABCD的边ABBCCDDA的中点,

EH是△ABD的中位线,

Shape566 Shape567

同理Shape568 Shape569

EH=GFGH=EF

四边形EFGH是平行四边形,

AC=BD,则EH=GF=GH=EF,则四边形EFGH是菱形,故①错误;

ACBD,则EFEH,∴平行四边形EFGH是矩形,故②错误;

ACBD互相垂直且相等,结合①②的判断可知四边形EFGH是正方形,故③正确;

若四边形EFGH是平行四边形,并不能推出ACBD互相平分,故④错误,

故选A

【点睛】

本题主要考查了中点四边形,三角形中位线定理,熟知中点四边形的知识是解题的关键.

二、填空题

6.(北京市第十三中学分校八年级期中)小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先活动学具成为图1所示菱形,并测得Shape570 ,对角线Shape571 ,接着活动学具成为图2所示正方形,则图2中对角线AC的长为______cm

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【答案】Shape572

【解析】

【详解】

解:如图1,如图2,连接AC

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1中,∵四边形ABCD是菱形,

AB=BC

∵∠B=60°

∴△ABC是等边三角形,

AB=BC=AC=20cm

在图2中,∵四边形ABCD是正方形,

AB=BC,∠B=90°

∴△ABC是等腰直角三角形,

Shape573

故答案为:Shape574

【点睛】

本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质,属于中考常考题型.

7.(重庆市实验中学八年级阶段练习)如图,已知正方形ABCD的面积为5,正方形FHIJ的面积为3,点DCGJI在同一水平线上,则正方形BEFG的面积为 _____

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【答案】8

【解析】

【分析】

根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质,可以得到BCCG的长,然后利用勾股定理可以得到BG的平方,从而可以得到正方形BEFG的面积.

【详解】

解:∵四边形BGFE是正方形,

BGGF,∠BGC+∠FGJ90°

四边形ABCD是正方形,四边形FHTJ是正方形,

∴∠BCG=∠GJF90°

∴∠BGC+∠CBG90°

∴∠CBG=∠JGF

在△BCG和△GJF中,

Shape575

∴△BCG≌△GJFAAS),

BCGJCGJF

正方形ABCD的面积为5,正方形FHIJ的面积为3

BCShape576 FJShape577

CGShape578

BG2BC2+CG2=(Shape579 2+Shape580 25+38

S正方形BEFGBG28

故答案为:8

【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识解答.

8.(山西·一模)如图,正方形Shape581 的边长为6,点EF分别是边Shape582 Shape583 的中点,连接Shape584 ,在Shape585 上取点G,连接Shape586 ,若Shape587 ,则Shape588 的长为__________

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【答案】Shape589

【解析】

【分析】

连接Shape590 Shape591 Shape592 ,根据正方形的性质得到Shape593 Shape594 ,根据全等三角形的性质得到Shape595 Shape596 ,推出Shape597 是等腰直角三角形,根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解:连接Shape598 Shape599 Shape600

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Shape601 四边形Shape602 是正方形,

Shape603 Shape604

Shape605 Shape606 Shape607 分别是边Shape608 Shape609 的中点,

Shape610

Shape611 Shape612 中,

Shape613

Shape614

Shape615 Shape616

Shape617

Shape618

Shape619

Shape620

Shape621

Shape622 是等腰直角三角形,

Shape623

Shape624

Shape625

Shape626

Shape627

Shape628

Shape629

故答案为:Shape630

【点睛】

本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键.

9.(湖北襄阳·八年级期中)如图,在正方形ABCD中,点MN分别是ADBC的中点,点PCD上,将Shape631 沿BP翻折后点C的对应点Q落在MN上,若Shape632 ,则PD的长为______

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【答案】Shape633

【解析】

【分析】

如图所示,连接CQ,只需要证明△QBC是等边三角形,得到∠QBC=60°,推出∠PBC=30°,即可利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求解.

【详解】

解:如图所示,连接CQ

四边形ABCD是正方形,

AD=BC=ABShape634 ,∠D=90°

MN分别是ADBC的中点,

Shape635

四边形CNMD是矩形,

∴∠QNB=∠QNC=90°

在△QNB和△QNC中,

Shape636

∴△QNB≌△QNCSAS),

QB=QC

由折叠的性质可知BC=BQ,∠QBP=∠CBP

BC=BQ=CQ

∴△QBC是等边三角形,

∴∠QBC=60°

∴∠PBC=30°

PB=2PC

Shape637

Shape638

Shape639

Shape640

故答案为:Shape641

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【点睛】

本题主要考查了正方形的性质,矩形的性质与判定,等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等等,正确作出辅助线是解题的关键.

10.(江苏无锡·七年级期中)如图,在正方形ABCD中,AB=6cmEAD边上的中点,动点PA出发,以1cm/s的速度沿着A-B-C-D-E运动,终点到达点E,当点P运动________s时,ΔBPE的面积为12cm2

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【答案】1016

【解析】

【分析】

先根据正方形的性质可得Shape642 ,根据线段中点的定义可得Shape643 ,设当点Shape644 运动Shape645 时,Shape646 的面积为Shape647 ,分①点Shape648 Shape649 边上、②点Shape650 Shape651 边上、③点Shape652 Shape653 边上和④点Shape654 Shape655 上四种情况,分别根据三角形的面积公式建立方程,解方程即可得.

【详解】

解:Shape656 在正方形Shape657 中,Shape658

Shape659

Shape660 Shape661 边上的中点,

Shape662

Shape663 动点Shape664 Shape665 出发,以Shape666 的速度沿着Shape667 运动,终点到达点Shape668

Shape669 Shape670 从点Shape671 运动到点Shape672 、从点Shape673 运动到点Shape674 、从点Shape675 运动到点Shape676 所需时间均为Shape677 ,从点Shape678 运动点Shape679 所需时间为Shape680

设当点Shape681 运动Shape682 时,Shape683 的面积为Shape684

如图,当点Shape685 Shape686 边上,即Shape687 时,

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Shape688

Shape689 的面积为Shape690

解得Shape691 ,不符题意,舍去;

如图,当点Shape692 Shape693 边上,即Shape694 时,

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Shape695

Shape696 的面积为Shape697

解得Shape698 ,符合题设;

如图,当点Shape699 Shape700 边上,即Shape701 时,

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Shape702 Shape703

Shape704 的面积=Shape705

Shape706

解得Shape707 ,符合题设;

如图,当点Shape708 Shape709 上,即Shape710 时,

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Shape711

Shape712 的面积为Shape713

解得Shape714 ,不符题设,舍去;

综上,当点Shape715 运动Shape716 Shape717 时,Shape718 的面积为Shape719

故答案为:1016

【点睛】

本题考查了正方形的性质等知识点,正确分四种情况讨论,并建立方程是解题关键.

三、解答题

11.(山东枣庄·一模)问题解决:如图,在矩形ABCD中,点EF分别在ABBC边上,Shape720 Shape721 于点G

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(1)求证:四边形ABCD是正方形;

(2)延长CB到点H,使得Shape722 ,判断Shape723 的形状,并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)△AHF是等腰三角形,利用略

【解析】

【分析】

1)通过证明ADE≌△BAF得到AD=AB,结合矩形ABCD得到结论;

2)利用垂直平分线的性质得到AH=AF,得出结论.

(1)

证明:在矩形ABCD中,∠DAE=∠ABF=90°

DEAF

∴∠ADG+∠GAD=90°

又∵∠BAF+∠DAG=90°

∴∠BAF=∠ADE

ADEBAF

Shape724

∴△ADE≌△BAFAAS),

AD=AB

矩形ABCD是正方形;

(2)

AHF是等腰三角形;

理由:∵ADE≌△BAF

AE=BF

又∵BH=AE

BH=BF

又∠ABF=90°

AB垂直平分FH

AF=AH

AFH是等腰三角形.

【点睛】

本题考查正方形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定,利用全等三角形得到等边是解决问题的关键.

12.(江西赣州·八年级期末)如图,点E是正方形ABCD外一点,且EBEC.请仅用无刻度的直尺按要求作图.

1)在图1中,作出BC边的中点M

2)在图2中,作出CD边的中点N

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【答案】(1)见解析;(2)见解析;

【解析】

【分析】

(1)连接ACBD两者交于点O,连接OEBC交于点M,由正方形的性质可得OB=OC,再由EB=EC可证△OBE≌△OCE,即可得到∠BOM=∠COM,故OM为等腰三角形OBC的角平分线,由三线合一定理可知,OM即为中线,即MBC中点;

(2)(1)中原理找到点M的位置,连接DMAC于点P,因为OM分别为直角三角形BCD的中点,所以CODM均为三角形BCD的中线,由直角三角形三条边上的中线交于一点的原理,连接BPCDN即为所求.

【详解】

(1)如图1所示,连接ACBD两者交于点O,连接OEBC交于点M

ACBD两者交于点O,连接OEBC交于点M

EB=EC

∴△OBE≌△OCE

∴∠BOM=∠COM

OM为等腰三角形OBC的角平分线

由三线合一定理可知,OM即为中线,即MBC中点;

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(2)如图所示,连接ACBD两者交于点O,连接OEBC交于点M,连接连接DMAC于点P,连接BPCDN

(1)可知MBC的中点,OBD的中点

所以DMCO分别是直角三角形BCD两条边上的中线

由直角三角形三条边上的中线交于一点可知,CD上的中线也经过P

即连接BPCDN即为所求.

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【点睛】

本题主要考查了尺规作图,解题的关键在于掌握相关知识进行正确的画图.

13.(江苏江苏·一模)如图,正方形ABCD,点EBC边上的动点,点FDE延长线上,连接AFBF

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(1)Shape725

求证:FA平分∠DFB

连接FC,用等式表示线段BFFCAF之间的数量关系,并说明理由;

(2)BF1DF2,求AF的最大值.

【答案】(1)①证明见详解; ②Shape726 .理由见详解

(2)Shape727

【解析】

【分析】

1)①延长FD至点G,使DGBF,在四边形ABCD为正方形,有ABAD,∠BAD90°.则有∠DFB90°,∠ABF+∠ADF180°.再根据∠ADG+∠ADF180°,即有∠ABF=∠ADG.可得Shape728 ,即可得△FAG为等腰直角三角形.则∠AFG=∠AFB45°,结论即得证.另一种方法:过点AAGBFGAHDFH依据∠BFD90°,∠GAH90°.结合正方形的性质,有∠GAB+∠BAH90°,∠DAH+∠BAH90°.即有∠GAB=∠DAH.可证得Shape729 ,得到GAHA.结论即得证.②过点BBMBFAFM,由①得∠BFA45°,△BMF为等腰直角三角形.则有Shape730 BMBF,再利用正方形的性质可得∠ABM+∠MBC90°,∠FBC+∠MBC90°.即有∠ABM=∠CBF,可证得Shape731 .继而得到AMFC,则有AFAMMFFCShape732 BF

2)将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADN,根据旋转的性质有∠BAF=∠DANBFDN1AFAN.根据∠BAD=∠BAF+∠FAD90°,得到∠NAF=∠DAN+∠FAD90°.当FDN三点共线时,△AFN为等腰直角三角形,即可由Shape733 求得AF的最大值.

(1)

延长FD至点G,使DGBF

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四边形ABCD为正方形,

ABAD,∠BAD90°

∵∠DFB90°

∴∠ABF+∠ADF180°

∵∠ADG+∠ADF180°

∴∠ABF=∠ADG

Shape734

AFAG,∠BAF=∠DAG

即∠FAG90°,△FAG为等腰直角三角形.

∴∠AFG=∠AFB45°

FA平分∠DFB

另解:过点AAGBFGAHDFH

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∵∠BFD90°

∴∠GAH90°

在正方形ABCD中,ABAD,∠BAD90°

∴∠GAB+∠BAH90°,∠DAH+∠BAH90°

∴∠GAB=∠DAH

∵∠AGB=∠AHD90°

Shape735

GAHA

FA平分∠DFB

Shape736

理由如下:

过点BBMBFAFM

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由①得∠BFA45°

∴△BMF为等腰直角三角形.

Shape737 BMBF

在正方形ABCD中,BABC,∠ABC90°

∴∠ABM+∠MBC90°,∠FBC+∠MBC90°

∴∠ABM=∠CBF

Shape738

AMFC

AFAMMFFCShape739 BF

(2)

将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADN

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∴∠BAF=∠DANBFDN1AFAN

∵∠BAD=∠BAF+∠FAD90°

∴∠NAF=∠DAN+∠FAD90°

FDN三点共线时,△AFN为等腰直角三角形,

Shape740

AF的最大值为Shape741

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识,解答本题的关键是合理作出有效的辅助线构造全等三角形是解答本题的关键

14.(山东淄博·八年级期中)已知正方形Shape742 ,点F是射线Shape743 上一动点(不与CD重合),连接Shape744 并延长交直线Shape745 于点E,交Shape746 于点H,连接Shape747 ,过点CShape748 Shape749 于点G

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(1)若点F在边Shape750 上,如图1

证明:Shape751

猜想线段Shape752 Shape753 的数量关系并说明理由

(2)Shape754 中点M,连结Shape755 ,若Shape756 ,正方形边长为6,求Shape757 的长

【答案】(1)①证明见解析;②结论Shape758 ,理由见解析

(2)Shape759 的长为Shape760 Shape761

【解析】

【分析】

1)①根据SAS证明Shape762 ,即可解决问题;②只要证明∠CFG=∠FCG,即可解决问题.

2)分两种情形解决问题,①如图当点F在线段CD上时,连接DE.②当点F在线段DC的延长线上时,连接DE.由勾股定理分别求出EC即可解决问题.

(1)

证明:①∵四边形Shape763 是正方形,

Shape764 Shape765

Shape766 Shape767 中,

Shape768 .∴Shape769

Shape770

结论Shape771 ,理由如下:

Shape772Shape773

Shape774Shape775

Shape776

Shape777 Shape778

Shape779

Shape780

Shape781 Shape782

Shape783

Shape784

Shape785

(2)

 <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/130/" title="正方形" class="c1" target="_blank">正方形</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/396/" title="模型" class="c1" target="_blank">模型</a> <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a>


解:①如图1,当点F在线段Shape786 上时,连接Shape787

Shape788 Shape789 Shape790

Shape791

Shape792

Shape793 Shape794

Shape795

Shape796 中,Shape797

Shape798

如图2,当点F在线段Shape799 的延长线时.连接Shape800

同法可如Shape801 Shape802 的中位线.

Shape803

Shape804 中,Shape805

Shape806

综上所述,Shape807 的长为Shape808 Shape809

【点睛】

本题是四边形综合题,考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识,灵活运用所学知识是解决本题的关键.

15.(山东枣庄·二模)定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形,简称“直等补”四边形.根据以上定义,解决下列问题:

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(1)如图1,正方形Shape810 Shape811 Shape812 上的点,将Shape813 Shape814 点旋转,使Shape815 Shape816 重合,此时点Shape817 的对应点Shape818 Shape819 的延长线上,则四边形Shape820 ______(填“是”或“不是”)“直等补”四边形;

(2)如图2,已知四边形Shape821 是“直等补”四边形,Shape822 Shape823 ,过点Shape824 Shape825 于点Shape826

试探究Shape827 Shape828 的数量关系,并说明理由;

Shape829 Shape830 ,求Shape831 的长.

【答案】(1)是;

(2)①BE=DE,理由见解析;②14

【解析】

【分析】

1)由旋转的性质可得∠ABF=∠CBEBF=BE,根据正方形的性质得∠ABC=∠D=90°,可得出∠EBF=∠D=90°,即可得出答案;

2)①过点CCFBE,首先证明四边形CDEF是矩形,则DE=CFEF=CD=2,再证ABE≌△BCF,根据全等三角形的判定和性质可得BE=CFAE=BF,等量代换即可得BE=DE;②设BE=x,根据勾股定理求出x的值即可,即可求解.

(1)

BCEB点旋转,BCBA重合,点E的对应点FDA的延长线上,

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∴∠ABF=∠CBEBF=BE

四边形ABCD是正方形,

∴∠ABC=∠D=90°

∴∠ABE+∠CBE=90°

∴∠ABE+∠ABF=90°,即∠EBF=∠D=90°

∴∠EBF+∠D=180°

∵∠EBF=90°BF=BE

四边形BEDF是“直等补”四边形.

故答案为:是;

(2)

BE=DE,理由如下:

如图3,过点CCFBE,垂足为点F

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               3

四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BCADAB

∴∠ABC=90°,∠ABC+∠D=180°

∴∠D=90°

BEADCFBE

∴∠DEF=90°,∠CFE=90°

四边形CDEF是矩形,

DE=CFEF=CD

∵∠ABE+∠A=90°,∠ABE+∠CBE=90°

∴∠A=∠CBF

∵∠AEB=∠BFC=90°AB=BC

∴△ABE≌△BCFAAS),

BE=CFAE=BF

DE=CF

BE=DE

如图3

四边形CDEF是矩形,

DE=CFCD=EF

∵△ABE≌△BCF

AE=BFCF=BE

Shape832 Shape833

BE=x,则AE=BF=x-2

RtABE中,x2+x-22=102

解得:x=8x=-6(舍去),

BE=8AE=6

AD=AE+DE=AE+CF=AE+BE=6+8=14

【点睛】

本题是四边形的一个综合题,主要考查新定义,勾股定理,全等三角形的性质与判定,正方形的性质,矩形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,旋转的性质,轴对称的性质.





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